Tal med forskellige cifre
On januar 11, 2021 by adminOvervej sættet med naturlige tal fra 0 til 999 inklusive. Antag, at vi vælger et delmængde af dette sæt, således at ethvert par tal fra det ikke deler mere end et ciffer i de samme positioner. For at afklare, er par som 123 og 456 tydeligvis tilladt, da de ikke deler nogen cifre til fælles.
Husk, at dette skal holdes for hvert par tal i undersættet. Hvad er det største (som i flest element ) mulige sæt, der opfylder denne betingelse? Hvad med sættet med den største sum af elementer?
(Puzzle inspireret af en samtale med en ven angående forkert indtastning af ID-numre. Undskyld, hvis dette allerede er blevet spurgt her.)
Svar
For hvad det er værd, Jeg har en pæn visualisering af, hvorfor svaret er 100:
Forestil dig først en lettere sag, hvor du har alle tallene 0-99, og du kan ikke have to numre, der deler et ciffer på samme sted; vi kan tegne en tabel med tal som denne:
Bemærk, at hvert tal i en række deler sit første ciffer, og hvert tal i en kolonne deler sit andet ciffer. Derfor skal du vælge tal, så ingen to deler en række eller kolonne. Det er ret klart, at det maksimale antal numre, du vil kunne vælge, er 10. Her er en løsning:
Overvej nu tilfældet i spørgsmålet. Få 10 af disse 0..99 tabeller, bortset fra at den anden tabel har 100..199, den tredje 200..299 osv. Lag dem derefter bagefter for at danne en 10x10x10 gitter fra 0..999 (Jeg har indtastet nogle af numrene for at give dig ideen):
Bemærk at hvert nummer i enhver “strip” på ti terninger (række eller kolonne) deler 2 cifre til fælles. Derfor skal du vælge tal, så intet nummer deler en “strip”.
Efter at have tænkt lidt over er det klart, at du kun vil være i stand til for at vælge 100 sådanne tal.
Svar
For at tilføje til PrisonMonkeys “svar, hvert sæt med 100 elementer vil have den samme sum, hvilket er 49950. For hvert sted i nummeret kan hvert ciffer kun vises i det sted e højst 10 gange, fordi det ikke kan vises med den samme værdi for et andet sted to gange. Dette betyder, at hvert ciffer skal vises på hvert sted nøjagtigt 10 gange, for at der i alt skal være 100 tal i sættet. Derfor kan vi sammenfatte hvert sted separat for at få 45000 + 4500 + 450 = 49950.
Svar
Jeg har en løsning med 100 elementer i sættet. Generer hvert nummer som følger:
For element $ 0 \ leq n \ leq 99 $, tilføj
ABC
til sættet, hvorAB
er $ n $ (med et førende nul, hvis $ n < 10 $) ogC
erA+B mod 10
. Så for $ n = 3 $ erAB
03
ogC
er0+3 mod 10=3
, hvilket betyderABC
er033
.
Der er ingen par tal i dette sæt, der overtræder betingelsen (så vidt jeg ved, det er). Og der er ikke noget trecifret tal ABC
med en anden AB
del, da jeg dækkede alle de 100 muligheder. Hvilket betyder, at dette er det størst mulige sæt, der opfylder betingelsen.
Jeg har ingen løsning på det andet spørgsmål endnu.
AB
57
(A=5
ogB=7
), ogC
er5+7 mod 10=2
, såABC
er572
.