Warum nehmen wir an, dass Dirac-Spinor $ \ Psi $ das Teilchen beschreibt, nicht das Feld?
On Februar 13, 2021 by adminEs ist bekannt, dass Klein-Gordon $ \ Psi (x) $, $$ (\ partiell ^ {2} + m ^) skaliert 2) \ Psi (x) = 0 $$ sowie 4-Vektor $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ partiell ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partielle _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (und sogar die Funktion eines beliebigen ganzzahligen Spins) beschreiben das Feld: Erstens gibt es keine positive definitive Norm (mit Lorentz-invariantem Vollraumintegral) ) für diese Funktionen und die zweite werden die freien Lösungen in Form unabhängiger harmonischer Oszillatoren dargestellt, wie im Fall eines klassischen elektromagnetischen Feldes. Daher nehmen wir natürlich Kommutierungsbeziehungen für Amplitudenoperatoren dieser Felder an.
Dann haben wir die Dirac-Gleichung und die entsprechende Funktion (im Allgemeinen – sehen wir die Funktion des willkürlichen Halb-Ganzzahl-Spins). Nehmen wir auch an, dass wir nicht wissen, dass es ein Teilchen beschreibt. Wir können bauen positive definitive Norm (mit Lorentz-invariantem Vollraumintegral), und die Lösung für das Feld sieht auch aus wie harmonische Osci llator. Aber für eine positive Bestimmung der Energie müssen wir Antikommutationsbeziehungen annehmen.
Die Frage: Warum nehmen wir an, dass der Dirac-Spinor $ \ Psi $ (oder im Allgemeinen Tensoren eines beliebigen Spins) nur die beschreibt Teilchen, nicht das Feld? Meiner Meinung nach lässt die Tatsache der positiven definitiven Norm die Möglichkeit zur Beschreibung des Feldes durch diesen Spinor (nicht das Teilchen).
Bei meiner Frage geht es nicht um die formale Definition dieser Funktionen. Natürlich sind alle relativistische Felder. Sie beschreiben aber unterschiedliche physikalische Objekte in klassischen Grenzfeldern und Teilchen entsprechend. Die Maxwell-Funktion $ A _ {\ mu} $ beschreibt das EM-Feld auch im klassischen Grenzbereich, aber der Dirac-Spinor $ \ Psi $ beschreibt das Elektron nur im Quantenfall (wenn QM Arbeit postuliert).
Kommentare
- Korrigieren Sie mich, wenn ich mich irre, aber ist der Dirac-Spinor $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ keine Feldfunktion, die auf Raumzeitkoordinaten definiert ist? Diese Funktion gibt keine Wahrscheinlichkeit für die Position von Partikeln oder Partikeln in der klassischen Bedeutung des Wortes an (wie in Borns ‚ Interpretation von Schrödinger ‚ s nicht-relativistische Gleichung). In der Quantenfeldtheorie handelt es sich um ein abstraktes Operatorfeld.
- @J á nLalinsk ý: Ihr Kommentar lautet sehr hilfreich. Ich denke, dass die Antwort darauf folgt. Ja, gemäß der Definition des relativistischen Feldes als Funktion, die den Minkowskian-Raum bestimmt hat, ist Ihre erste Aussage wahr. Meine Frage ist jedoch, welches physikalische Objekt diese Funktion beschreibt, nicht der mathematische Status der Funktion. Was die nächsten Aussagen betrifft, können wir freie Felder annehmen, so dass wir ‚ nicht einmal das Feld quantisieren müssen und daher nicht die Quantenfeldtheorie annehmen (arbeitet nur mit relativistischem QM).
- Ich denke, in Ihrer Frage sind zwei Frameworks gemischt, sowohl die KG- als auch die Dirac-Lösung wurden zuerst als Erweiterung des ersten Quantisierungs-Frameworks verwendet, und beide beschreiben Partikel / Wahrscheinlichkeitswellen in diesem Framework: Bosonen für KG und Fermionen für Dirac. Die zweite Quantisierung ist ein anderer mathematischer Rahmen / eine andere mathematische Sichtweise, die die Lösungen in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verwandelt. Es funktioniert bei der Berechnung von Querschnitten usw., ist jedoch nicht besonders nützlich bei der Visualisierung / Anpassung von “ Partikeln-in / Partikel-out „. Wir neigen dazu, den Rahmen der ersten Quantisierung bei der Beschreibung spezifischer Wechselwirkungen beizubehalten.
