Varför är excentricitetsvektors ekvation alltid lika med -1?
On februari 13, 2021 by adminDetta är excentricitetsvektorekvationen, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Nu är denna ekvation skriven annorlunda än många olika källor men de betyder i princip samma sak. Jag testade denna ekvation och oavsett vilka värden jag gav variablerna är svaret alltid -1 (eller 1 i absoluta termer). Jag förstår att excentriciteten hos en parabel är 1 men denna ekvation är också för ellipser. Så varför är svaret alltid -1? Har jag missat något? Tack på förhand.
Kommentarer
Svar
Uttrycket till höger är tänkt att ge excentriciteten vektorn men vektornotationen har gått förlorad.
Här är det i det här svaret :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
och vektornaturen är inte heller tydlig. Vi borde skriva det som
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
där det djärva ansiktet representerar vektorer och $ v = | \ mathbf {v} | $ och $ r = | \ mathbf { r} | $ , eller som
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
I uttrycket $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ termen $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ är en vektorpunktprodukt och returnerar en skalär , som sedan multiplicerar vektorn $ \ mathbf {v} $ .
Här är en snabb beräkning för att bekräfta det. Jag valde $ \ mu = 1 $ och $ a = 1 $ så att omloppsperioden är $ 2 \ pi $ . Du kan se att excentricitetsvektorn x-komponenten är +0,8 och konstant, och y-komponenten är 0,0 Det bekräftar att excentricitetsvektorn alltid pekar mot periapsis riktning och dess storlek är alltid lika med den skalära excentriciteten, som i detta fall är 0,8
Python-skript:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Kommentarer
- Kommentarer är inte för utökad diskussion; den här konversationen har varit flyttade för att chatta .
- @uhoh Bara för att klargöra, kommer vektorpunktprodukten alltid att vara 0 i en cirkulär omlopp rätt? alltid 90 grader. Och i en elliptisk omlopp är vektorpunktprodukten 0 vid apoapsis och periapsis.
- @StarMan ja det är ' sant. För en cirkulär bana, eller för någon periapsis och apoapsis av en ellips, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ blir noll. Som en snabb kontroll: för en cirkel med $ e = 0 $, om den andra termen till höger är noll, har du $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ vilket ger $ v ^ 2 = mu / r $ som är vis-viva ekvation för en cirkulär bana där $ r = a $.
+1
för en riktigt bra fråga! Jag ' Jag skriver ett svar nu, bör ta cirka 20 minuter …