Ursprung konjugierter Variablen in physikalischen Theorien
On Februar 16, 2021 by adminWarum kommen konjugierte Variablen paarweise vor? Zum Beispiel haben wir in der klassischen Mechanik die verallgemeinerten Koordinaten von Position und Impuls, und es gibt Jacobis Aktionswinkelkoordinaten. Auch in den grundlegenden thermodynamischen Gleichungen erscheinen alle relevanten Größen paarweise, dh Volumen und Druck, Entropie und Temperatur, Partikelanzahl und chemisches Potential. Sicherlich kann ein dimensionales Argument dafür angeführt werden, warum wir diese Paare wollen (so dass sie Energieeinheiten usw. ergeben), aber ich suche nach einem konzeptionellen Argument, warum konjugierte Variablen Kommen Sie zu zweit.
Ich entschuldige mich, wenn diese Frage schlecht gestellt ist.
Kommentare
- Vielleicht hängen sie mit Ihrer Frage zusammen die Onsager-Wechselbeziehungen zwischen verallgemeinerten Flüssen und Kräften, die tatsächlich aus ersten Prinzipien abgeleitet werden können.
- Verwandte: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Antwort
Dies könnte die beste Antwort sein indem Sie Ihre ersteren Beispiele (Position und Impuls) und Ihre letzteren Beispiele (Volumen und Druck usw.) getrennt betrachten. Siehe diese Frage , warum ich diese separat betrachte.
Die erste Reihe von Beispielen (solche aus der Hamilton-Mechanik) hat ihre Wurzeln in Pontryagin-Dualitäten . Der Beweis für dieses Konzept ist etwas detailliert, aber es läuft im Wesentlichen darauf hinaus, die Bedingungen zu finden, unter denen $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ in gewissem Sinne $ f $ entspricht. Dies gilt übrigens für alle kompakten abelschen Gruppen. Und zufällig ist die Position das Pontryagin-Dual des Impulses und umgekehrt.
Die zweite Reihe von Beispielen (aus der Thermodynamik) ergibt sich, wenn wir Gleichgewichtsverteilungen in der Thermodynamik betrachten. In diesem Fall sind diese paarweisen Variablen nichts „Besonderes“. Betrachten Sie zum Beispiel die interne Energiegleichung für ein kanonisches Ensemble, die sich auf Entropie (S), Volumen (V), Temperatur (T) und Druck (p) bezieht:
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Sie können sehen, dass Temperatur und Druck nur die „Proportionalitätskonstanten“ der Änderungen von Entropie und Volumen in dieser Gleichung sind. Warum Änderungen der Temperatur die Entropie (Wärmeübertragung) beeinflussen, liegt am zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, der versucht, die Entropie des Systems plus des Bades zu erhöhen. Wenn das System leicht aus dem Gleichgewicht gebracht wird, beispielsweise durch Erhöhen von $ T $ des Bades um einen sehr kleinen Betrag, wird eine gewisse Entropie ausgetauscht und das System gleicht sich wieder aus.
Es gibt eine andere Art der Beziehung zwischen Temperatur und Wärme, sagen wir, und Position / Impuls. Während verallgemeinerter Impuls und Position durch reziproke Differentialgleichungen in Beziehung gesetzt werden, gilt dies nicht für Temperatur und Wärme.
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