A párhuzamos lemezes kondenzátor lemezei közötti mező Gauss ' s törvény használatával
On január 20, 2021 by adminVegye figyelembe a következő párhuzamos lemezkondenzátort két lemez egyenlő területű $ A $ és egyenlő felületi töltéssűrűségű $ \ sigma $:
a pozitív lemez miatti elektromos tér
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
És a negatív lemez miatti elektromos tér nagysága a azonos. Ezek a mezők összeadódnak a kondenzátor között, így nettó mezője lesz:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Ha megpróbáljuk az eredő mezőt a Gauss törvénye szerint a lemezt egy Gauss-felületre burkolva az ábra szerint csak a pozitív lemezzel párhuzamos és azon kívüli felületen folyik a fluxus (mivel a másik oldal a vezetőben van, és az elektromos mező az összes többi oldalt lefedi). / p>
$$ \ Phi = \ ken \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
ahol $ E $ a kondenzátorlemezek közötti elektromos mező. Gauss törvénye szerint ez megegyezik a lemezeken található Q Q $ töltéssel elosztva a $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Tudom, hogy valami alapvetően helytelen a feltételezéseimben vagy a megértésemben, mert gyakran ellentmondásos eredményeket kapok, amikor Gauss segítségével kiszámítom az elektromos mezőket ” s Törvény. Ennek megállapítása sikertelen.
Szerkesztés: Szintén észrevettem egy másik problémát, hogy még akkor is, ha eltávolítjuk a negatív lemezt a kondenzátorból, majd ugyanúgy alkalmazzuk Gauss törvényét, a mező továbbra is $ \ sigma / \ epsilon_0 $ lesz, ami egyértelműen téves mivel a negatív lemez hozzájárul a mezőhöz. Tehát talán a probléma a Gauss-törvény alkalmazásában rejlik.
Megjegyzések
- A probléma itt az első egyenleted, ennek σ / 2ϵ. Ezt levezetheti a Gauss használatával.
Válasz
Ez egy rendkívül gyakori hiba a bevezető EM-ben. – azoktól a hallgatóktól, akik valóban időt fordítanak a probléma gondolkodására 😉 Használja Gauss törvényét mindkét esetben:
Végtelen lemezek esetén nem Ön adja meg azt az eredményt, amelyet először ad meg. Egy Gauss-henger két lemezt tartalmaz a lemez két oldalán, így $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ És a szuperpozícióból megkapja a teljes elektromos mezőt $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Második esetünk helyes, de a töltés a a felület az első esethez viszonyítva $ Q / 2 $ (a töltés megőrzése, ha ugyanazt a választ akarja, jobb, ha ugyanaz a teljes töltés van a lemezeken), tehát $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Ez megint ugyanazt a választ kapja, ha szuperpozíciót alkalmaz.
Válasz
Tekintsünk először egyetlen végtelen vezetőlemezt. Ahhoz, hogy Gauss törvényét a henger egyik végénél a vezető belsejében alkalmazzuk, feltételeznünk kell, hogy a vezető valamilyen véges vastagságú. Ennek során a $ \ sigma $ felszíni töltéssűrűséget el kell oszlatni mindkét oldalon (gondoljon ennek véges, kis vastagságú lemezként nyújtsa ki a végtelenségig. Gauss-féle törvény használatával ezzel a lemezzel (vagy a henger egyik végét a vezetőbe, vagy az egyik végét mindkét oldalra téve) $ E eredményt kap. = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Most képzelje el, hogy a második lemezt a végtelenségtől ellentétes $ – \ sigma $ töltéssűrűséggel hozza be. Mivel ezek a lemezek vezetők, töltések minden lemezen mozogni fog, hogy megszüntesse a mezőt a vezető belsejében lévő ellentétes lemezről (ne feledje, $ E = 0 $ egy vezető belsejében). Mivel az egyes lemezek által termelt elektromos tér állandó, ezt a vezetőben is meg lehet valósítani a nettó pozitív töltéssel úgy, hogy a + + sigma $ töltéssűrűséget elmozdítja a lemez negatív töltésű lemez felé néző oldalára, a $ – \ sigma $ pedig a másik oldalra. Ennek ellenkezője történik a negatív töltésű lemezen. Most Gauss-törvényt alkalmazhatunk egy hengerrel a pozitív lemez körül, hogy megtaláljuk a $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $ értéket. Ez összhangban van az egyes lemezek által előállított elektromos mező egyenként hozzáadásával.
