Gauss '의 법칙
On 1월 20, 2021 by admin다음과 같은 병렬 플레이트 커패시터를 사용하는 병렬 플레이트 커패시터 플레이트 사이의 필드 동일한 면적 $ A $ 및 동일한 표면 전하 밀도 $ \ sigma $를 갖는 두 개의 플레이트 :
양극판으로 인한 전기장은
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
그리고 음극판으로 인한 전기장의 크기는 같은. 이 필드는 다음과 같은 순 필드를 제공하는 커패시터 사이에 추가됩니다.
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Gauss의 법칙은 그림과 같이 Gaussian 표면으로 판을 둘러싸고 있으며, 양극 판에 평행 한면을 통해서만 플럭스가 있고 외부에 플럭스가 있습니다 (다른면은 도체에 있고 전기장은 다른 모든면을 스치므로). / p>
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
여기서 $ E $는 축전기 플레이트 사이의 전기장입니다. Gauss의 법칙 이것은 판의 $ Q $를 $ \ epsilon_0 $로 나눈 것과 같습니다.
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ implies E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
가우스를 사용하여 전기장을 계산할 때 종종 상충되는 결과가 나오기 때문에 가정이나 이해에 근본적으로 잘못된 것이 있다는 것을 알고 있습니다. ” s 법. 그러나이를 식별하는 데 실패했습니다.
수정 : 또 다른 문제는 커패시터에서 음극판을 제거한 다음 같은 방식으로 가우스의 법칙을 적용하더라도 필드가 여전히 $ \ sigma / \ epsilon_0 $로 나옵니다. 이는 분명히 잘못된 것입니다. 네거티브 플레이트가 필드에 기여하기 때문입니다. 따라서 문제는 가우스 법칙의 적용에있을 수 있습니다.
댓글
- 문제는 첫 번째 방정식입니다. / 2ϵ. Gauss를 사용하여 파생시킬 수 있습니다.
Answer
이것은 EM 입문에서 매우 일반적인 실수입니다. -어쨌든 문제에 대해 실제로 생각하는 데 시간을 보내는 학생들로부터 😉 두 경우 모두 가우스의 법칙을 사용하십시오.
무한 판의 경우, 먼저 제공 한 결과를 얻지 못합니다. 가우스 실린더는 플레이트의 양쪽에 디스크가 2 개 있으므로 $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ 중첩에서 총 전기장을 얻습니다. $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
두 번째 경우는 맞지만 전하에 포함 된 표면은 첫 번째 경우에 비해 $ Q / 2 $이므로 (전하 보존, 동일한 답변을 원하면 플레이트에 동일한 총 전하를 갖는 것이 좋습니다) 따라서 $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ 중첩을 적용 할 때 동일한 답을 다시 얻습니다.
답변
먼저 하나의 무한 전도 판을 고려하십시오. 도체 내부의 실린더 한쪽 끝에 가우스의 법칙을 적용하려면 도체의 두께가 유한하다고 가정해야합니다. 이렇게하려면 표면 전하 밀도 $ \ sigma $가 양쪽에 퍼져 있어야합니다. 이 판을 두께가 작은 유한 판으로 만든 다음 무한대로 늘립니다.이 판과 함께 가우스의 법칙을 사용하면 (원통의 한쪽 끝을 도체에 놓거나 한쪽 끝을 양쪽에 놓음) $ E가됩니다. = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
이제 무한대에서 반대 전하 밀도 $-\ sigma $ in을 갖는 두 번째 플레이트를 가져 오는 것을 상상해보세요.이 플레이트는 전도체이므로 각 플레이트에서 도체 내부의 반대쪽 플레이트에서 필드를 제거하기 위해 이동합니다 (도체 내부에서 $ E = 0 $를 기억하십시오). 각 플레이트에서 생성되는 전기장은 일정하기 때문에 도체에서 수행 할 수 있습니다. $ + \ sigma $의 전하 밀도를 음으로 하전 된 플레이트를 향한 플레이트의 측면으로 이동하고 $-\ sigma $를 다른 측면으로 이동하여 순 양전하를 사용합니다. 그 반대는 음전하 판에서 수행됩니다. 이제 양판 주위에 실린더가있는 가우스 법칙을 적용하여 $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $를 찾을 수 있습니다. 이는 각 플레이트에서 개별적으로 생성 된 전기장을 추가하는 것과 일치합니다.
위에 그린 그림에서 전기장을주의 깊게 살펴보면 도체 내부의 전기장이 실제로 0이 아닌 것을 볼 수 있습니다. 판 0, 하나는 이러한 유도 전하를 고려해야합니다.