- “ Aber meine Frage ist, welches physikalische Objekt diese Funktion beschreibt, nicht den mathematischen Status der Funktion. “ Das ist eine sehr gute Frage! Vielleicht würde es helfen, wenn Sie es der ursprünglichen Frage hinzufügen könnten. Ich ‚ bin auch neugierig auf Antworten.
Antwort
In QFT wird der Dirac-Spinor auch in ein Feld befördert, dessen Oszillationsmoduskoeffizienten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind.
ABER: Für den Dirac-Spinor ist es möglich , Definieren Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte und einen Strom:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
Die Nullkomponente dieses Stroms ist positiv definit und unter Verwendung der Dirac-Gleichung kann man zeigen, dass es konserviert ist, dh $ \ partielle_ \ mu \ rho ^ \ mu \ äquiv 0 $.
Daher wird der Dirac nicht nur als Quantenfeld interpretiert Der Spinor kann als Teilchenwellenfunktion im regulären QM interpretiert werden.
Ich möchte Sie jedoch daran erinnern, dass die Energieeigenwerte des Dirac-Operators nicht von unten begrenzt sind. Dies ist nicht so problematisch, wenn man dem Konzept des Dirac-Elektronenmeeres zustimmt, das bereits alle negativen e besetzt Energiezustände.Während die Konstruktion des Dirac-Meeres sehr von Hand bewegt wird, liefert sie eine wichtige Vorhersage: die Bildung von Teilchen-Antiteilchen-Paaren aus „reiner Energie“ (dh einem Photon).
Kommentare
- “ … der Dirac-Spinor kann im regulären QM als Teilchenwellenfunktion interpretiert werden … „, – aber kann es als Feldwellenfunktion im regulären QM interpretiert werden, wie $ A _ {\ mu} $?
- Ich bin nicht sicher, was Sie mit “ Feldwellenfunktion “ im regulären QM. Entweder haben Sie eine Quantenfeldtheorie (die kein reguläres QM ist) oder Sie haben Quantenteilchen und klassische Felder (wo es kein Konzept wie eine “ -Feldwellenfunktion ).
- @Neuneck Ihre Formel für $ \ rho ^ \ mu $ ist die des KG-Feldes! Das Feld für Dirac enthält $ \ gamma ^ \ mu $ Matrizen! Bitte korrigieren. Tatsächlich ist die Situation der der komplexen KG-Gleichung sehr ähnlich. In diesem Fall ist die Energie unten begrenzt, während die konservierte Ladung nicht positiv ist (mit einem bestimmten Vorzeichen). Wenn jedoch nur Lösungen betrachtet werden, bei denen positive Frequenzmoden überlagert werden, ist die Ladung positiv und die Energie ist unten begrenzt. Bei der Dirac-Gleichung, bei der nur positive Frequenzlösungen berücksichtigt werden, sind sowohl Energie als auch Ladung positiv (mit eindeutigem Vorzeichen).
- Vielen Dank, ich habe korrigiert. Für das KG-Feld gibt es im regulären QM keinen physikalischen Grund, nur die positiven Frequenzmodi zu betrachten. Für die Dirac-Gleichung – da es sich um Fermionen handelt – kann ein Teilchen nach dem Besetzen der negativen Energiezustände seine Energie auf keinen Fall reduzieren, indem es in jeden tiefer liegenden Modus zerfällt. Für Bosonen existiert dieser Ausschluss nicht.
- Verstehe ich also richtig: Die Dirac-Gleichung außerhalb von QFT kann ein Teilchen beschreiben, während die Klein-Gordon-Gleichung dies aufgrund des undefinierten Vorzeichens von “ Norm “ seiner Lösungen? (Ich bin nicht der OP)
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