Champ entre les plaques dun condensateur à plaques parallèles utilisant la loi de Gauss ' s
On janvier 20, 2021 by adminConsidérons le condensateur à plaques parallèles suivant fabriqué de deux plaques avec une surface égale $ A $ et une densité de charge de surface égale $ \ sigma $:
Le champ électrique dû à la plaque positive est
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Et la magnitude du champ électrique dû à la plaque négative est la même. Ces champs sajouteront entre le condensateur donnant un champ net de:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Si nous essayons dobtenir le champ résultant en utilisant La loi de Gauss, enfermant la plaque dans une surface gaussienne comme indiqué, il ny a de flux quà travers la face parallèle à la plaque positive et à lextérieur de celle-ci (puisque lautre face est dans le conducteur et le champ électrique effleure toutes les autres faces).
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
où $ E $ est le champ électrique entre les plaques du condensateur. De La loi de Gauss est égale à la charge $ Q $ sur les plaques divisée par $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ implique E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Je sais quil y a quelque chose de fondamentalement incorrect dans mes hypothèses ou ma compréhension, car jobtiens souvent des résultats contradictoires lors du calcul des champs électriques avec Gauss » s Loi. Je ne parviens cependant pas à lidentifier.
Modifier: De plus, un autre problème que jai remarqué est que même si nous retirons la plaque négative du condensateur puis appliquons la loi de Gauss de la même manière, le champ se révèle être $ \ sigma / \ epsilon_0 $ ce qui est clairement faux puisque la plaque négative contribue au champ. Donc, peut-être que le problème est dans lapplication de la loi de Gauss.
Commentaires
- Le problème est votre première équation là-bas, elle devrait être σ / 2ϵ. Vous pouvez calculer cela en utilisant Gauss.
Réponse
Cest une erreur extrêmement courante dans lintroduction EM – des étudiants qui passent du temps à réfléchir au problème, de toute façon 😉 Utilisez la loi de Gauss dans les deux cas:
Dans le cas des plaques infinies, vous navez pas le résultat que vous donnez en premier. Un cylindre gaussien a deux disques de chaque côté de la plaque, donc $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ Et à partir de la superposition, vous obtenez le champ électrique total $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Votre deuxième cas est correct, mais la charge entourée par votre la surface est $ Q / 2 $ par rapport au premier cas (conservation de la charge, si vous voulez la même réponse vous feriez mieux davoir la même charge totale sur les plaques), donc $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Ce qui vous donne à nouveau la même réponse lorsque vous appliquez la superposition.
Réponse
Considérons dabord une seule plaque conductrice infinie. Pour appliquer la loi de Gauss avec une extrémité dun cylindre à lintérieur du conducteur, vous devez supposer que le conducteur a une épaisseur finie. Ce faisant, la densité de charge de surface $ \ sigma $ doit être répartie sur les deux côtés (pensez de celle-ci comme une plaque finie avec une faible épaisseur, puis étirez-la à linfini. En utilisant la loi de Gauss avec cette plaque (en mettant une extrémité du cylindre dans le conducteur ou une extrémité des deux côtés) donne un résultat de $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Imaginez maintenant amener la deuxième plaque, avec une densité de charge opposée $ – \ sigma $ à linfini. Parce que ces plaques sont des conducteurs, des charges dans chaque plaque se déplacera pour annuler le champ de la plaque opposée à lintérieur du conducteur (rappelez-vous $ E = 0 $ à lintérieur dun conducteur). Puisque le champ électrique produit par chaque plaque est constant, cela peut être accompli dans le conducteur avec la charge positive nette en déplaçant une densité de charge de $ + \ sigma $ sur le côté de la plaque faisant face à la plaque chargée négativement, et $ – \ sigma $ de lautre côté. Le contraire sera fait dans la plaque chargée négativement. On peut maintenant appliquer la loi de Gauss avec un cylindre autour de la plaque positive pour trouver $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. Ceci est cohérent avec lajout du champ électrique produit par chacune des plaques individuellement.
