Campo tra le piastre di un condensatore a piastre parallele utilizzando la ' s Legge
Su Gennaio 20, 2021 da adminSi consideri il seguente condensatore a piastre parallele realizzato di due piastre con uguale area $ A $ e uguale densità di carica superficiale $ \ sigma $:
Il il campo elettrico dovuto alla piastra positiva è
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
E lampiezza del campo elettrico dovuto alla piastra negativa è la stesso. Questi campi si aggiungeranno tra il condensatore dando un campo netto di:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Se proviamo a ottenere il campo risultante usando Legge di Gauss, racchiudendo la piastra in una superficie gaussiana come mostrato, cè flusso solo attraverso la faccia parallela alla piastra positiva e allesterno di essa (poiché laltra faccia è nel conduttore e il campo elettrico sfiora tutte le altre facce). / p>
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
dove $ E $ è il campo elettrico tra le piastre del condensatore. La legge di Gauss è uguale alladdebito $ Q $ sulle tavole diviso per $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ implica E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
So che cè qualcosa di fondamentalmente errato nelle mie supposizioni o comprensione, perché spesso ottengo risultati contrastanti quando calcolo i campi elettrici usando Gauss ” s Law. Tuttavia, non sono riuscito a identificarlo.
Modifica: Inoltre, un altro problema che ho notato è che anche se rimuoviamo la piastra negativa dal condensatore e poi applichiamo la legge di Gauss nello stesso modo, il campo risulta comunque essere $ \ sigma / \ epsilon_0 $, il che è chiaramente sbagliato poiché il piatto negativo contribuisce al campo. Quindi, forse il problema è nellapplicazione della legge di Gauss.
Commenti
- Il problema è la tua prima equazione lì, dovrebbe essere σ / 2ϵ. Puoi ricavarlo usando Gauss.
Risposta
Questo è un errore estremamente comune nellEM introduttivo – da studenti che in realtà passano il tempo a pensare al problema, comunque 😉 Usa la legge di Gauss in entrambi i casi:
Nel caso di tavole infinite, non hai il risultato che dai per primo. Un cilindro gaussiano ha due dischi su entrambi i lati della piastra, quindi $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ E dalla sovrapposizione ottieni il campo elettrico totale $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Il tuo secondo caso è corretto, ma la carica racchiusa dal tuo la superficie è $ Q / 2 $ rispetto al primo caso (conservazione della carica, se vuoi la stessa risposta è meglio avere la stessa carica totale sui piatti), quindi $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Il che ti dà ancora la stessa risposta quando applichi la sovrapposizione.
Risposta
Considera prima una singola piastra conduttrice infinita. Per applicare la legge di Gauss con unestremità di un cilindro allinterno del conduttore, devi presumere che il conduttore abbia uno spessore finito. In questo modo, la densità di carica superficiale $ \ sigma $ deve essere distribuita su entrambi i lati (pensa di questo come una piastra finita di piccolo spessore e poi allungarla allinfinito. Usando la legge di Gauss con questa piastra (o mettendo unestremità del cilindro nel conduttore o unestremità su entrambi i lati) si ottiene un risultato di $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Ora immagina di portare la seconda piastra, con densità di carica opposta $ – \ sigma $ dallinfinito. Poiché queste piastre sono conduttori, cariche in ogni piastra si muoverà per annullare il campo dalla piastra opposta allinterno del conduttore (ricorda $ E = 0 $ allinterno di un conduttore). Poiché il campo elettrico prodotto da ciascuna piastra è costante, questo può essere ottenuto nel conduttore con la carica netta positiva spostando una densità di carica di $ + \ sigma $ sul lato della piastra rivolto verso la piastra caricata negativamente e $ – \ sigma $ sullaltro lato. Lopposto sarà fatto nella piastra caricata negativamente. Si può ora applicare la legge di Gauss con un cilindro attorno alla piastra positiva per trovare $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. Ciò è coerente con laggiunta del campo elettrico prodotto da ciascuna delle piastre singolarmente.
