Nombres avec des chiffres distincts
On janvier 11, 2021 by adminConsidérons lensemble des nombres naturels compris entre 0 et 999 inclus. Supposons que nous sélectionnions un sous-ensemble de cet ensemble de telle sorte que toute paire de nombres de celui-ci ne partage pas plus dun chiffre aux mêmes positions. Pour clarifier,
- Les paires telles que 123 et 456 sont évidemment autorisées car elles ne partagent aucun chiffre en commun.
- 123 et 321 sont autorisées ensemble depuis, tant quelles ont les mêmes chiffres exacts, seul le 2 est en fait à la même position.
- 812 et 212 ne seraient pas autorisés car ils partagent tous les deux le «12» à leur extrémité, ce qui est à deux chiffres.
- De même, 206 et 246 ne sont pas autorisés; les chiffres partagés nont pas besoin dêtre contigus.
- Les zéros non significatifs sont importants, donc 5 et 205 sont une paire interdite car bien. (Pensez à 5 comme « 005 ».)
Noubliez pas que cela doit être valable pour chaque paire de nombres du sous-ensemble. Quel est le plus grand ensemble possible (comme dans la plupart des éléments ) qui satisfait à cette condition? Que diriez-vous de lensemble avec la plus grande somme déléments?
(Puzzle inspiré dune conversation avec un ami pour une erreur de frappe des numéros didentification. Toutes mes excuses si cela a déjà été demandé ici.)
Réponse
Pour ce que ça vaut, Jai une vision claire de la raison pour laquelle la réponse est 100:
Imaginez dabord un cas plus simple, où vous avez tous les nombres 0-99 et vous ne pouvez pas avoir deux nombres qui partagent un chiffre au même endroit; nous pouvons dessiner une table de nombres comme ceci:
Notez que chaque nombre dune ligne partage son premier chiffre, et chaque nombre dune colonne partage son second chiffre. Par conséquent, vous devez choisir des nombres de sorte quaucun deux ne partagent une ligne ou une colonne. Il est assez clair que le nombre maximum de nombres que vous allez pouvoir choisir est de 10. Voici une solution:
Considérons maintenant le cas posé dans la question. Obtenez 10 de ces tables 0..99, sauf que la deuxième table a 100..199, la troisième 200..299, et ainsi de suite. Ensuite, superposez-les les unes derrière les autres pour former un Grille 10x10x10 à partir de 0..999 (jai entré certains des nombres pour vous donner lidée):
Notez que chaque nombre dans nimporte quelle « bande » de dix cubes (ligne ou colonne) partage 2 chiffres en commun. Par conséquent, vous devez choisir des nombres tels quaucun nombre ne partage une «bande».
Après avoir réfléchi un peu, il est clair que vous ne pourrez pour choisir 100 de ces nombres.
Réponse
Pour ajouter à PrisonMonkeys « répondez, chaque ensemble avec 100 éléments auront la même somme, soit 49950. Pour chaque place dans le nombre, chaque chiffre ne peut apparaître que dans ce plac e au plus 10 fois, car il ne peut pas apparaître deux fois avec la même valeur pour un autre lieu. Cela signifie que chaque chiffre doit apparaître à chaque endroit exactement 10 fois, pour quil y ait un total de 100 numéros dans lensemble. Par conséquent, nous pouvons additionner chaque lieu séparément pour obtenir 45000 + 4500 + 450 = 49950.
Réponse
Jai une solution avec 100 éléments de lensemble. Générez chaque nombre comme suit:
Pour lélément $ 0 \ leq n \ leq 99 $, ajoutez
ABC
à lensemble oùAB
est $ n $ (avec un zéro non significatif si $ n < 10 $) etC
estA+B mod 10
. Donc pour $ n = 3 $,AB
est03
etC
est0+3 mod 10=3
, ce qui signifie queABC
est033
.
Il ny a pas de paires de nombres dans cet ensemble qui violent la condition (pour autant que je sache, cest-à-dire). Et il ny a pas de nombre à trois chiffres ABC
avec une partie AB
différente, puisque jai couvert les 100 possibilités. Ce qui signifie que cest le plus grand ensemble possible qui satisfait la condition.
Je nai pas encore de solution pour la deuxième question.
AB
est57
(A=5
etB=7
), etC
est5+7 mod 10=2
, doncABC
est572
.