Komplexa impedanser
On februari 16, 2021 by adminVad betyder det att ha en komplex impedans?
Till exempel impedansen för en kondensator (i Laplace-domänen ?) ges av 1 / sC (tror jag) vilket motsvarar \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ där transienter försummas. Vad betyder det för impedansen att vara imaginär?
Jag är för närvarande mitt andra år på elektroteknik vid universitetet så om möjligt skulle jag uppskatta ett matematiskt giltigt och grundligt svar om det är inte för mycket besvär, med referens till studiematerial (webb- och pappersresurser) ideal.
Tack på förhand.
Kommentarer
- Aren ’ t studerar du exakt detta i dina kurser? Visst har du redan en lärobok eller två som går in i detta i detalj. Detta är ett mycket brett ämne som är svårt att svara utan en mer specifik fråga.
- En ytterligare resurs
- De läroböcker som jag har verkar anta att detta är redan känt från tidigare kurser (och vi lärde oss inte ’). Utöver detta blandade mina föreläsare sin ordning så att vi ’ kommer förmodligen att lära oss det senare, men inte innan vi behöver det.
- Det verkar att din couse lämnade många ämnen orörda och det ’ är mycket obekvämt för en ingenjörskurs …
Svar
TL; DR Den imaginära delen av impedensen berättar för dig den reaktiva komponent i impedansen; detta ansvarar (bland annat) för skillnaden i fas mellan ström och spänning och den reaktiva effekt som används av kretsen.
Den underliggande principen är att vilken periodisk signal som helst kan behandlas som summan av (ibland) oändliga senvågor som kallas övertoner, med lika fördelade frekvenser. Var och en av dem kan behandlas separat som en egen signal.
För dessa signaler använder du en representation som är som: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Och du kan se att vi redan hoppade i domänen för komplexa siffror eftersom du kan använda en komplex exponential för att representera rotation.
Så impedansen kan vara aktiv (motstånd) eller reaktiv (reaktans); medan den första per definition inte påverkar signalfasen (\ $ \ phi \ $) så gör reaktansen, så det är möjligt att använda komplexa tal för att utvärdera variationen i den fas som införs av reaktansen.
Så du får: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
där | Z | är impedansens storlek , ges av: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
och theta är den fas som införs av impedansen och ges av: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
När den tillämpas på föregående funktion blir den: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Låt oss betrakta den ideala kondensatorn: impedansen blir \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ vilket är imaginärt och negativt; om du sätt in den i den trigonometriska omkretsen, du får en fas på -90 °, vilket innebär att spänningen med en rent kapacitiv belastning kommer att vara 90 ° bakom strömmen.
Så w hy?
Låt oss säga att du vill summera två impedanser, 100 Ohm och 50 + i50 Ohm (eller, utan komplexa tal, \ $ 70,7 \ vinkel 45 ^ \ circ \ $). Sedan med komplexa tal summerar du den verkliga och imaginära delen och får 150 + i50 Ohm.
Utan att använda komplexa tal är saken ganska mer komplicerad, eftersom du antingen kan använda cosinus och sines (men det är samma sak med att använda komplexa siffror då) eller komma in i en röra av storheter och faser. Det är upp till dig :).
Teori
Några ytterligare uppfattningar, försöker ta itu med din frågor:
- Den harmoniska representationen av signaler adresseras vanligtvis av Fourier-serier sönderdelning:
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {där} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Den komplexa exponentiella är relaterad till cosinus också av Eulers formel :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Kommentarer
- Tack så mycket för ditt svar. Angående din v (t) ekvation, bara för att klargöra, menar du v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (eftersom signalen kan representeras som ett eventuellt oändligt tal av sinusoider med olika frekvenser)? Hämtar du sedan termen R (V0 exp (j2pift + phi)) från cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Om så är fallet, vart går termen 0.5 exp (-2pift …)?Också i din Ohm ’ s lagekvation, antar V (t) förmodligen till ett verkligt uttryck men exp (j omega) inte ’ t, så hur fungerar det här? Tack igen.
- MMH många frågor :). Om det första, inte exakt: kontrollera Fourier-serierepresentationen, men i teorin är också andra nedbrytningar möjliga; om det exponentiella, ja, det ’ är Eulero-ekvivalensen. Detsamma gäller för den sista frågan: den komplexa exponentialen ger rotation, men sedan tog den ’ bara den verkliga delen.
- Wow att ’ ett snabbt svar! Varför tas bara den verkliga delen? Det verkar inte ’ matematiskt giltigt. Tack igen.
- Är det vad jag ’ saknar? ” Aexp (i omega) … förstås vara en förkortningsnotation som kodar amplituden och fasen för en underliggande sinus. ” från en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Är tanken att den komplexa talrepresentationen är förkortning för representationen av en vinkel (fas) och en storlek?
