Numerot, joilla on erilliset numerot
On tammikuu 11, 2021 by adminHarkitse luonnollisten numeroiden joukkoa 0-999, mukaan lukien. Oletetaan, että valitsemme osan tästä joukosta siten, että kaikki sen numeroparit jakavat enintään yhden numeron samoissa paikoissa. Selvennykseksi
- Parit, kuten 123 ja 456, ovat ilmeisesti sallittuja, koska niillä ei ole yhteisiä numeroita.
- 123 ja 321 ovat sallittuja yhdessä, koska ne ovat niillä on samat tarkat numerot, vain 2 on oikeastaan samassa asennossa.
- 812 ja 212 ei olisi sallittu, koska molemmilla on lopussa 12, mikä on kaksinumeroinen.
- 206 ja 246 eivät ole vastaavasti sallittuja; jaettujen numeroiden ei tarvitse olla vierekkäisiä.
- Johtavat nollat ovat tärkeitä, joten 5 ja 205 ovat kiellettyjä pareja kuin hyvin. (Ajattele, että 5 on ”005”.)
Muista, että tämän pitää olla voimassa jokaisessa alaryhmän numeroparissa. Mikä on suurin (kuten useimmissa elementeissä ) tämä ehto täyttävä joukko? Entä sarja, jolla on suurimmat sum elementit?
(Palapeli innoittamana keskustelusta ystäväsi henkilöllisyystodistusten väärinkirjoituksesta. Anteeksi, jos tätä on jo kysytty täällä.)
Vastaa
Miksi se kannattaa, Minulla on siisti visualisointi siitä, miksi vastaus on 100:
Kuvittele ensin helpompi tapaus, jossa sinulla on kaikki luvut 0-99 ja et voi antaa minkään kahden numeron jakaa minkä tahansa numeron samassa paikassa; voimme piirtää seuraavan taulukon numeroista:
Huomaa, että jokainen rivin numero jakaa ensimmäisen numeronsa ja jokainen sarakkeen numero jakaa toisen numeronsa numero. Siksi sinun on valittava numerot siten, että kaksi ei jaa riviä tai saraketta. On melko selvää, että enimmäismäärä numeroita, jotka voit valita, on 10. Tässä on yksi ratkaisu:
Harkitse nyt kysymyksessä esitettyä tapausta. Hanki 10 näistä 0..99 taulukosta, paitsi että toisessa taulukossa on 100..199, kolmannessa 200..299 ja niin edelleen. Sitten kerrosta ne taaksepäin muodostaen 10x10x10 ruudukko välillä 0..999 (olen antanut joitain numeroita saadaksesi idean):
Huomaa, että kaikki minkä tahansa ”nauhan” numerot kymmenestä kuutiosta (rivi tai sarake) on 2 yhteistä numeroa. Siksi sinun on valittava numerot siten, että mikään numero ei jaa ”nauhaa”.
Kun olet ajatellut vähän aikaa, on selvää, että voit vain valita 100 tällaista numeroa.
Vastaa
Jos haluat lisätä PrisonMonkeys-vastaukseen, jokainen sarja 100 elementillä on sama summa, joka on 49950. Jokaista numeron paikkaa kohden kukin numero voi näkyä vain kyseisessä paikassa e korkeintaan 10 kertaa, koska se ei voi näkyä samalla arvolla toiselle paikalle kahdesti. Tämä tarkoittaa, että jokaisen numeron on oltava jokaisessa paikassa täsmälleen 10 kertaa, jotta sarjassa olisi yhteensä 100 numeroa. Siksi voimme laskea kukin paikat erikseen saadaksesi 45000 + 4500 + 450 = 49950.
Vastaus
Minulla on ratkaisu, jossa on 100 elementit sarjassa. Luo kukin numero seuraavasti:
Lisää elementille $ 0 \ leq n \ leq 99 $ elementti
ABC
joukko, jossaAB
on $ n $ (johtava nolla, jos $ n < 10 $) jaC
onA+B mod 10
. Joten mallille $ n = 3 $AB
on03
jaC
on0+3 mod 10=3
, eliABC
on033
.
Tässä sarjassa ei ole yhtään ehtoa rikkovaa numeroparia (sikäli kuin tiedän, eli). Eikä ole kolminumeroista lukua ABC
, jolla olisi erilainen osa AB
, koska katsin kaikki 100 mahdollisuutta. Tämä tarkoittaa, että tämä on suurin mahdollinen joukko, joka täyttää ehdon.
Minulla ei ole vielä ratkaisua toiseen kysymykseen.
AB
on57
(A=5
jaB=7
), jaC
on5+7 mod 10=2
, jotenABC
on572
.