Külön számjegyű számok
On január 11, 2021 by adminVegye figyelembe a 0 és 999 közötti természetes számok halmazát. Tegyük fel, hogy a halmaz valamelyik részhalmazát úgy választjuk meg, hogy bármelyik számpár belsejében legfeljebb egy számjegy legyen ugyanazon a pozíción. Tisztázásra:
- Az olyan párok, mint a 123 és a 456, nyilvánvalóan megengedettek, mivel nem osztoznak egyetlen számjegyben sem.
- A 123 és a 321 együttesen engedélyezett, mivel ők pontosan ugyanazok a számjegyek, csak a 2 van ugyanabban a helyzetben.
- 812 és 212 nem engedélyezett, mivel mindkettőjük végén a „12” szerepel, ami két számjegyű.
- 206 és 246 hasonlóan nem megengedett; a megosztott számjegyeknek nem kell összefüggőnek lenniük.
- A vezető nullák számítanak, ezért az 5 és a 205 tiltott pár, mivel jól. (Az 5-öt úgy gondolja, mint “005”.)
Ne feledje, hogy ezt az alhalmaz minden számpárjára meg kell tartani. Mi a legnagyobb (mint a legtöbb elemben ), amely kielégíti ezt a feltételt? Mit szólnál a legnagyobb összeg elemekkel rendelkező halmazhoz?
(A kirakós játék egy beszélgetéssel ihletett barátom az azonosítószámok elírása miatt. Elnézést, ha ezt itt már megkérdezték.)
Válasz
Mit ér, Van egy szép elképzelésem arról, hogy miért 100 a válasz:
Először képzeljen el egy könnyebb esetet, ahol az összes 0-99 szám megvan, és nem lehet, hogy bármelyik két szám azonos számjegyű számot használjon; ilyen számtáblázatot rajzolhatunk:
Ne feledje, hogy egy sorban minden szám osztja az első számjegyét, és az oszlopban minden szám osztja a második számjegyét számjegy. Ezért olyan számokat kell választania, hogy kettő ne oszthasson meg sort vagy oszlopot. Nagyon világos, hogy a maximálisan kiválasztható számok száma 10 lehet. Itt van az egyik megoldás:
ide írja be a kép leírását
ide írja be a kép leírását
Ne feledje, hogy a “szalagokban” minden szám tíz kockából (sorból vagy oszlopból) 2 számjegy osztozik közösen. Ezért olyan számokat kell választania, hogy egyik szám sem osztozzon “csíkban”.
Miután gondolkodott egy kicsit, egyértelmű, hogy csak akkor lesz képes hogy 100 ilyen számot válasszon ki.
Válasz
Ha hozzá akar adni a PrisonMonkeys “válaszhoz, minden készlet 100 elemnek ugyanaz az összege, ami 49950. A szám minden egyes helyén minden számjegy csak az adott helyen jelenik meg e legfeljebb 10-szer, mert kétszer nem jelenhet meg egy másik hely azonos értékével. Ez azt jelenti, hogy minden számnak pontosan 10-szer kell megjelennie minden egyes helyen, ahhoz, hogy összesen 100 szám legyen a halmazban. Ezért minden helyet külön-külön összegezhetünk, hogy 45000 + 4500 + 450 = 49950 legyen.
Válasz
Van egy 100-as megoldásom elemek a készletben. Minden számot az alábbiak szerint generál:
A $ 0 \ leq n \ leq 99 $ elemhez adjon
ABC
az a halmaz, aholAB
$ n $ (vezető nulla, ha $ n < 10 $) ésC
A+B mod 10
. Tehát $ n = 3 $ eseténAB
03
ésC
0+3 mod 10=3
, vagyisABC
jelentése:033
.
Ebben a halmazban nincsenek olyan számpárok, amelyek megsértenék a feltételt (ha jól tudom, vagyis). És nincs olyan háromjegyű szám, ABC
, amelynek más AB
része lenne, mivel mind a 100 lehetőséget lefedtem. Ami azt jelenti, hogy ez a lehető legnagyobb készlet, amely megfelel a feltételnek.
A második kérdésre még nincs megoldás.
AB
értéke57
(A=5
ésB=7
), ésC
5+7 mod 10=2
, tehátABC
572
.