- @JonaGik ja, det ’ är en bekväm representation av sinusformade signaler, som också på wiki-sidan står. Jag skulle säga att varje matematiskt objekt är en förkortning för att representera eller lösa något verkligt problem …
Svar
Jag är säker på att detta inte kommer att svara helt på din fråga, jag hoppas faktiskt att detta kommer att komplettera de redan givna svaren som verkar försumma: konceptet bakom användningen av komplexa tal (som, som redan sagt, bara är ett snyggt namn för typ av matematisk ”kvantitet”, om du vill).
Den första huvudfrågan här vi ska svara är varför de komplexa siffrorna. Och för att svara på den här frågan måste vi förstå behovet av de olika uppsättningarna med siffror, från de naturliga till de verkliga siffrorna.
Från tidiga åldrar tillät de naturliga siffrorna människor att räkna, t.ex. äpplen och apelsiner på en marknad. Sedan introducerades heltal för att ta itu med ”i skuld” -konceptet med hjälp av negativa siffror (detta var ett svårt begrepp att förstå vid den tiden). Nu blir det mer intressant med de rationella siffrorna och behovet av att representera ”kvantiteter” med bråk. Det intressanta med dessa siffror är att vi behöver två heltal, och inte bara ett (som med de naturliga och heltal), till exempel 3/8. Detta sätt att representera ”kvantiteter” är mycket användbart, till exempel för att beskriva antalet skivor (3) som finns kvar i en 8 skivor paj, när 5 redan ätits 🙂 (du kunde inte göra det med ett heltal!).
Låt oss nu hoppa över de irrationella och de verkliga siffrorna och gå till de komplexa siffrorna. Elektronikingenjörer stod inför utmaningen att beskriva och använda en annan typ av ”kvantitet”, sinusformad spänning (och ström) i en linjär krets (dvs gjord av motstånd, kondensatorer och induktorer). Gissa vad, de fann att komplexa tal var lösningen.
Ingenjörer visste att sinusoiderna representerades av 3 komponenter, det vill säga A (amplitud), \ $ \ omega \ $ (vinkelfrekvens) och fas (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
De insåg också att i en linjär krets vinkelfrekvensen (\ $ \ omega \ $) skulle inte ändras från nod till nod, det vill säga oavsett vilken punkt i kretsen du undersökte, skulle du bara se skillnader i termer av amplitud och fas, inte frekvens. De drog sedan slutsatsen att den intressanta (varierande) delen av en sinusformad spänning (eller ström) var dess amplitud och fas. Så precis som vi gör med de rationella siffrorna behöver vi två tal för att representera den varierande sinusformade spänningen i en linjär kretsnod, i detta fall (A, phi). I själva verket insåg de att komplexa tal algebra, det vill säga hur du arbetar och relaterar dessa siffror till varandra passar som en handske med det sätt som sinusoiderna drivs av linjära kretsar.
Så när du säger att kondensatorns impedans är \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ dvs, (A = 1 / C, phi = -90º) i ovanstående antagna notering, du säger faktiskt att spänningen är fördröjd 90º angående den aktuella fasen. Och snälla, glöm den ”transcendentala” nomenklaturen om imaginär och komplex … faktiskt talar vi om ”kvantiteter” med två ortogonala komponenter (dvs. ”som inte blandas oavsett hur hårt du skakar dem i en cocktailkopp ”), precis som vektorer, som representerar två olika fysiska aspekter av fenomenen.
UPPDATERING
Det finns också några anteckningar som jag rekommenderar att läsa, ”En introduktion till komplex analys för ingenjörer” av Michael D. Alder. Detta är ett mycket vänligt tillvägagångssätt för ämnet. Jag rekommenderar särskilt det första kapitlet .
Svar
Att använda komplexa siffror är ett matematiskt sätt att representera både i fas- och utfaskomponenter – strömmen med avseende på spänningen. Imaginär impedans betyder inte att impedansen inte existerar, det betyder att strömmen och spänningen är ur fas med varandra. På samma sätt betyder en riktig impedans inte verklig i vardaglig mening, bara att strömmen är i fas med spänningen.
Kommentarer
- Jag förstår dessa idéer begreppsmässigt, jag undrade bara hur en komplex impedens faktiskt fungerar – vad är den matematiska anledningen till att den är komplex och hur härleds den?
- @JonaGik var saknades mitt svar? Jag trodde att det svarade denna matematiska anledning …
- Är det rätt? Är tanken att den komplexa talrepresentationen är stenografi för representationen av en vinkel (fas) och en storlek? Så när vi tolkar en komplex impedens betraktar vi den att helt enkelt representera fasfördröjningen och storleken?
