Pole mezi deskami paralelního deskového kondenzátoru pomocí Gauss ' s zákona
On 20 ledna, 2021 by adminVezměme si následující paralelní deskový kondenzátor vyrobený dvou desek se stejnou plochou $ A $ a stejnou povrchovou hustotou náboje $ \ sigma $:
elektrické pole v důsledku kladné desky je
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
A velikost elektrického pole v důsledku záporné desky je stejný. Tato pole se přidají mezi kondenzátor poskytující čisté pole:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Pokud se pokusíme získat výsledné pole pomocí Gaussův zákon, který uzavírá desku v Gaussově povrchu, jak je znázorněno, existuje tok pouze skrz plochu rovnoběžnou s kladnou deskou a mimo ni (protože druhá strana je ve vodiči a elektrické pole sklouzává všechny ostatní plochy).
$$ \ Phi = \ mast \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
kde $ E $ je elektrické pole mezi deskami kondenzátoru. Gaussův zákon se rovná poplatku $ Q $ na deskách dělenému $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ znamená E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Vím, že v mých předpokladech nebo porozumění je něco zásadně nesprávného, protože při výpočtu elektrických polí pomocí Gauss často dostávám protichůdné výsledky “ s Zákon. Nepodařilo se mi to však identifikovat.
Upravit: Další problém, který jsem si všiml, byl, že i když odstraníme zápornou desku z kondenzátoru a poté stejným způsobem použijeme Gaussův zákon, pole stále vyjde na $ \ sigma / \ epsilon_0 $, což je zjevně špatné protože negativní deska přispívá k poli. Možná je tedy problém v aplikaci Gaussova zákona.
Komentáře
- Problém je zde vaše první rovnice, měla by být σ / 2ϵ. Můžete to odvodit pomocí Gauss.
Odpověď
Toto je extrémně častá chyba úvodní EM – od studentů, kteří skutečně tráví čas přemýšlením o problému 😉 Použijte Gaussův zákon v obou případech:
V případě nekonečných desek nemáte výsledek, který uvedete jako první. Gaussův válec má dva disky na obou stranách desky, takže $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ A ze superpozice získáte celkové elektrické pole $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Váš druhý případ je správný, ale náboj uzavřený vaším povrch je $ Q / 2 $ relativně k prvnímu případu (zachování náboje, pokud chcete stejnou odpověď, měli byste mít stejný celkový náboj na deskách), takže $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Což vám při použití superpozice opět poskytne stejnou odpověď.
Odpovědět
Zvažte nejprve jednu nekonečnou vodivou desku. Chcete-li použít Gaussův zákon s jedním koncem válce uvnitř vodiče, musíte předpokládat, že vodič má určitou konečnou tloušťku. Přitom musí být hustota povrchového náboje $ \ sigma $ rozložena na obě strany (přemýšlejte z toho jako konečná deska s malou tloušťkou a poté ji natáhnout do nekonečna. Použití Gaussova zákona s touto deskou (buď vložení jednoho konce válce do vodiče nebo jednoho konce na obě strany) dává výsledek $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Představte si nyní přivedení druhé desky s opačnou hustotou náboje $ – \ sigma $ z nekonečna. Protože tyto desky jsou vodiče, náboje v každé desce se bude pohybovat a rušit pole z protilehlé desky uvnitř vodiče (pamatujte $ E = 0 $ uvnitř vodiče). Protože elektrické pole produkované každou deskou je konstantní, lze toho dosáhnout ve vodiči s čistým kladným nábojem přesunutím hustoty náboje $ + \ sigma $ na stranu desky obrácenou k záporně nabité desce a $ – \ sigma $ na druhou stranu. Opak bude proveden v záporně nabité desce. Nyní lze použít Gaussův zákon s válcem kolem kladné desky a najít $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. To je v souladu s přidáním elektrického pole produkovaného každou z desek jednotlivě.
