Ursprung för konjugerade variabler i fysiska teorier
On februari 16, 2021 by adminVarför kommer konjugatvariabler i par? I klassisk mekanik har vi till exempel de allmänna koordinaterna för position och momentum, och det finns Jacobis handlingsvinkelkoordinater. I de grundläggande termodynamiska ekvationerna uppträder alla relevanta storheter parvis, dvs. temperatur, partikelantal och kemisk potential. Visst kan man göra ett dimensionellt argument för varför vi vill ha dessa par (så att de ger energienheter, etc …), men jag letar efter ett konceptuellt argument för varför konjugera variabler kom i par.
Jag ber om ursäkt om den här frågan är dålig.
Kommentarer
- Kanske relaterade till din fråga är Onsager ömsesidiga relationer mellan generaliserade flöden och krafter som faktiskt kan härledas från första principer.
- Relaterat: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Svar
Det här kan vara det bästa svaret genom att beakta dina tidigare exempel (position och momentum) och dina senare exempel (volym och tryck, etc.) separat. Se den här frågan för varför jag överväger dessa separat.
Den första uppsättningen exempel (sådana från Hamilton-mekanik) har sina rötter i Pontryagin-dualiteter . Beviset på detta koncept är lite detaljerat men det handlar i grunden om att försöka hitta de villkor under vilka $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ motsvarar $ f $ i någon mening. När det händer gäller detta för alla kompakta abeliska grupper. Och när det händer är positionen Pontryagin-dualiteten av momentum och vice versa.
Den andra uppsättningen exempel (från termodynamik) dyker upp när vi tittar på jämviktsfördelningar i termodynamik. I så fall finns det inget ”speciellt” med de variabler som kommer i par. Tänk till exempel på den interna energiekvationen för en kanonisk ensemble, som relaterar den till entropi (S), volym (V), temperatur (T) och tryck (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Du kan se att temperatur och tryck bara är ”konstantens proportioner” av förändringar i entropi och volym i denna ekvation. När det gäller varför förändringar i temperaturdriven förändringar i entropi (värmeöverföring) beror det på den andra lagen om termodynamik som försöker öka systemets entropi plus badet. När systemet drivs något bort från jämvikten, till exempel genom att öka $ T $ för badet med en mycket liten mängd, byts en viss mängd entropi ut och systemet balanserar igen.
Det finns en annan typ förhållandet mellan temperatur och värme, säg och position / momentum. Medan generaliserad momentum och position är relaterade med ömsesidiga differentiella ekvationer, är detsamma inte sant för temperatur och värme.
Lämna ett svar