Kenttä rinnakkaislevykondensaattorin levyjen välillä käyttäen Gaussin ' s lakia
On tammikuu 20, 2021 by adminHarkitse seuraavaa kahdesta levystä, joiden pinta-ala on $ A $ ja pinnan varaustiheys on $ $ sigma $:
positiivisen levyn aiheuttama sähkökenttä on
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Ja negatiivisen levyn aiheuttama sähkökentän suuruus on sama. Nämä kentät lisätään kondensaattorin väliin, jolloin saadaan nettokenttä:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Jos yritämme saada tuloksena olevan kentän käyttämällä Gaussin laki, joka sulkee levyn Gaussin pintaan kuvan osoittamalla tavalla, virtaa vain positiivisen levyn suuntaisen pinnan läpi ja sen ulkopuolella (koska toinen pinta on johtimessa ja sähkökenttä kuorii kaikki muut pinnat). / p>
$$ \ Phi = \ vo \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
jossa $ E $ on kondensaattorilevyjen välinen sähkökenttä. Gaussin lain mukaan tämä on yhtä suuri kuin levyjen lataus $ Q $ jaettuna luvulla $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ merkitsee E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Tiedän, että oletuksissani tai ymmärryksessäni on jotain periaatteessa virheellistä, koska saan usein ristiriitaisia tuloksia laskettaessa sähkökenttiä Gaussin avulla ” Laki. En kuitenkaan onnistu tunnistamaan tätä.
Muokkaa: Huomasin myös toisen ongelman, että vaikka poistamme negatiivisen levyn kondensaattorista ja sovellamme sitten Gaussin lakia samalla tavalla, kenttä tulee silti olemaan $ \ sigma / \ epsilon_0 $, mikä on selvästi väärä koska negatiivinen levy vaikuttaa kenttään. Joten, ehkä ongelma liittyy Gaussin lain soveltamiseen.
Kommentit
- Ongelma on ensimmäinen yhtälösi siellä, sen pitäisi olla σ / 2ϵ. Voit johtaa tämän Gaussin avulla.
Vastaa
Tämä on äärimmäisen yleinen virhe johdanto-EM: ssä. – opiskelijoilta, jotka tosiasiallisesti viettävät aikaa ongelman miettimiseen 😉 Käytä Gaussin lakia molemmissa tapauksissa:
Äärettömien levyjen tapauksessa sinulla ei ole ensin antamaasi tulosta. Gaussin sylinterissä on kaksi levyä levyn kummallakin puolella, joten $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ Ja päällekkäisyydeltä saat kokonaissähkökentän $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Toinen tapauksesi on oikea, mutta latauksesi on suljettu pinta on $ Q / 2 $ suhteessa ensimmäiseen tapaukseen (varauksen säilyminen, jos haluat saman vastauksen, on parempi, että levyillä on sama kokonaisvaraus), joten $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Tämä saa taas saman vastauksen käytettäessä päällekkäisyyttä.
Vastaa
Harkitse ensin yksi ääretön johtava levy. Jotta voisit soveltaa Gaussin lakia siten, että sylinterin toinen pää on johtimen sisällä, sinun on oletettava, että johtimella on rajallinen paksuus. Tällöin pinnan varaustiheys $ \ sigma $ on jaettava molemmille puolille (ajattele tästä pienenä paksuna äärellisenä levynä ja venytä se sitten äärettömään. Gaussin lain käyttäminen tämän levyn kanssa (joko sylinterin toisen pään asettaminen johtimeen tai toisen pään molemmille puolille) antaa tuloksen $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Kuvittele nyt toisen levyn tuominen sisään päinvastaisesta vastakkaisesta varaustiheydestä $ – \ sigma $. Koska nämä levyt ovat johtimia, varaa kussakin levyssä liikkuu poistaakseen kentän johtimen sisällä olevasta vastakkaisesta levystä (muista $ E = 0 $ johtimen sisällä) .Jos jokaisen levyn tuottama sähkökenttä on vakio, tämä voidaan saavuttaa johtimessa positiivisella nettovarauksella siirtämällä lataustiheys $ + \ sigma $ levyn sivulle, joka on negatiivisesti varatun levyn kohdalla, ja $ – \ sigma $ toiselle puolelle. Negatiivisesti varatulla levyllä tehdään päinvastoin. Gaussin lakia voidaan nyt soveltaa sylinterillä positiivisen levyn ympärillä $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $ löytämiseksi. Tämä on yhdenmukaista kunkin levyn tuottaman sähkökentän lisäämisen kanssa erikseen.