Ha alaposan megnézi az elektromos mezőket a fenti ábrán, akkor látni fogja, hogy a vezető belsejében az elektromos mező valóban nulla. Ahhoz, hogy az elektromos mező a vezetőben maradjon nulla lemez, figyelembe kell venni ezeket az indukált töltéseket.
Az is nyilvánvaló, hogy az elektromos tér a negatív töltésű lemeztől függ.Ha ezen a lemezen lévő töltetet megváltoztatnák vagy teljesen eltávolítanák, akkor a pozitív lemez indukált töltése egyértelműen megváltozna, ami az elektromos mező változását eredményezné.
Megjegyzések
- Sziasztok, megoldható ez Gauss ‘ törvény nélkül is, a folyamatos szuperpozíciós integrál használatával?
- @JDoeDoe: Igen , minden bizonnyal. ‘ Önnek integrálja a lemez teljes felületét, amelynek végtelen korlátai lennének, és az elektromos tér hozzájárulása körülbelül 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 lenne. + d ^ 2) dx dy a lemez felett d távolságra. És ‘ természetesen ki kell dolgoznod a vektor-hozzájárulást is.
- Nagyon szép válasz!
Válasz
Kondenzátorban a lemezeket csak a másik lemez felé néző felületen töltik fel. Ennek oka, hogy a probléma “helyes” módja egy polarizált fémdarab, ahol a két polarizált részt egymással szemben helyezzük el.
Elvileg minden töltéssűrűség olyan mezőt generál, amely $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Csak annyit, hogy a lemezkondenzátor tényleges geometriája olyan, hogy ezek a mezők összeadódnak a födémrészen és eltűnnek kívül, ami megmagyarázza az eredményt, amelyet a Gauss-törvény alapján talál. Ne feledje, hogy a Gauss-törvény a teljes elektromos mezőt mondja meg, és nem csak az általad körülvett töltés miatt. Ennek oka, hogy a Gauss “törvény használatakor néhány peremfeltételt is használ. Számításakor ez a teljes mező dolog abból adódik, hogy kézzel adta be, hogy a mezőnek nulla kell lennie a táblákban.
Ennek szemléltetésére számítsuk ki az univerzum egyetlen lemezének, majd két lemez esetét.
Ha az univerzumban egyetlen lemez van, a lemez szimmetriasík és megvan $ E (0_ +) = -E (0 _-) $, ami felmerül, ha Gauss tételét $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ értékre használod. ahol $ \ text {sgn} (x) $ az $ x $ változó jele.
Ha van kondenzátorod, akkor például a bal oldali lemez már nem szimmetriasík, és megvan az a $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. A Gauss-tételnek a kondenzátorlap belsejében történő alkalmazásával megállapíthatja, hogy az elektromos mező ott egyenletes, $ E_ {int} $ értékkel, és ha kívülre alkalmazza, akkor meglátja, hogy ez is egyenletes és felveszi a $ értékeket E_ {ext} ^ {(1)} $, amikor $ x < 0 $ és $ E_ {ext} ^ {(2)} $, amikor $ x > L $. Ezután Gauss tételét utoljára alkalmazzuk minden lemezen, hogy megállapítsuk, hogy $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ és $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Itt van két egyenlet és három ismeretlen. Ennek a két egyenletnek az összeadásával kapunk $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $, és kivonva őket $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Itt nem azt a tényt használtam, hogy ez egy tényleges fémes lemezes kondenzátor volt, csak végtelen, ellentétes töltésű lapokat képzeltem el egymással szemben. Így normális megállapítás, hogy az általános megoldás bármely külső mező összege + az általuk létrehozott, amelyet ezek a lapok hoznak létre.
Olyan esetet elképzelve, amikor a külső mező nulla, vagy az a tény, hogy valójában fémes lemezek vannak a rendszerben, azt a szokásos eredményt adja, hogy a mező $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ belül és nulla kívül.
Megjegyzések
- ‘ nem tudok kitalálni a válaszából, hol tévedtem . Tudna részletezni?
- Kicsit kidolgoztam a véleményemet, és rájöttem, hogy ez nem volt annyira triviális, mint amire az általános esetben számítottam. Mindenesetre az a véleményem, hogy a Gauss ‘ tétel szempontjából ez a két eset nem azonos.
- ” Ne felejtsd el, hogy a Gauss ‘ törvény megadja a teljes elektromos mezőt, és nem csak a körülötted lévő töltés miatt. ” Hm, ez nem tűnik úgy, hogy ‘ helyes.
- @Elliot: meg tudná adni, mi tűnik helyesnek vagy nem ‘ t?
Vélemény, hozzászólás?