Warum ist die Exzentrizitätsvektorgleichung immer gleich -1?
On Februar 13, 2021 by adminDies ist die Exzentrizitätsvektorgleichung, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Nun ist diese Gleichung anders geschrieben als viele verschiedene Quellen, aber sie bedeuten im Wesentlichen dasselbe. Ich habe diese Gleichung ausprobiert und egal welche Werte ich den Variablen gegeben habe, die Antwort ist immer -1 (oder 1 in absoluten Zahlen). Ich verstehe, dass die Exzentrizität einer Parabel 1 ist, aber diese Gleichung gilt auch für Ellipsen. Warum ist die Antwort immer -1? Vermisse ich etwas Vielen Dank im Voraus.
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für eine wirklich gute Frage! Ich ' schreibe jetzt eine Antwort, sollte ungefähr 20 Minuten dauern …
Antwort
Der Ausdruck auf der rechten Seite soll den Exzentrizitätsvektor angeben, aber die Vektornotation ist verloren gegangen.
Hier steht in diese Antwort :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
und die Vektornatur ist ebenfalls nicht klar. Wir sollten es schreiben als
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
wobei die fette Fläche Vektoren und $ v = | \ mathbf {v} | $ und $ r = | \ mathbf {darstellt r} | $ oder als
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
Im Ausdruck $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ Der Begriff $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ ist ein Vektorpunktprodukt und gibt einen Skalar zurück , der dann den Vektor $ \ mathbf {v} $ multipliziert.
Hier ist eine schnelle Berechnung, um dies zu bestätigen. Ich habe $ \ mu = 1 $ und $ a = 1 $ , so dass die Umlaufzeit $ 2 \ pi $ ist. Sie können sehen, dass die x-Komponente des Exzentrizitätsvektors +0,8 und konstant ist und die y-Komponente 0,0 ist. Dies bestätigt, dass der Exzentrizitätsvektor immer in Richtung der Periapsis zeigt und seine Größe immer gleich ist die skalare Exzentrizität, die in diesem Fall 0,8
Python-Skript:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Kommentare
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- @uhoh Nur zur Verdeutlichung: Das Vektorpunktprodukt ist in einer Kreisbahn immer 0, oder? Weil der Winkel zwischen meiner Geschwindigkeit und dem Radius liegt immer 90 Grad. Und in einer elliptischen Umlaufbahn ist das Vektorpunktprodukt bei Apoapsis und Periapsis 0.
- @StarMan yep, dass ' wahr ist. Für ein Kreis Umlaufbahn oder für eine Periapsis und die Apoapsis einer Ellipse $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ ist Null. Zur schnellen Überprüfung: Wenn für einen Kreis mit $ e = 0 $ der 2. Term rechts Null ist, haben Sie $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $, was $ v ^ 2 = mu / r $ ergibt ist die vis-viva-Gleichung für eine Kreisbahn mit $ r = a $.
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