Si vous regardez attentivement les champs électriques dans la figure que vous avez dessinée ci-dessus, vous verrez que le champ électrique à lintérieur du conducteur est en effet non nul. Pour garder le champ électrique à lintérieur du conducteur plaques nulles, il faut prendre en compte ces charges induites.
Il est également maintenant évident que le champ électrique dépend de la plaque chargée négativement.Si la charge sur cette plaque était changée, ou complètement supprimée, alors la charge induite sur la plaque positive changerait clairement, avec un changement résultant du champ électrique.
Commentaires
- Bonjour, est-il également possible de résoudre ce problème sans la loi de Gauss ‘, en utilisant lintégrale de superposition continue?
- @JDoeDoe: Oui , certainement. Vous ‘ avez une intégrale sur toute la surface de la plaque, qui aurait des limites infinies, et la contribution du champ électrique serait quelque chose comme 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy pour une distance d au-dessus de la plaque. Et vous ‘ devez bien sûr travailler sur les contributions vectorielles.
- Très belle réponse!
Réponse
Dans un condensateur, les plaques ne sont chargées quà linterface faisant face à lautre plaque. Cest parce que la « bonne » façon de voir ce problème est comme un morceau de métal polarisé où les deux parties polarisées sont placées face à face.
En principe, chaque densité de charge génère un champ qui est $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Cest juste que la géométrie réelle du condensateur à plaque est telle que ces champs sadditionnent dans la région de la dalle et disparaissent à lextérieur, ce qui explique le résultat que vous trouvez avec la loi de Gauss. un uniquement en raison de la charge que vous entourez. En effet, lorsque vous utilisez la loi de Gauss « , vous utilisez également certaines conditions aux limites. Dans votre calcul, ce champ total provient du fait que vous avez mis à la main que le champ devait être nul dans les plaques.
Pour illustrer cela, calculons le cas dune seule plaque dans lunivers puis celui de deux plaques.
Si vous avez une seule plaque dans lunivers, la plaque est un plan de symétrie et vous avez $ E (0_ +) = -E (0 _-) $ qui donne lieu lorsque vous utilisez le théorème de Gauss à $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ où $ \ text {sgn} (x) $ est le signe de la variable $ x $.
Quand vous avez un condensateur, la plaque de gauche par exemple nest plus un plan de symétrie et vous avez ce $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. En appliquant le théorème de Gauss à lintérieur de la dalle du condensateur, vous constaterez que le champ électrique y est uniforme avec une valeur $ E_ {int} $ et en lappliquant à lextérieur, vous verrez quil est également uniforme et prend les valeurs $ E_ {ext} ^ {(1)} $ quand $ x < 0 $ et $ E_ {ext} ^ {(2)} $ quand $ x > L $. Nous appliquons ensuite le théorème de Gauss une dernière fois sur chaque plaque pour trouver que $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ et $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Nous avons ici deux équations et trois inconnues. Ajouter ces deux équations donnera $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ et les soustraire donne $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Ici, je nai pas utilisé le fait quil sagissait dun véritable condensateur à plaques métalliques, jai juste imaginé des feuilles infinies de charge opposée se faisant face. Il est donc normal de constater que la solution générale peut être la somme de tout champ externe + celui créé par ces feuilles.
Imaginer un cas où le champ externe est nul ou le fait quil y ait effectivement des plaques métalliques dans le système donne le résultat habituel que le champ est $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ à lintérieur et zéro à lextérieur.
Commentaires
- Je ne peux ‘ comprendre à partir de votre réponse où je me suis trompé . Pourriez-vous élaborer?
- Jai développé un peu mon argument et réalisé quil nétait ‘ t aussi trivial que je my attendais dans le cas général. Dans tous les cas, mon argument est que du point de vue du théorème de Gauss ‘, ces deux cas ne sont pas les mêmes.
- » Noubliez pas que la loi de Gauss ‘ vous indique le champ électrique total et non celui uniquement dû à la charge que vous entourez. » Hum, cela ne ‘ t semble correct.
- @Elliot: pourriez-vous spécifier ce qui semble correct ou ne le fait pas ‘ t?
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