Wie erhält man die Ableitung einer Normalverteilung mit ihren Parametern?
On Februar 13, 2021 by adminNormalerweise berechnen wir die Ableitung der normalen Dichte mit ihren Parametern, dem Mittelwert und der Varianz. Aber können wir die Ableitung der Normalverteilung anhand der Parameter berechnen (nicht die Variable, ich weiß, dass die Ableitung der Variablen die Dichte ergibt)? Wenn ja, wie berechnen wir das?
Antwort
Wenden Sie zur Differenzierung einfach die Kettenregel an . Die CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ einer $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ Zufallsvariablen $ X $ ist $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu}) {\ sigma} \ right) $ und so $$ \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ wobei $ \ phi (x) $ der Standard ist Die normale Dichte und die Menge in eckigen Klammern am Ausdruck ganz rechts oben können als Dichte von $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ erkannt werden.
Ich werde die Berechnung der Ableitung in Bezug auf $ \ sigma $ oder $ \ sigma ^ 2 $, damit Sie es selbst herausfinden können.
Kommentare
- @indumann Ich habe keine Idee, warum Sie " normale Tabellen " verwenden möchten, um den numerischen Wert der Ableitung $ zu ermitteln \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $, da die Ableitung eine bekannte einfache Formel hat. Ja, ältere Tabellenbücher wie Abramowitz und Stegun haben Tabellen mit den Werten der normalen Dichtefunktion, aber heutzutage mit " Scientific " Taschenrechner, die so leicht verfügbar sind, ganz zu schweigen von R und MATLAB sowie Python und Excel und …, das Auswerten der Ableitung ist einfach.
- Ich frage mich, was der Downvoter so gefunden hat meine Antwort ist zu beanstanden.
Antwort
Es ist ein einfacher Kalkül. Denken Sie daran, dass ein Integral (welches das ist kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion) ist im Grunde eine Summe. Eine Ableitung einer Summe ist also dieselbe wie eine Summe von Ableitungen. Daher differenzieren Sie einfach die Funktion (dh die Dichte) unter dem Integral und integrieren. Dies war meine bastardisierte Version der Grundsatz der Analysis, den einige hier nicht mochten.
So würden Sie es mit der normalen Wahrscheinlichkeit machen. Erstens die allgemeine Beziehung für die Wahrscheinlichkeitsfunktion $ F (x; \ mu, \ sigma) $ und die Dichte $ f (x; \ mu, \ sigma) $, wobei der Mittelwert und die Standardabweichung die Parameter sind: $$ \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Sie haben tatsächlich a verwendet allgemeinere Form dieser Manipulation namens Leibnitz-Regel , als Sie erwähnten, dass die Differenzierung der Wahrscheinlichkeitsfunktion durch die Variable selbst (dh $ \ frac {\ partiell} {\ partielles x} $) gibt Ihnen die Dichte (PDF).
Stecken Sie als Nächstes die Dichte ein: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partielle} {\ partielle \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Änderung der Variablen $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ rechts) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Sie haben also Folgendes: $$ \ frac {\ partiell} {\ partiell \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Sie können einen ähnlichen Trick mit der Varianz ausführen.
Kommentare
- @dilipsarwate Vielen Dank. Das bedeutet, dass ich die normalen Tabellen nachschlagen muss, um einen Wert zu erhalten. Richtig?
- Leider ist es im Allgemeinen nicht wahr, dass die " -Derivat einer Summe ist Dies entspricht einer Summe der Ableitungen. "
- Leider fehlt dem Endergebnis ein negatives Vorzeichen (es erscheint korrekt in der obigen Formel). Aber das Ergebnis ist auch auf andere Weise falsch. Zu diesem Zeitpunkt werde ich diese Antwort bis zur Korrektur der Fehler und möglicherweise bis zum erneuten Schreiben des ersten Absatzes ablehnen.
- Nein, immer noch falsch. Der Fehler beginnt direkt nachdem Sie " gesagt haben. Stecken Sie als Nächstes die Dichte " ein und verbreiten Sie sich von dort aus.
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