Felt mellem pladerne på en parallel pladekondensator ved hjælp af Gauss ' s Law
On januar 20, 2021 by adminOvervej følgende lavede parallelle pladekondensator af to plader med lige areal $ A $ og lige overfladeladningstæthed $ \ sigma $:
elektrisk felt på grund af den positive plade er
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Og størrelsen af det elektriske felt på grund af den negative plade er samme. Disse felter tilføjes mellem kondensatoren, hvilket giver et nettofelt på:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Hvis vi prøver at få det resulterende felt ved hjælp af Gauss lov, der omslutter pladen i en Gaussisk overflade som vist, er der kun flux gennem ansigtet parallelt med den positive plade og uden for den (da den anden flade er i lederen og det elektriske felt skummer alle andre flader).
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
hvor $ E $ er det elektriske felt mellem kondensatorpladerne. Gausss lov dette er lig med ladningen $ Q $ på pladerne divideret med $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ indebærer E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Jeg ved, at der er noget fundamentalt forkert i mine antagelser eller forståelse, fordi jeg ofte får modstridende resultater, når jeg beregner elektriske felter ved hjælp af Gauss ” s lov. Det lykkes mig dog ikke at identificere dette.
Rediger: Også et andet problem, jeg bemærkede, var at selvom vi fjerner den negative plade fra kondensatoren og derefter anvender Gausss lov på samme måde, kommer feltet stadig ud til at være $ \ sigma / \ epsilon_0 $, hvilket helt klart er forkert da den negative plade bidrager til marken. Så måske ligger problemet i anvendelsen af Gausss lov.
Kommentarer
- Problemet er din første ligning der, det skal være σ / 2ϵ. Du kan udlede dette ved hjælp af Gauss.
Svar
Dette er en yderst almindelig fejl i indledende EM – fra studerende, der faktisk bruger tid på at tænke over problemet, alligevel 😉 Brug Gauss lov i begge tilfælde:
I tilfælde af uendelige plader har du ikke det resultat, du giver først. En Gaussisk cylinder har to skiver på hver side af pladen, så $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ Og fra superposition får du det samlede elektriske felt $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Din anden sag er korrekt, men afgiften vedlagt din overfladen er $ Q / 2 $ i forhold til det første tilfælde (bevarelse af ladning, hvis du vil have det samme svar, har du bedre den samme samlede ladning på pladerne), så $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Hvilket igen får dig det samme svar, når du anvender superposition.
Svar
Overvej først en enkelt uendelig ledende plade. For at anvende Gauss lov med den ene ende af en cylinder inde i lederen, skal du antage, at lederen har en endelig tykkelse. Ved at gøre dette skal overfladeladningstætheden $ \ sigma $ være spredt over begge sider (tænk af dette som en endelig plade med en lille tykkelse og stræk den derefter ud til uendelig. Brug af Gauss lov med denne plade (enten at placere den ene ende af cylinderen i lederen eller den ene ende på begge sider) giver et resultat på $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Forestil dig nu at bringe den anden plade med modsat ladningstæthed $ – \ sigma $ ind fra uendelig. Fordi disse plader er ledere, oplades i hver plade vil bevæge sig rundt for at annullere feltet fra den modsatte plade inde i lederen (husk $ E = 0 $ inde i en leder). Fordi det elektriske felt, der produceres af hver plade, er konstant, kan dette opnås i lederen med den positive nettoladning ved at flytte en ladningstæthed på $ + \ sigma $ til den side af pladen, der vender mod den negativt ladede plade, og $ – \ sigma $ til den anden side. Det modsatte gøres i den negativt ladede plade. Man kan nu anvende Gauss lov med en cylinder omkring den positive plade for at finde $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. Dette er i overensstemmelse med tilføjelse af det elektriske felt, der produceres af hver af pladerne individuelt.
Hvis du ser nøje på de elektriske felter i figuren du har tegnet ovenfor, vil du se det elektriske felt inde i lederen faktisk ikke er nul. At holde det elektriske felt inde i ledningen plader nul, skal man tage disse inducerede ladninger i betragtning.