Se osservi attentamente i campi elettrici nella figura che hai disegnato sopra, allora vedrai che il campo elettrico allinterno del conduttore è effettivamente diverso da zero. Per mantenere il campo elettrico allinterno del conduttore piastre zero, si deve tener conto di queste cariche indotte.
Ora è anche ovvio che il campo elettrico dipende dalla piastra caricata negativamente.Se la carica su questa piastra venisse modificata, o rimossa completamente, la carica indotta sulla piastra positiva cambierebbe chiaramente, con un conseguente cambiamento nel campo elettrico.
Commenti
- Salve, è possibile risolvere questo problema anche senza la legge di Gauss ‘, utilizzando lintegrale di sovrapposizione continua?
- @JDoeDoe: Sì , certamente. ‘ avresti un integrale sullintera superficie della piastra, che avrebbe limiti infiniti e il contributo del campo elettrico sarebbe qualcosa come 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy per una distanza d sopra la piastra. E ovviamente ‘ dovresti elaborare anche i contributi vettoriali.
- Risposta molto bella!
Risposta
In un condensatore, le piastre vengono caricate solo sullinterfaccia rivolta verso laltra piastra. Questo perché il modo “giusto” di vedere questo problema è come un pezzo di metallo polarizzato in cui le due parti polarizzate sono poste luna di fronte allaltra.
In linea di principio, ogni densità di carica genera un campo che è $ \ sigma / 2 \ epsilon $. È solo che la geometria effettiva del condensatore a piastre è tale che questi campi si sommano nella regione della lastra e svaniscono allesterno, il che spiega il risultato che trovi con la legge di Gauss. Ricorda che la legge di Gauss ti dice il campo elettrico totale e non il uno solo a causa della carica che stai circondando. Questo perché, quando usi la legge di Gauss, usi anche alcune condizioni al contorno. Nel tuo calcolo questa cosa del campo totale deriva dal fatto che hai inserito a mano che il campo doveva essere zero nei piatti.
Per illustrare ciò, calcoliamo il caso di una singola piastra nelluniverso e poi quella di due piastre.
Se hai una singola piastra nelluniverso, la piastra è un piano di simmetria e hai $ E (0_ +) = -E (0 _-) $ che dà origine quando usi il teorema di Gauss a $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ dove $ \ text {sgn} (x) $ è il segno della variabile $ x $.
Quando hai un condensatore, la piastra sinistra per esempio non è più un piano di simmetria e hai quel $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Applicando il teorema di Gauss allinterno della lastra del condensatore, troverai che il campo elettrico è uniforme lì con un valore $ E_ {int} $ e applicandolo allesterno, vedrai che è uniforme e assume i valori $ E_ {ext} ^ {(1)} $ quando $ x < 0 $ e $ E_ {ext} ^ {(2)} $ quando $ x > L $. Applichiamo quindi unultima volta il teorema di Gauss su ciascuna piastra per trovare che $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ e $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Abbiamo qui due equazioni e tre incognite. Aggiungendo queste due equazioni si otterrà $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ e sottraendole si otterrà $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Qui non ho utilizzato il fatto che fosse un condensatore vero e proprio con piastre metalliche, ho solo immaginato infiniti fogli di carica opposta uno di fronte allaltro. È quindi normale trovare che la soluzione generale può essere la somma di un qualsiasi campo esterno + quello creato da questi fogli.
Immaginare un caso in cui il campo esterno è zero o il fatto che ci siano effettivamente piastre metalliche nel sistema dà il solito risultato che il campo è $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ allinterno e zero fuori.
Commenti
- Non riesco ‘ a capire dalla tua risposta dove ho sbagliato . Potresti approfondire?
- Ho sviluppato un po il mio punto e ho capito che non era ‘ così banale come mi aspettavo nel caso generale. In ogni caso, il punto è che dal punto di vista del teorema di Gauss ‘ questi due casi non sono la stessa cosa.
- ” Ricorda che la legge di Gauss ‘ ti dice il campo elettrico totale e non quello dovuto esclusivamente alla carica che stai circondando. ” Hm, questo ‘ non sembra giusto.
- @Elliot: potresti specificare cosa sembra giusto o no ‘ t?
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