Wie kann man herausfinden, ob eine Transformation eine kanonische Transformation ist?

Es gibt drei einfache Tests, um zu überprüfen, ob eine Transformation kanonisch ist. Beachten Sie, dass in bestimmten Lehrbüchern je nach der genauen Definition von einige multiplikative Konstanten auftreten können kanonische Transformation.

Notation

Sei $ x = (p, q) $ die $ 2n $ -Variablen und die transformierten Variablen $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.

Die Methode des symplektischen Jakobianers

Sei $ J = \ partiell \ tilde {x} / \ partiell x $ ist die Jacobi-Matrix der Transformation. Außerdem sei $ \ mathbb {E} $ eine $ 2n \ mal 2n $ Blockmatrix $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$

Dann die Transformation ist genau dann kanonisch, wenn

$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$

Die Methode der Poisson-Klammern

Die Transformation ist genau dann kanonisch, wenn die grundlegenden Poisson-Klammern erhalten bleiben.

$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$

Die Methode der Liouville-Differentialform

Dies ist etwas weniger praktisch, aber ich füge es der Vollständigkeit halber hinzu. Die Transformation ist genau dann kanonisch, wenn die Differentialform $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ geschlossen ist.

Kommentare

• Können Sie eine Referenz für die Methode des symplektischen Jacobian (vorzugsweise ein Buch) geben? 🙂

Hinweis: Poisson-Klammern sind kanonische Invarianten, dies ist

$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$

Kommentare

• es reicht also zu zeigen, dass $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
• Ja; Dies ist die robustere Definition eines CT. Da PBs ableitungsähnlich sind, dh die Kettenregel befolgen, müssen Sie nur zwei Begriffe leicht berechnen, um die Beziehung zu überprüfen, nach der Sie fragen.

Eine andere Möglichkeit (eine praktische Verknüpfung) besteht darin, zu versuchen, eine generierende Funktion zu finden. In diesem Fall verwenden wir $ F_3 (Q, p) $, da $ Q $ und $ p $ grundlegendere Variablen zu sein scheinen. Die ursprünglichen Gleichungen entsprechen \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Gl. (1) entspricht \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}

Nun zu Gl. (2) und (3) können wir leicht verifizieren, dass $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ \ begin {align} P = – \ frac {\ partiell F_3} {\ partiell erfüllt Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partielle F_3} {\ partielle p}. \ tag {5} \ end {align} Dies bedeutet, dass für die gegebene Transformation durch dieses $ F_3 (Q, p) $ generiert wird und daher kanonisch ist.

Beachten Sie, dass die mögliche funktionale Form von $ F_3 (Q, p) $ kann aus einem Trial-and-Error-Ansatz abgeleitet werden. In diesem Fall haben wir Gl. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ und verifizierte dann, dass es Gl . (5).

Die Antwort von Enucatl ist zufriedenstellend genug. Im Beispiel $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ in der Frage angegeben, Es scheint, dass es eine dimensionale Nichtübereinstimmung gibt.

Das Argument in $ \ cot $ muss ein $ [p / (p_o)] $ sein, wobei $ p_o $ Impulsdimensionen hat und das Argument des Logarithmus $ sein muss $ q_o \ frac {\ sin (p / p „_o)} {q}, $$ $ p“ _o $ muss nicht gleich $ p_o $ sein. Selbst wenn P und Q keine Dimensionen von Impuls bzw. Länge haben, spielt dies möglicherweise keine Rolle (bekannt als allgemeiner Fall einer kanonischen Transformation).

Ich bin gespannt, ob die Operationen für die Dimensionsanpassung vorliegen implizierte (wie die modische (die ich nicht mag) Art und Weise, wie bestimmte Bücher $ c = 1 $ nehmen und die relativistische Energie eines freien Teilchens $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} nennen $ anstelle von $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ usw.).