Svar
-
Beskrivningarna nedan SÖK för att demytologisera vad som menas med ”komplexa” mängder i ett RCL-sammanhang. Begreppen ”imaginära” komponenter är en användbar metafor som tenderar att blinda människor för den enkla underliggande rea lities. Texten nedan talar i RC-termer och berör inte LC-mysterierna som faktiskt inte är mer mystiska i verkligheten.
-
Det skulle vara en större fördel för dig att göra ditt yttersta för att ta itu med de flesta punkter som du själv tog upp med hjälp av antingen en textbok eller en sökmotor på internet innan du sökte förklaringar från andra FÖR denna fråga är så mycket grundläggande för grunderna i växelströmskretsar med reaktiva komponenter. Att hantera svåra frågor har företräde för hur du kommer att hantera liknande saker under hela din utbildning och internet har förmodligen miljontals sidor som behandlar detta ämne (Gargoyle säger ~ = 11 miljoner men vem kan berätta?). Graden av detaljrikedom och noggrannhet som du ber om är orealistisk från en webbplats som denna med tanke på den enorma mängden detalj ”där ute”. (Om inte webbplatsägarna försöker replikera en delmängd av Wikipedia).
SÅ – Jag vet att det är en bra idé att hjälpa dig att få huvudet runt grunderna så att du kan plocka upp det och springa med det därifrån. Så …
Om du ansluter en ingång till ett seriemotstånd till en kondensator och den andra kondensatorn är ”jordad” får du en serie RC-krets:
Vin – motstånd – kondensator – jord.
Om du nu ansluter en stegspänning till ingången kommer kondensatorströmmen att matcha men kondensatorn börjar ladda med denna spänning för att producera ström i motståndet. Spänningsökningen kommer att vara exponentiell eftersom strömmen som strömmar in i kondensatorn kommer att beslagas av Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. dvs när Vcap stiger faller potentialen över motståndet och så minskar strömmen. I teorin tar det oändlig tid för Vcap att nå Vin men i praktiken är det mer eller mindre ”där i cirka 3 tidskonstanter där
t = RC = den tid det tog för Iin att falla till 1 / e th av sin initialt värde. Vad och varför 1 / e-termen du redan känner till eller kommer att göra efter att ha läst referenserna.
NU, om vi tillämpar en fyrkantvågssignal laddas kondensatorn som ovan när ingången är positiv och kommer att urladdas på ett liknande exponentiellt sätt när ingången är jordad eller negativ. Medan kondensatorströmmen följer Vin och kommer att vara maximal när Vin övergår högt / lågt eller lågt högt, kommer kondensatorns spänning att av de skäl som beskrivs ovan ligga efter När steady state har uppnåtts, om du plottar Vcap och jag cap kommer du att hitta två vågformer förskjutna med upp till nästan 90 grader eller så lite som nästan grader där en hel ingångscykel = 360 grader. Hur långt kondensatorns spänning släpar efter strömmen beror på ingångsfrekvensen och RC ti mig konstant.
För oinitierade kan detta se ut som magi (eller användning av tiotimolin *), med en strömvågform som uppträder upp till 1/4 av en cykel före dess spänning MEN detta är bara för att den logiska orsaken till detta, som förklarats ovan, är inte nödvändigtvis intuitivt uppenbart vid inspektion.
Om du börjar kamma kondensatorer och motstånd och induktorer på olika sätt måste du kunna hantera matematiskt de relativa faserna för de olika vågformerna. [Vid första introduktionen kan det verka som att fasorerna är inställda på att bedöva].
Någon kompetent figurering, eller en snygg titt på några av de cirka 10 miljoner webbsidorna om ämnet, kommer att indikera att där du har två vågformer som varierar i fasförhållande till varandra och som är baserade på ett ömsesidigt exponentiellt förhållande, då kan varje vågform representeras av en polär representation av formen [R, Theta] som i termen kan representeras som ett komplext tal som har X- och Y-komponenter som reflekterar den polära formen.
Polar ”vektorn” som representerar spänningen och strömförhållandet i en given situation använder en roterande vektorarm ”metafor” som ger längden på armen och fasvinkeln relativt en referens. Denna ”metafor” kan ersättas med en X- och Y-komponent där storleken på den polära formen ges av R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) och vars vinkel theta ges av tan ^ -1 (X / Y ). Detta kan ses i diagramform nedan.
VARNING – luras inte av terminologin.
Observera att termen ”komplext nummer” helt enkelt är jargong. Användningen av sqrt (-1) är en användbar del av metaforen som gör att aritmetiken kan fungera MEN de faktiska mängderna som är inblandade är helt verkliga och ”vanliga”. När reaktiva element som induktorer och kondensatorer används kommer kraften inte längre att vara enbart produkten av storlekstermerna i spännings- och strömvektorer, dvs kraften från V.sin (fred) x I.sin (Josepine) betyder inte (vanligtvis) = VI. Detta innebär inte något speciellt eller magiskt eller komplext eller imaginärt om de involverade variablerna – det är bara att de är tidsvarianter och att deras toppstorlek vanligtvis inte kommer att sammanfalla.
