Variation av modifierad Einstein Hilbert Action
On februari 17, 2021 by adminI allmän relativitet kan man härleda Einstein-fältekvationerna med principen om minst handling genom variationer med avseende på det inversa av metriska tensor. I vissa modifierade gravitationsteorier, såsom Brans-Dicke Theory, läggs ett skalarfält till Einstein Hilbert Action och gravitationskonstanten ersätts av en funktion av skalarfältet. Jag är inte helt säker på hur man kan härleda fältekvationerna från denna åtgärd, närmare bestämt den del där skalarfältet är fäst till Ricci scalar $ \ phi R $.
Brans-Dicke Action är $$ S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partial _a \ phi \ partial _b \ phi \ right) + L_M \ right]. $$
Den resulterande fältekvationen är $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ partial_a \ phi \ partial_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partial_c \ phi \ partial ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
Jag vill också härleda en ny fältekvation för övning . Så mina frågor är:
-
Hur härleder man rörelserekvationerna?
-
Hur man utför variationen av följande åtgärd ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R – \ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab}) – 2 \ Lambda + L_M) \ höger] $$
Ricci skalar, den kosmologiska konstanten och materien Lagrangian kommer att variera helt som Einstein Hilbert Åtgärd till: $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab} – \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ Vad sägs om den extra termen? Skulle man helt enkelt variera med avseende på $ \ phi $, eller krävs också variationen av det kovarianta derivatet av den metriska tensorn? Om det senare är sant, skulle variationen av denna extra term vara $$ \ frac {\ partial L} {\ partial g_ {ab}} – \ partial _ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ All hjälp skulle uppskattas. Förresten, är $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $ ett uttryck som visar förändringshastigheten (derivat) för metriska tensor med avseende på en koordinat $ (t , x, y, z) $?
Kommentarer
- Vanligtvis väljer du utan vridning den (unika) anslutningen som $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $, se denna PSE fråga
- Den grundläggande intuitionen som ligger till grund för Brans-Dicke-teorin ska vara ” Vad händer om vi ersätter Newton ’ s konstant $ G $ med ett skalärt fält $ \ phi $? (Eller, beroende på din religion, $ \ phi ^ {- 1} $?) ” … allt annat följer av det.
- Även med vridning du får fortfarande $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $. Du ’ behöver också tensorn som inte är metrisk för att göra det till något annat, vilket är ganska knappt använt.
Svar
Hitta svaret på fråga 1 nedan. Fråga 2. är konstig eftersom $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (när anslutningen är metrisk kompatibel) som nämnts av @Trimok. I vilket fall som helst kan variationen i åtgärden härledas med metoden som beskrivs nedan.
Vi börjar med BD-åtgärden $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ där $ S_M $ är åtgärden. För att bestämma Einsteins fältekvationer varierar vi åtgärden till måttet. Vi använder formlerna (ref. wikipedia ) \ begin {ekvation} \ börjar {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} – g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ höger) \ end {split} \ end {ekvation} Variationen av Christoffel tensor är \ begin {ekvation} \ starta {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho} – \ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ höger) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ vänster (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho} – \ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ höger ) \\ & = – \ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ höger) \ end { split} \ end {ekvation} där vi använde $ \ delta g _ {\ mu \ nu} = – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $.Detta innebär \ begin {ekvation} \ börjar {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & = – \ nabla_ \ alfa \ delta g ^ {\ alfa \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & = – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {ekvation} vilket innebär \ börja {ekvation} \ börja {dela} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {ekvation} Slutligen, från 1 , har vi också $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ Slutligen är vi redo att beräkna variationen i åtgärden. Vi har \ begin {ekvation} \ börjar {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R – \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & = – \ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ höger) – \ frac {\ omega} {\ phi} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} Kräver att variationen av åtgärd försvinner (till ledande ordning i $ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $) ger \ begin {ekvation} \ börjar {split} G _ {\ mu \ nu} & = – \ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {ekvation} Kom ihåg att stress-tensor definieras som \ begin {ekvation} \ börjar {split} T _ {\ mu \ nu} = – \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {ekvation} Således \ börjar {ekvation} \ börjar {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {ekvation} vilket är Brans-Dicke-ekvationen.
Kommentarer
- Jag ser hur man gör det nu. När det gäller min andra fråga, blir den extra termen helt enkelt noll eftersom det kovarianta derivatet av den metriska tensorn är noll? Så nu blir handlingen den välkända Einstein-Hilbert-åtgärden?
- Att ’ är korrekt.
- Hur bevisar du $ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? Jag kan inte följa wikipedia-posten … $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ Vad sägs om teckenfelet?
- @BreakingM_a_t Observera att per definition $ \ delta g = \ det (g + \ delta g) – \ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) – 1 \] $. För att beräkna $ \ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) $ till ledande ordning i $ \ delta g $ använder vi identiteten $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. Sedan har vi $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t Detta innebär $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {- 1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. Således finner vi att $ \ delta \ sqrt {- g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt {- g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
Lämna ett svar