Veld tussen de platen van een parallelle plaatcondensator met Gauss ' s wet
Geplaatst op januari 20, 2021 door adminBeschouw de volgende parallelle plaatcondensator gemaakt van twee platen met gelijke oppervlakte $ A $ en gelijke oppervlakteladingsdichtheid $ \ sigma $:
elektrisch veld vanwege de positieve plaat is
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
En de grootte van het elektrische veld vanwege de negatieve plaat is de dezelfde. Deze velden voegen zich tussen de condensator en geven een netto veld van:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Als we proberen het resulterende veld te krijgen met De wet van Gauss, die de plaat omsluit in een Gaussiaans oppervlak zoals getoond, is er alleen flux door het vlak evenwijdig aan de positieve plaat en daarbuiten (aangezien het andere vlak zich in de geleider bevindt en het elektrische veld over alle andere vlakken scheert). / p>
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
waarbij $ E $ het elektrische veld tussen de condensatorplaten is. Van De wet van Gauss, dit is gelijk aan de lading $ Q $ op de platen gedeeld door $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ impliceert E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Ik weet dat er iets fundamenteel onjuist is in mijn aannames of begrip, omdat ik vaak tegenstrijdige resultaten krijg bij het berekenen van elektrische velden met Gauss ” s wet. Ik slaag er echter niet in dit te identificeren.
Bewerken: Een ander probleem dat me opviel, was dat zelfs als we de negatieve plaat van de condensator verwijderen en vervolgens de wet van Gauss op dezelfde manier toepassen, het veld nog steeds $ \ sigma / \ epsilon_0 $ blijkt te zijn, wat duidelijk verkeerd is omdat de negatieve plaat bijdraagt aan het veld. Dus misschien zit het probleem in de toepassing van de wet van Gauss.
Opmerkingen
- Het probleem is je eerste vergelijking daar, het zou σ moeten zijn / 2ϵ. Je kunt dit afleiden met Gauss.
Answer
Dit is een zeer veel voorkomende fout in inleidende EM – van studenten die in ieder geval tijd besteden aan het nadenken over het probleem 😉 Gebruik in beide gevallen de wet van Gauss:
In het geval van oneindige platen heb je niet het resultaat dat je als eerste geeft. Een Gauss-cilinder heeft twee schijven aan weerszijden van de plaat, dus $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ En uit superpositie krijg je het totale elektrische veld $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Je tweede geval is correct, maar de lading die is ingesloten door je oppervlak is $ Q / 2 $ ten opzichte van het eerste geval (behoud van lading, als je hetzelfde antwoord wilt, kun je beter dezelfde totale lading op de platen hebben), dus $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Dat levert weer hetzelfde antwoord op als je superpositie toepast.
Antwoord
Beschouw eerst een enkele oneindig geleidende plaat. Om de wet van Gauss toe te passen met één uiteinde van een cilinder in de geleider, moet je aannemen dat de geleider een eindige dikte heeft. Hierbij moet de oppervlakteladingsdichtheid $ \ sigma $ over beide zijden worden verdeeld (denk aan hiervan als een eindige plaat met een kleine dikte en vervolgens uitrekken tot in het oneindige. Het gebruik van de wet van Gauss met deze plaat (ofwel een uiteinde van de cilinder in de geleider plaatsen ofwel een uiteinde aan beide kanten) geeft een resultaat van $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Stel je nu voor dat je de tweede plaat met tegengestelde ladingsdichtheid $ – \ sigma $ vanuit oneindig naar binnen brengt. Omdat deze platen geleiders zijn, ladingen in elke plaat zal bewegen om het veld van de tegenoverliggende plaat in de geleider op te heffen (onthoud $ E = 0 $ in een geleider). Omdat het elektrische veld dat door elke plaat wordt geproduceerd constant is, kan dit worden bereikt in de geleider met de netto positieve lading door een ladingsdichtheid van $ + \ sigma $ naar de kant van de plaat te verplaatsen die naar de negatief geladen plaat is gericht, en $ – \ sigma $ naar de andere kant. Het tegenovergestelde gebeurt in de negatief geladen plaat. Men kan nu de wet van Gauss toepassen met een cilinder rond de positieve plaat om $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $ te vinden. Dit komt overeen met het optellen van het elektrische veld dat door elk van de platen afzonderlijk wordt geproduceerd.
Als je goed kijkt naar de elektrische velden in de figuur die je hierboven hebt getekend, dan zul je zien dat het elektrische veld in de geleider inderdaad niet nul is. Om het elektrische veld binnen de geleidende platen nul, moet men rekening houden met deze geïnduceerde ladingen.