Jos tarkastelet huolellisesti hänen sähkökenttiään yllä piirretyssä kuvassa, huomaat, että johtimen sisällä oleva sähkökenttä on todellakin nolla. Sähkökentän pitäminen johtavan sisällä levyt nolla, on otettava huomioon nämä aiheuttamat varaukset.
On myös nyt selvää, että sähkökenttä riippuu negatiivisesti varautuneesta levystä.Jos tämän levyn varausta muutettaisiin tai poistettaisiin kokonaan, positiivisen levyn indusoitu varaus muuttuisi selvästi, mikä muuttaisi sähkökenttää.
Kommentit
- Hei, onko mahdollista ratkaista tämä myös ilman Gaussin ’ lakia jatkuvan superposition integraalin avulla?
- @JDoeDoe: Kyllä , varmasti. Sinulla ’ d on integraali levyn koko pinnalla, jolla olisi rajattomat rajat, ja sähkökentän osuus olisi jotain 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy etäisyydelle d levyn yläpuolelle. Ja ’ sinun on selvitettävä tietysti myös vektoriosuudet.
- Erittäin mukava vastaus!
Vastaus
Kondensaattorissa levyt ladataan vain toista levyä kohti olevasta rajapinnasta. Tämä johtuu siitä, että ”oikea” tapa nähdä tämä ongelma on polarisoitunut metallikappale, jossa kaksi polarisoitua osaa asetetaan vastakkain.
Periaatteessa kukin varaustiheys tuottaa kentän, joka on $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Pelkästään levykondensaattorin todellinen geometria on sellainen, että nämä kentät summautuvat laatan alueelle ja häviävät ulkopuolella, mikä selittää löydetyn tuloksen Gaussin lailla. Muista, että Gaussin laki kertoo kokonaissähkökentän eikä yksi vain ympäröivän maksun vuoksi. Tämä johtuu siitä, että kun käytät Gauss-lakia, käytät myös joitain rajaehtoja. Laskennassa tämä kokonaiskenttä-asia tulee siitä, että panit käsin, että kentän oli oltava nolla levyissä.
Tämän havainnollistamiseksi lasketaan vain yhden levyn tapaus universumissa ja sitten kahden levyn tapaus.
Jos universumissa on yksi levy, levy on symmetriataso ja sinulla on $ E (0_ +) = -E (0 _-) $, mikä herättää, kun käytät Gaussin lauseen arvoon $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ missä $ \ text {sgn} (x) $ on $ x $ -muuttujan merkki.
Kun sinulla on kondensaattori, esimerkiksi vasen levy ei ole enää symmetriataso ja sinulla on $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Soveltamalla Gaussin lause kondensaattorilaatan sisällä huomaat, että sähkökenttä on siellä tasainen arvolla $ E_ {int} $ ja soveltamalla sitä ulkopuolelle näet, että se on myös yhtenäinen ja ottaa arvot $ E_ {ext} ^ {(1)} $, kun $ x < 0 $ ja $ E_ {ext} ^ {(2)} $, kun $ x > L $. Sitten sovellamme Gaussin lauseen viimeisen kerran kullekin levylle, jotta löydämme, että $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ ja $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Meillä on täällä kaksi yhtälöä ja kolme tuntematonta. Näiden kahden yhtälön lisääminen tuottaa $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ ja vähentämällä ne saadaan $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Täällä en käyttänyt sitä, että se oli todellinen kondensaattori, jossa oli metallilevyjä, kuvittelin vain äärettömän vastakkaisen varauksen arkkia vastakkain. Siksi on normaalia havaita, että yleinen ratkaisu voi olla minkä tahansa ulkoisen kentän summa + näiden arkkien luoman kentän summa.
Kuvittelemalla tapausta, jossa ulkoinen kenttä on nolla tai se, että järjestelmässä on tosiasiallisesti metallilevyjä, antaa tavallisen tuloksen, että kenttä on $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ sisällä ja nolla ulkopuolella.
Kommentit
- En voi ’ selvittää vastauksestasi, missä menin pieleen . Voisitteko kertoa tarkemmin?
- Olen kehittänyt hieman mielipiteeni ja tajunnut, että se ei ollut ’ niin triviaali kuin odotin yleisessä tapauksessa. Joka tapauksessa olen sitä mieltä, että Gaussin ’ lauseen näkökulmasta nämä kaksi tapausta eivät ole samat.
- ” Muista, että Gaussin ’ laki kertoo kokonaissähkökentän eikä vain ympäröivän varauksen vuoksi. ” Hm, se ei ’ näytä oikealta.
- @Elliot: Voisitteko määrittää, mikä näyttää oikealta vai ei ’ t?
Vastaa