Campo entre as placas de um capacitor de placa paralela usando Gauss ' Lei
On Janeiro 20, 2021 by adminConsidere o seguinte capacitor de placa paralela feito de duas placas com área igual $ A $ e densidade de carga superficial igual $ \ sigma $:
O campo elétrico devido à placa positiva é
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
E a magnitude do campo elétrico devido à placa negativa é o mesmo. Esses campos serão adicionados entre o capacitor dando um campo de rede de:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Se tentarmos obter o campo resultante usando Lei de Gauss, envolvendo a placa em uma superfície gaussiana como mostrado, há fluxo apenas através da face paralela à placa positiva e fora dela (uma vez que a outra face está no condutor e o campo elétrico roça todas as outras faces). / p>
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
onde $ E $ é o campo elétrico entre as placas do capacitor. Lei de Gauss, isto é igual à carga $ Q $ nas placas dividida por $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ implica E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Sei que há algo fundamentalmente incorreto em minhas suposições ou compreensão, porque frequentemente obtenho resultados conflitantes ao calcular campos elétricos usando Gauss ” Lei. No entanto, não consegui identificar isso.
Editar: Além disso, outro problema que notei é que mesmo se removermos a placa negativa do capacitor e, em seguida, aplicarmos a Lei de Gauss da mesma maneira, o campo ainda acaba sendo $ \ sigma / \ epsilon_0 $, o que está claramente errado já que a placa negativa contribui para o campo. Então, talvez o problema esteja na aplicação da Lei de Gauss.
Comentários
- O problema é sua primeira equação aí, deveria ser σ / 2ϵ. Você pode derivar isso usando Gauss.
Resposta
Este é um erro extremamente comum no EM introdutório – de alunos que realmente passam tempo pensando sobre o problema, de qualquer maneira 😉 Use a lei de Gauss em ambos os casos:
No caso de pratos infinitos, você não tem o resultado que deu primeiro. Um cilindro Gaussiano tem dois discos em cada lado da placa, então $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ E da superposição você obtém o campo elétrico total $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Seu segundo caso está correto, mas a carga envolvida por seu a superfície é $ Q / 2 $ em relação ao primeiro caso (conservação de carga, se você quiser a mesma resposta é melhor ter a mesma carga total nas placas), então $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ O que, novamente, fornece a mesma resposta quando você aplica a sobreposição.
Resposta
Considere primeiro uma única placa condutora infinita. A fim de aplicar a lei de Gauss com uma extremidade de um cilindro dentro do condutor, você deve assumir que o condutor tem alguma espessura finita. Ao fazer isso, a densidade de carga superficial $ \ sigma $ deve ser espalhada por ambos os lados (pense disso como uma placa finita com uma pequena espessura e, em seguida, estique-a até o infinito. Usando a lei de Gauss com esta placa (colocando uma extremidade do cilindro no condutor ou uma extremidade em ambos os lados) dá um resultado de $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Agora imagine trazer a segunda placa, com densidade de carga oposta $ – \ sigma $ do infinito. Como essas placas são condutores, cargas em cada placa irá se mover para cancelar o campo da placa oposta dentro do condutor (lembre-se de $ E = 0 $ dentro de um condutor). Como o campo elétrico produzido por cada placa é constante, isso pode ser realizado no condutor com a carga positiva líquida movendo uma densidade de carga de $ + \ sigma $ para o lado da placa voltado para a placa carregada negativamente e $ – \ sigma $ para o outro lado. O oposto será feito na placa carregada negativamente. Pode-se agora aplicar a lei de Gauss com um cilindro ao redor da placa positiva para encontrar $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. Isso é consistente com a adição do campo elétrico produzido por cada uma das placas individualmente.
Se você olhar atentamente para os campos elétricos na figura que desenhou acima, verá que o campo elétrico dentro do condutor é realmente diferente de zero. Para manter o campo elétrico dentro do condutor placas zero, é preciso levar em consideração essas cargas induzidas.
Também agora é óbvio que o campo elétrico depende da placa carregada negativamente.Se a carga nesta placa fosse alterada ou removida completamente, então a carga induzida na placa positiva mudaria claramente, com uma mudança resultante no campo elétrico.
Comentários
- Olá, também é possível resolver isso sem a lei de Gauss ‘, usando a integral de superposição contínua?
- @JDoeDoe: Sim , certamente. Você ‘ d teria uma integral sobre toda a superfície da placa, que teria limites infinitos, e a contribuição do campo elétrico seria algo como 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy para uma distância d acima da placa. E você ‘ também teria que trabalhar as contribuições do vetor, é claro.
- Muito boa resposta!
Resposta
Em um capacitor, as placas são carregadas apenas na interface voltada para a outra placa. Isso ocorre porque a maneira “certa” de ver esse problema é como uma peça polarizada de metal onde as duas partes polarizadas são colocadas frente a frente.
Em princípio, cada densidade de carga gera um campo que é $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Acontece que a geometria real do capacitor de placas é tal que esses campos se somam na região da placa e desaparecem do lado de fora, o que explica o resultado que você encontra com a lei de Gauss “. Lembre-se de que a lei de Gauss” informa o campo elétrico total e não um apenas devido à carga que você está cercando. Isso porque, ao usar a lei de Gauss “, você também usa algumas condições de contorno. Em seu cálculo, essa coisa de campo total vem do fato de que você colocou à mão que o campo tinha que ser zero nas placas.
Para ilustrar isso, vamos calcular o caso de uma única placa no universo e, em seguida, o de duas placas.
Se você tem uma única placa no universo, a placa é um plano de simetria e você tem $ E (0_ +) = -E (0 _-) $ que dá origem quando você usa o teorema de Gauss para $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ onde $ \ text {sgn} (x) $ é o sinal da variável $ x $.
Quando você tem um capacitor, a placa esquerda, por exemplo, não é mais um plano de simetria e você tem aquele $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Ao aplicar o teorema de Gauss dentro da placa do capacitor, você descobrirá que o campo elétrico é uniforme ali com um valor $ E_ {int} $ e, ao aplicá-lo fora, verá que ele também é uniforme e assume os valores $ E_ {ext} ^ {(1)} $ quando $ x < 0 $ e $ E_ {ext} ^ {(2)} $ quando $ x > L $. Em seguida, aplicamos o teorema de Gauss uma última vez em cada placa para descobrir que $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ e $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Temos aqui duas equações e três incógnitas. Adicionar essas duas equações resultará em $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ e subtraí-las resulta em $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Aqui não aproveitei o fato de ser um capacitor real com placas metálicas, apenas imaginei folhas infinitas de cargas opostas frente a frente. Portanto, é normal descobrir que a solução geral pode ser a soma de qualquer campo externo + aquele criado por essas folhas.
Imaginar um caso onde o campo externo é zero ou o fato de que realmente existem placas metálicas no sistema dá o resultado usual de que o campo é $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ dentro e zero fora.
Comentários
- Não consigo ‘ descobrir em sua resposta onde errei . Você poderia explicar?
- Desenvolvi um pouco meu ponto de vista e percebi que não era ‘ t tão trivial quanto eu esperava no caso geral. Em qualquer caso, meu ponto é que, do ponto de vista do teorema de Gauss ‘, esses dois casos não são iguais.
- ” Lembre-se de que a lei de Gauss ‘ informa o campo elétrico total e não apenas devido à carga que você está cercando. ” Hm, isso não ‘ parece certo.
- @Elliot: você poderia especificar o que parece certo ou não ‘ t?
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