Extra läsning – rekommenderas starkt:
- I Asimov.
Kommentarer
- @Kortuk – Den stora majoriteten av ovanstående hade skrivits före min första skriftligt svar men jag lade inte ut det vid det tillfället, men det kan ha lagts till i god tid när det är bättre kontrollerat. Som du kommer att vara medveten om, lägger jag ofta nog till stora delar av material till inledande inlägg. I hans fall var din morot- och stickmetod (utan morot) ganska demotiverande, men det verkar synd att låta felriktade motiveringsstilar uppnå sina mest normala effekter. Vissa svarar tillräckligt bra på mjuka manschetter runt örat, men inte de flesta har jag ’ hittat. Vissa här håller inte med :-).
Svar
Att uttrycka kapacitans och induktans som imaginära motstånd har fördelen att du kan använda välkända metoder för att lösa linjära problem med motstånd för att lösa linjära problem med motstånd, kondensatorer och induktorer.
Sådana linjära problem och deras välkända metoder är till exempel
- Problem: beräkning av motstånd för två motstånd i serie
Metod: R = R1 + R2
kan också användas för att beräkna impedansen för motstånd / kondensator / induktor i serie med ett annat motstånd / kondensator / induktor -
Problem: att beräkna motståndet hos två motstånd parallellt
Metod: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
kan också användas för att beräkna impedansen hos motstånd / kondensator / induktor i parallellt med ett annat motstånd / kondensator / induktor -
Problem: lösa ett nätverk som innehåller motstånd, likspänning och likströmskällor
Metod: lösa ett samtidigt system av linjära ekvationer
kan också användas för att lösa ett nätverk som innehåller motstånd, kondensatorer, induktorer, AC- eller DC-spänning och AC- eller DC-strömkällor - etc.
Alla dessa formler / metoder som fungerar med verkliga motståndsvärden (endast motstånd) och likströmskällor fungerar lika bra med komplexa värden (motstånd, induktorer, kondensatorer) och växelströmskällor.
Svar
Även om det inte nödvändigtvis finns någon intuitiv anledning till att använda komplexa siffror för att representera en kombination av fas- och fas-signaler borde vara användbart, är det visar sig att de aritmetiska reglerna för komplexa tal passar mycket bra med det faktiska beteendet och interaktionen mellan motstånd, kondensatorer och induktorer.
Ett komplext tal är summan av två delar: den verkliga delen och en ”imaginär ”del, som kan representeras av ett reellt tal multiplicerat med i , vilket definieras som kvadratroten av -1. Ett komplext tal kan skrivas i formen A + Bi , där både A och B är reella tal. Man kan sedan använda reglerna för polynomisk aritmetik för att agera på komplexa tal genom att behandla i som en variabel, men man kan också ersätta i ² med -1 (så t.ex. är produkten från Pi × Qi -P × Q).
Vid vilken som helst frekvens kan man bestämma hur ett nätverk av motstånd, induktorer och kondensatorer kommer att bete sig genom att beräkna den effektiva impedansen för varje artikel och sedan använda Ohms lag för att beräkna det effektiva motståndet för serie- och parallellkombinationer och spänningar och strömmar genom dem.Vidare, eftersom motstånd, kondensatorer och induktorer alla är linjära enheter, kan man beräkna hur nätverket kommer att bete sig när kombinationer av frekvenser injiceras genom att beräkna vad de kommer att göra med varje viss frekvens och sedan lägga till resultaten. Komplex aritmetik kan vara mycket användbar när man försöker analysera beteendet hos saker som filter, eftersom det gör att man kan beräkna filtrets utdata som en funktion av ingången. Matas en ingångssignal med något reellt antal v volt vid någon frekvens f , man kan beräkna spänningen eller strömmen vid vilken specifik nod som helst; den verkliga delen kommer att vara i fas med den injicerade vågformen, och den imaginära delen kommer att vara 90 grader ur fas. Istället för att behöva använda snygga differentialekvationer för att lösa kretsbeteendet, kan man relativt grundläggande aritmetik med komplexa tal.
Svar
Komplexa nummer används inom elektroteknik för kvantiteter som har en storlek och en fas. Elektrisk impedans är förhållandet mellan ström och spänning. För AC-strömmar och spänningar kanske ström- och spänningsvågformerna inte är i fas; fasen av impedansen berättar om denna fasskillnad.
Kommentarer
- Varför nedröstningen?
Lämna ett svar