Gauss 'の法則
On 1月 20, 2021 by adminを使用した平行平板コンデンサのプレート間の電界等しい面積$ A $と等しい表面電荷密度$ \ sigma $を持つ2つのプレートの組み合わせ:
正極板による電界は
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
そして負極板による電界の大きさは同じ。これらのフィールドはコンデンサの間に追加され、次のネットフィールドを提供します。
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
を使用して結果のフィールドを取得しようとするとガウスの法則は、図のようにプレートをガウスの表面で囲み、正極板に平行でその外側の面のみに磁束があります(もう一方の面は導体内にあり、電界は他のすべての面をすくい取るため)。
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
ここで、$ E $はコンデンサプレート間の電界です。ガウスの法則これは、プレートの電荷$ Q $を$ \ epsilon_0 $で割ったものに等しくなります
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ implies E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
ガウスを使用して電界を計算すると矛盾する結果が頻繁に発生するため、仮定や理解に根本的な誤りがあることはわかっています。」 s法則。ただし、これを特定できませんでした。
編集:また、私が気付いたもう1つの問題は、コンデンサから負極板を取り外してから同じ方法でガウスの法則を適用しても、フィールドが$ \ sigma / \ epsilon_0 $になることです。これは明らかに間違っています。ネガティブプレートがフィールドに寄与するためです。したがって、おそらく問題はガウスの法則の適用にあります。
コメント
- 問題はそこでの最初の方程式であり、σである必要があります。 / 2ϵ。これはガウスを使用して導き出すことができます。
回答
これは、EM入門で非常によくある間違いです。 -とにかく、実際に問題について考えることに時間を費やしている学生から;-)両方の場合にガウスの法則を使用してください:
無限プレートの場合、最初に与える結果はありません。ガウスシリンダーにはプレートの両側に 2つのディスクがあるため、$$ E_1(2A)= \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$そして、重ね合わせから、総電界$$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
2番目のケースは正しいですが、電荷は表面は最初のケースに対して$ Q / 2 $であるため(電荷の保存、同じ答えが必要な場合はプレートの合計電荷が同じである方がよい)、$$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2)A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$重ね合わせを適用すると、同じ答えが得られます。
答え
最初に、単一の無限導電性プレートについて考えます。円柱の一端が導体の内側にあるガウスの法則を適用するには、導体の厚さが有限であると想定する必要があります。これを行うには、表面電荷密度$ \ sigma $を両側に分散させる必要があります(考えてみてください)。これを薄い厚さの有限プレートとして使用し、無限に伸ばします。このプレートでガウスの法則を使用すると(シリンダーの一方の端を導体に配置するか、一方の端を両側に配置する)、$ Eの結果が得られます。 = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $。
ここで、反対の電荷密度$-\ sigma $の2番目のプレートを無限大から持ち込むことを想像してください。これらのプレートは導体であるため、電荷各プレート内で移動して、導体内部の反対側のプレートからの電界をキャンセルします(導体内部では$ E = 0 $を思い出してください)。各プレートによって生成される電界は一定であるため、これは導体内で実現できます。 $ + \ sigma $の電荷密度を負に帯電したプレートに面するプレートの側に移動し、$-\ sigma $を反対側に移動することにより、正味の正の電荷を使用します。負に帯電したプレートでは、逆のことが行われます。これで、正のプレートの周りに円柱を配置したガウスの法則を適用して、$ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $を見つけることができます。これは、各プレートによって生成される電界を個別に追加することと一致しています。
上に描いた図の電界を注意深く見ると、導体内の電界は実際にはゼロではないことがわかります。導電内の電界を維持するにはプレートがゼロの場合、これらの誘導電荷を考慮する必要があります。
電界が負に帯電したプレートに依存することも明らかです。このプレートの電荷が変化するか、完全に除去されると、正極プレートの誘導電荷が明らかに変化し、その結果、電界が変化します。
コメント
- こんにちは、ガウス'の法則なしで、連続重ね合わせ積分を使用してこれを解決することも可能ですか?
- @JDoeDoe:はい、 もちろん。 ' dは、プレートの表面全体に積分があり、無限の限界があり、電界の寄与は1 /(x ^ 2 + y ^ 2のようになります。 + d ^ 2)プレートの上の距離dのdxdy。そして、'もちろん、ベクトルの寄与も計算する必要があります。
- 非常に良い答えです!
回答
コンデンサでは、プレートは他のプレートに面するインターフェースでのみ充電されます。これは、この問題を「正しい」方法で見ることが、2つの分極部分が向かい合って配置された分極金属片であるためです。
原則として、各電荷密度は$ \の電界を生成します。 sigma / 2 \ epsilon $。プレートコンデンサの実際の形状は、これらの電界がスラブ領域で加算され、外側で消えるようなものです。これは、ガウスの法則で得られる結果を説明しています。ガウスの法則は、電界ではなく、総電界を示していることに注意してください。あなたが取り巻いている料金のためだけに1つ。これは、ガウスの法則を使用する場合、いくつかの境界条件も使用するためです。計算では、この合計フィールドは、プレート内のフィールドがゼロでなければならないことを手で入力したという事実に基づいています。
これを説明するために、宇宙に1つのプレートがある場合と、2つのプレートの場合を計算してみましょう。
宇宙に1つのプレートがある場合、そのプレートは対称面であり、 $ E(0_ +)= -E(0 _-)$があり、ガウスの法則を使用して$ E = \ text {sgn}(x)\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $になります。ここで、$ \ text {sgn}(x)$は$ x $変数の符号です。
コンデンサがある場合、たとえば左側のプレートは対称面ではなくなり、$ E(0_ +)\ neq -E(0 _-)$になります。コンデンサスラブの内側にガウスの定理を適用すると、電界が値$ E_ {int} $で均一であることがわかります。外側に適用すると、電界も均一で値$をとることがわかります。 E_ {ext} ^ {(1)} $ when $ x < 0 $および$ E_ {ext} ^ {(2)} $ when $ x > L $。次に、ガウスの定理を最後にもう一度各プレートに適用して、$ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $および$ E_ {ext} ^ {(2)}-E_ {int} =-\ frac {\ sigma} {\ epsilon} $。ここに2つの方程式と3つの未知数があります。これらの2つの方程式を加算すると、$ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $が生成され、それらを減算すると$ E_ {int} = \ frac {\ sigma}が生成されます。 {\ epsilon} + E_ {ext} $。ここでは、それが金属板を備えた実際のコンデンサであるという事実を使用せず、向かい合った反対の電荷の無限のシートを想像しただけです。したがって、一般的な解は、任意の外部フィールド+これらのシートによって作成されたフィールドの合計である可能性があることがわかります。
外部フィールドがゼロの場合、またはシステム内に実際に金属板があるという事実を想像すると、フィールドが内部に$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $であるという通常の結果が得られます。外はゼロです。
コメント
- 'あなたの答えからどこが間違っているのかわかりません。詳細を教えていただけますか?
- 私は少し自分の主張を発展させ、それが一般的な場合に予想したほど些細なことではないことに気づきました。'いずれにせよ、私の主張は、ガウス'の定理の観点から、これら2つのケースは同じではないということです。
- "ガウス'の法則は、周囲の電荷だけによるものではなく、総電界を示していることを忘れないでください。"うーん、それは'正しくないようです。
- @Elliot:正しいと思われるものとそうでないものを指定できますか' t?
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