전기장이 음으로 하전 된 판에 의존한다는 것이 이제 분명합니다.이 판의 전하가 변경되거나 완전히 제거되면 양극판의 유도 전하가 명확하게 변경되어 전기장이 변경됩니다.
설명
- 안녕하세요. 연속 중첩 적분을 사용하여 가우스 '의 법칙 없이도이 문제를 해결할 수 있나요?
- @JDoeDoe : 예 , 확실히. 당신은 ' 판의 전체 표면에 대한 적분을 가질 것입니다. 이것은 무한한 한계를 가질 것이고 전기장 기여는 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy (판 위의 거리 d). 그리고 ' 물론 벡터 기여도를 계산해야합니다.
- 아주 좋은 대답입니다!
답변
콘덴서에서 플레이트는 다른 플레이트를 향하는 인터페이스에서만 충전됩니다. 그 이유는이 문제를 “올바른”방식으로 보는 것이 양극화 된 두 부분이 서로 마주 보도록 놓이는 양극화 된 금속 조각이기 때문입니다.
원칙적으로 각 전하 밀도는 $ \ 인 필드를 생성합니다. sigma / 2 \ epsilon $. 플레이트 커패시터의 실제 형상은 이러한 필드가 슬래브 영역에서 합쳐지고 외부에서 사라지는 것과 같은 것입니다. 이는 Gauss “법칙으로 찾은 결과를 설명합니다. Gauss”법칙은 전체 전기장을 알려주는 것이 아니라 전체 전기장을 의미합니다. 하나는 당신이 둘러싼 요금 때문입니다. 그 이유는 가우스 법칙을 사용할 때 몇 가지 경계 조건도 사용하기 때문입니다. 계산에서이 총 필드는 필드가 플레이트에서 0이어야한다는 사실을 손으로 넣었 기 때문입니다.
그것을 설명하기 위해 우주에서 단일 판의 경우를 계산하고 두 판의 경우를 계산해 보겠습니다.
우주에 단일 판이있는 경우 판은 대칭의 평면이고 당신은 $ E (0_ +) = -E (0 _-) $를 가지고 있습니다. $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $에 Gauss의 정리를 사용할 때 발생합니다. 여기서 $ \ text {sgn} (x) $는 $ x $ 변수의 부호입니다.
커패시터가있는 경우, 예를 들어 왼쪽 플레이트는 더 이상 대칭 평면이 아니며 $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $가 있습니다. 커패시터 슬래브 내부에 가우스 정리를 적용하면 전기장이 $ E_ {int} $ 값으로 균일하다는 것을 알 수 있으며 외부에 적용하면 값도 균일하고 $ $ x 일 때 E_ {ext} ^ {(1)} $ < 0 $ 및 $ E_ {ext} ^ {(2)} $ $ x > L $. 그런 다음 각 판에 마지막으로 가우스 정리를 적용하여 $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ 및 $ E_ {ext} ^ {(2)}-E_ {int} =-\ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. 여기에 두 개의 방정식과 세 개의 미지수가 있습니다. 이 두 방정식을 더하면 $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $가 생성되고이를 빼면 $ E_ {int} = \ frac {\ sigma}가됩니다. {\ epsilon} + E_ {ext} $. 여기서 나는 그것이 금속판이있는 실제 커패시터라는 사실을 사용하지 않았고, 서로 마주 보는 무한한 반대 전하 시트를 상상했습니다. 따라서 일반 솔루션이 외부 필드 + 이러한 시트에서 생성 된 필드의 합이 될 수 있다는 것을 찾는 것은 정상입니다.
외부 필드가 0 인 경우를 상상하거나 시스템에 실제로 금속판이 있다는 사실은 필드가 내부에 $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $라는 일반적인 결과를 제공합니다. 외부 0 개입니다.
댓글
- 내가 어디에서 잘못되었는지 답변으로 ' 알 수 없습니다. . 자세히 설명해 주시겠습니까?
- 저는 제 요점을 조금 발전 시켰고 일반적인 경우에서 예상했던 것만 큼 사소하지 않다는 것을 ' 알았습니다. 어쨌든 내 요점은 Gauss '의 정리 관점에서 볼 때이 두 경우가 동일하지 않다는 것입니다.
- " Gauss ' 법칙은 전체 전기장을 알려주며 주변 전하로 인한 것이 아닙니다. " 흠, 그렇지 않습니다 ' 올바른 것 같지 않습니다.
- @Elliot : 무엇이 옳은지 아닌지 지정해 주시겠습니까 ' t?
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