Pokud se pozorně podíváte na elektrická pole na obrázku, který jste nakreslili výše, uvidíte, že elektrické pole uvnitř vodiče je skutečně nenulové. Udržovat elektrické pole uvnitř vodivého desky nulové, je třeba vzít v úvahu tyto indukované náboje.
Nyní je také zřejmé, že elektrické pole závisí na záporně nabité desce.Pokud by se náboj na této desce změnil nebo úplně odstranil, pak by se indukovaný náboj na pozitivní desce jasně změnil, což by mělo za následek změnu elektrického pole.
Komentáře
- Ahoj, je možné to vyřešit i bez Gauss ‚ s zákona pomocí spojitého integrálního superpozice?
- @JDoeDoe: Ano , rozhodně. ‚ byste měli integrál po celé ploše desky, který by měl nekonečné limity, a příspěvek elektrického pole by byl něco jako 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy pro vzdálenost d nad deskou. A samozřejmě musíte ‚ vypracovat i vektorové příspěvky.
- Velmi pěkná odpověď!
Odpověď
V kondenzátoru jsou desky nabíjeny pouze na rozhraní obráceném k druhé desce. Je to proto, že „správným“ způsobem, jak vidět tento problém, je polarizovaný kovový kus, kde jsou obě polarizované části umístěny proti sobě.
V zásadě každá hustota náboje generuje pole, které je $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Je to jen to, že skutečná geometrie deskového kondenzátoru je taková, že se tato pole sčítají v oblasti desky a mizí venku, což vysvětluje výsledek, který najdete u Gaussova „zákona“. Pamatujte, že Gaussův zákon vám říká celkové elektrické pole a ne pouze kvůli poplatku, který obklopujete. Je tomu tak proto, že při použití Gaussova zákona používáte také některé okrajové podmínky. Ve vašem výpočtu vychází toto celkové pole ze skutečnosti, že jste rukou vložili, že pole muselo být v deskách nulové.
Pro ilustraci to spočítejme případ jedné desky ve vesmíru a potom případu dvou desek.
Pokud máte ve vesmíru jedinou desku, je deska rovinou symetrie a máte $ E (0_ +) = -E (0 _-) $, které vzniknou, když použijete Gaussovu větu k $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ kde $ \ text {sgn} (x) $ je znak proměnné $ x $.
Když máte kondenzátor, například levá deska již není rovinou symetrie a máte $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Použitím Gaussovy věty uvnitř kondenzátorové desky zjistíte, že elektrické pole je tam jednotné s hodnotou $ E_ {int} $ a jeho použitím venku uvidíte, že je také jednotné a vezme hodnoty $ E_ {ext} ^ {(1)} $, když $ x < 0 $ a $ E_ {ext} ^ {(2)} $, když $ x > L $. Poté na každou desku naposledy použijeme Gaussovu větu, abychom zjistili, že $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ a $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Máme zde dvě rovnice a tři neznámé. Přidáním těchto dvou rovnic získáte $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ a jejich odečtením získáte $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Tady jsem nepoužil fakt, že se jednalo o skutečný kondenzátor s kovovými deskami, jen jsem si představoval nekonečné listy opačného náboje proti sobě. Je tedy normální zjistit, že obecným řešením může být součet libovolného externího pole + pole vytvořeného těmito listy.
Představení případu, kdy je externí pole nulové nebo skutečnost, že v systému jsou skutečně kovové desky, dává obvyklý výsledek, že pole je $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ uvnitř a nula venku.
Komentáře
- Nemohu ‚ z vaší odpovědi zjistit, kde jsem se pokazil . Mohl byste to upřesnit?
- Trochu jsem rozvinul svůj názor a uvědomil jsem si, že to není ‚ tak triviální, jak jsem obecně očekával. V každém případě jde o to, že z hlediska Gauss ‚ s věty nejsou tyto dva případy stejné.
- “ Pamatujte, že Gauss ‚ zákon vám říká celkové elektrické pole a ne jediné pouze kvůli náboji, který obklopujete. “ Hm, to se ‚ nezdá správné.
- @Elliot: můžete upřesnit, co vypadá dobře nebo ‚ t?
Napsat komentář