Det er også nu indlysende, at det elektriske felt afhænger af den negativt ladede plade.Hvis ladningen på denne plade blev ændret eller fjernet fuldstændigt, ville den inducerede ladning på den positive plade tydeligt ændre sig med en resulterende ændring i det elektriske felt.
Kommentarer
- Hej, er det også muligt at løse dette uden Gauss ‘ s lov ved hjælp af den kontinuerlige superposition integral?
- @JDoeDoe: Ja , sikkert. Du ‘ d har et integralt over hele overfladen af pladen, som ville have uendelige grænser, og det elektriske feltbidrag ville være noget i retning af 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy i en afstand d over pladen. Og du ‘ skal naturligvis også udarbejde vektorbidragene.
- Meget flot svar!
Svar
I en kondensator oplades pladerne kun ved grænsefladen, der vender mod den anden plade. Det skyldes, at den “rigtige” måde at se dette problem på er som et polariseret stykke metal, hvor de to polariserede dele placeres mod hinanden.
I princippet genererer hver ladningstæthed et felt, der er $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Det er bare, at den faktiske geometri af pladekondensatoren er sådan, at disse felter tilføjes i pladeområdet og forsvinder udenfor, hvilket forklarer det resultat, du finder med Gauss “lov. Husk, at Gauss” lov fortæller dig det samlede elektriske felt og ikke en kun på grund af den afgift, du omgiver. Når du bruger Gauss-loven, bruger du også nogle randbetingelser. I din beregning kommer denne samlede felt ting fra det faktum, at du lægger i hænderne, at feltet skulle være nul i pladerne.
For at illustrere det, lad os beregne sagen om en enkelt plade i universet og derefter for to plader.
Hvis du har en enkelt plade i universet, er pladen et symmetriplan og du har $ E (0_ +) = -E (0 _-) $, som giver anledning til, når du bruger Gauss sætning til $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ hvor $ \ text {sgn} (x) $ er tegnet på variablen $ x $.
Når du har en kondensator, er venstre plade for eksempel ikke længere et symmetriplan, og du har den $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Ved at anvende Gauss sætning inde i kondensatorpladen, vil du opdage, at det elektriske felt er ensartet der med en værdi $ E_ {int} $, og ved at anvende det udenfor, vil du se, at det også er ensartet og tager værdierne $ E_ {ext} ^ {(1)} $ når $ x < 0 $ og $ E_ {ext} ^ {(2)} $ når $ x > L $. Vi anvender så Gauss-sætningen en sidste gang på hver plade for at finde den $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ og $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Vi har her to ligninger og tre ukendte. Tilføjelse af disse to ligninger giver $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ og subtraktion af dem giver $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Her brugte jeg ikke det faktum, at det var en egentlig kondensator med metalliske plader, jeg forestillede mig uendelige ark med modsat ladning, der vender mod hinanden. Det er således normalt at finde ud af, at den generelle løsning kan være summen af ethvert eksternt felt + det, der oprettes af disse ark.
At forestille sig et tilfælde, hvor det eksterne felt er nul, eller det faktum, at der faktisk er metalliske plader i systemet, giver det sædvanlige resultat, at feltet er $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ indeni og nul udenfor.
Kommentarer
- Jeg kan ‘ ikke finde ud af dit svar, hvor jeg gik galt . Kunne du uddybe?
- Jeg har udviklet lidt min pointe og indset, at det ikke var ‘ t så trivielt som jeg forventede i det generelle tilfælde. Under alle omstændigheder er min pointe, at set fra Gauss ‘ sætning er disse to tilfælde ikke de samme.
- ” Husk, at Gauss ‘ lov fortæller dig det samlede elektriske felt og ikke kun på grund af den opladning, du omgiver. ” Hm, det virker ikke ‘ t.
- @Elliot: kan du angive, hvad der synes rigtigt, eller ‘ t?
Skriv et svar