Het is nu ook duidelijk dat het elektrische veld afhangt van de negatief geladen plaat.Als de lading op deze plaat zou worden veranderd of volledig zou worden verwijderd, dan zou de geïnduceerde lading op de positieve plaat duidelijk veranderen, met een resulterende verandering in het elektrische veld.
Opmerkingen
- Hallo, is het ook mogelijk om dit op te lossen zonder de wet van Gauss ‘ s, met behulp van de continue superpositie-integraal?
- @JDoeDoe: Ja , zeker. U ‘ d hebt een integraal over het gehele oppervlak van de plaat, die oneindige limieten zou hebben, en de bijdrage aan het elektrische veld zou ongeveer 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy voor een afstand d boven de plaat. En jij ‘ zou natuurlijk ook de vectorbijdragen moeten uitwerken.
- Heel mooi antwoord!
Answer
In een condensator worden de platen alleen opgeladen bij de interface die naar de andere plaat is gericht. Dat komt omdat de “juiste” manier om dit probleem te zien is als een gepolariseerd stuk metaal waarbij de twee gepolariseerde delen tegenover elkaar worden geplaatst.
In principe genereert elke ladingsdichtheid een veld dat $ \ is. sigma / 2 \ epsilon $. Het is alleen dat de feitelijke geometrie van de plaatcondensator zodanig is dat deze velden optellen in het plaatgebied en naar buiten verdwijnen, wat het resultaat verklaart dat u vindt met de Gauss-wet. Onthoud dat de Gauss-wet u het totale elektrische veld vertelt en niet de alleen vanwege de lading die u omringt. Dat komt omdat je, als je de wet van Gauss gebruikt, ook enkele randvoorwaarden gebruikt. In je berekening komt dit totale veld-ding voort uit het feit dat je met de hand hebt ingevoerd dat het veld nul moest zijn in de platen.
Laten we, om dat te illustreren, het geval van een enkele plaat in het heelal berekenen en vervolgens dat van twee platen.
Als je een enkele plaat in het heelal hebt, is de plaat een symmetrievlak en je hebt $ E (0_ +) = -E (0 _-) $ wat aanleiding geeft als je de stelling van Gauss gebruikt voor $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ waar $ \ text {sgn} (x) $ het teken is van de $ x $ variabele.
Als je een condensator hebt, is de linkerplaat bijvoorbeeld geen symmetrievlak meer en heb je die $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Door de stelling van Gauss toe te passen in de condensatorplaat, zul je zien dat het elektrische veld daar uniform is met een waarde $ E_ {int} $ en door het buiten toe te passen, zul je zien dat het ook uniform is en de waarden $ neemt E_ {ext} ^ {(1)} $ when $ x < 0 $ en $ E_ {ext} ^ {(2)} $ when $ x > L $. We passen dan de stelling van Gauss nog een laatste keer toe op elke plaat om te ontdekken dat $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ en $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. We hebben hier twee vergelijkingen en drie onbekenden. Als u deze twee vergelijkingen toevoegt, krijgt u $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ en als u ze aftrekt, krijgt u $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Hier heb ik niet het feit gebruikt dat het een echte condensator was met metalen platen, ik stelde me gewoon oneindige vellen van tegengestelde lading voor die tegenover elkaar stonden. Het is dus normaal om te ontdekken dat de algemene oplossing de som kan zijn van elk extern veld + het veld gecreëerd door deze bladen.
Stel je een geval voor waarin het externe veld nul is of het feit dat er daadwerkelijk metalen platen in het systeem zijn, geeft het gebruikelijke resultaat dat het veld $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ is binnen en nul buiten.
Reacties
- Ik kan ‘ niet achterhalen uit je antwoord waar ik fout ging . Kunt u dit toelichten?
- Ik heb een beetje mijn punt ontwikkeld en besefte dat het niet ‘ zo triviaal was als ik in het algemene geval had verwacht. Hoe dan ook, mijn punt is dat vanuit het standpunt van de Gauss ‘ stelling deze twee gevallen niet hetzelfde zijn.
- ” Onthoud dat de wet van Gauss ‘ je het totale elektrische veld vertelt en niet alleen vanwege de lading die je omringt. ” Hm, dat lijkt ‘ t niet juist.
- @Elliot: kun je specificeren wat wel of niet juist lijkt ‘ t?
Geef een reactie