Câmp între plăcile unui condensator de placă paralelă utilizând Legea lui Gauss ' Legea
On ianuarie 20, 2021 by adminLuați în considerare următorul condensator de placă paralelă a două plăci cu suprafață egală $ A $ și densitate de încărcare egală cu suprafața $ \ sigma $:
câmpul electric datorat plăcii pozitive este
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Și magnitudinea câmpului electric datorită plăcii negative este la fel. Aceste câmpuri se vor adăuga între condensator, oferind un câmp net de:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Dacă încercăm să obținem câmpul rezultat folosind Legea lui Gauss, încadrând placa într-o suprafață gaussiană așa cum se arată, există flux numai prin fața paralelă cu placa pozitivă și în afara acesteia (deoarece cealaltă față este în conductor, iar câmpul electric descrește toate celelalte fețe).
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
unde $ E $ este câmpul electric dintre plăcile condensatorului. De la Legea lui Gauss este egală cu taxa $ Q $ pe plăci împărțită la $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ implică E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Știu că există ceva fundamental incorect în presupunerile sau înțelegerea mea, deoarece obțin frecvent rezultate contradictorii atunci când calculez câmpuri electrice folosind Gauss ” Legea s. Cu toate acestea, nu reușesc să identific acest lucru.
Edit: De asemenea, o altă problemă pe care am observat-o a fost că, chiar dacă eliminăm placa negativă de pe condensator și apoi aplicăm Legea lui Gauss în același mod, câmpul este totuși $ $ sigma / \ epsilon_0 $, ceea ce este în mod clar greșit întrucât placa negativă contribuie la câmp. Deci, poate că problema se află în aplicarea Legii lui Gauss.
Comentarii
- Problema este prima dvs. ecuație acolo, ar trebui să fie σ / 2ϵ. Puteți obține acest lucru folosind Gauss.
Răspuns
Aceasta este o greșeală extrem de frecventă în EM introductiv – de la studenți care chiar își petrec timpul gândindu-se la problemă, oricum 😉 Folosește legea lui Gauss în ambele cazuri:
În cazul plăcilor infinite, nu ai primul rezultat pe care îl dai. Un cilindru gaussian are două discuri de fiecare parte a plăcii, deci $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ Și din suprapunere obțineți câmpul electric total $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Al doilea caz este corect, dar taxa inclusă de dvs. suprafața este de $ Q / 2 $ față de primul caz (conservarea sarcinii, dacă doriți același răspuns, mai bine aveți aceeași încărcare totală pe plăci), deci $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Care vă oferă din nou același răspuns atunci când aplicați suprapunerea.
Răspuns
Luați în considerare mai întâi o singură placă conductoare infinită. Pentru a aplica legea lui Gauss cu un capăt al unui cilindru în interiorul conductorului, trebuie să presupunem că conductorul are o grosime finită. În acest sens, densitatea de încărcare a suprafeței $ \ sigma $ trebuie să fie răspândită pe ambele părți (gândiți-vă din aceasta ca o placă finită cu o grosime mică și apoi întindeți-o până la infinit. Folosind legea lui Gauss cu această placă (fie punând un capăt al cilindrului în conductor, fie un capăt pe ambele părți) se obține un rezultat de $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Acum imaginați-vă aducând a doua placă, cu densitate de încărcare opusă $ – \ sigma $ în infinit. Deoarece aceste plăci sunt conductoare, sarcini în fiecare placă se va deplasa pentru a anula câmpul de pe placa opusă din interiorul conductorului (amintiți-vă de $ E = 0 $ în interiorul unui conductor). Deoarece câmpul electric produs de fiecare placă este constant, acest lucru poate fi realizat în conductor cu sarcina netă pozitivă prin deplasarea unei densități de sarcină de $ + \ sigma $ pe partea plăcii orientate spre placa încărcată negativ și $ – \ sigma $ pe cealaltă parte. Opusul se va face în placa încărcată negativ. Acum se poate aplica legea lui Gauss cu un cilindru în jurul plăcii pozitive pentru a găsi $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. Acest lucru este în concordanță cu adăugarea câmpului electric produs de fiecare dintre plăci în mod individual.
Dacă priviți cu atenție câmpurile electrice din figura pe care ați desenat-o mai sus, atunci veți vedea că câmpul electric din interiorul conductorului este într-adevăr diferit de zero. Pentru a păstra câmpul electric în interiorul conductorului plăci zero, trebuie să se ia în considerare aceste sarcini induse.
De asemenea, este evident că câmpul electric depinde de placa încărcată negativ.Dacă sarcina de pe această placă ar fi schimbată sau eliminată complet, atunci sarcina indusă de pe placa pozitivă s-ar schimba în mod clar, rezultând o schimbare în câmpul electric.
Comentarii
- Bună, este de asemenea posibil să rezolvăm acest lucru fără legea lui Gauss ‘, folosind integralul de suprapunere continuă?
- @JDoeDoe: Da , cu siguranță. ‘ ai o integrală pe întreaga suprafață a plăcii, care ar avea limite infinite, iar contribuția câmpului electric ar fi ceva de genul 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy pentru o distanță d deasupra plăcii. Și ‘ ar trebui să elaborați și contribuțiile vectoriale, desigur.
- Răspuns foarte frumos!
Răspuns
Într-un condensator, plăcile sunt încărcate numai la interfața orientată spre cealaltă placă. Asta pentru că modul „corect” de a vedea această problemă este ca o bucată de metal polarizată în care cele două părți polarizate sunt puse una față de cealaltă.
În principiu, fiecare densitate de încărcare generează un câmp care este $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Doar că geometria reală a condensatorului de placă este de așa natură încât aceste câmpuri se adună în regiunea plăcii și dispar în exterior ceea ce explică rezultatul pe care îl găsiți cu legea Gauss. Amintiți-vă că legea Gauss vă spune câmpul electric total și nu una numai datorită taxei pe care o înconjurați. Acest lucru se datorează faptului că, atunci când utilizați legea lui Gauss, utilizați și câteva condiții la graniță. În calculul dvs. acest lucru câmp total provine din faptul că ați introdus cu mâinile că câmpul trebuia să fie zero în plăci.
Pentru a ilustra acest lucru, să calculăm cazul unei singure plăci din univers și apoi cea a două plăci.
Dacă aveți o singură placă în univers, placa este un plan de simetrie și ai $ E (0_ +) = -E (0 _-) $ care dă naștere când folosești teorema lui Gauss la $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ unde $ \ text {sgn} (x) $ este semnul variabilei $ x $.
Când aveți un condensator, placa stângă, de exemplu, nu mai este un plan de simetrie și aveți acel $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Prin aplicarea teoremei lui Gauss în interiorul plăcii condensatorului, veți descoperi că câmpul electric este uniform acolo cu o valoare $ E_ {int} $ și, aplicându-l în exterior, veți vedea că este și uniform și ia valorile $ E_ {ext} ^ {(1)} $ când $ x < 0 $ și $ E_ {ext} ^ {(2)} $ când $ x > L $. Apoi aplicăm teorema lui Gauss pentru ultima dată pe fiecare placă pentru a găsi că $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ și $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Avem aici două ecuații și trei necunoscute. Adăugarea acestor două ecuații va genera $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ și scăderea acestora dă $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Aici nu am folosit faptul că a fost un condensator propriu-zis cu plăci metalice, mi-am imaginat doar foi infinite de încărcare opusă orientate unul către celălalt. Este normal să constatăm că soluția generală poate fi suma oricărui câmp extern + cel creat de aceste foi.
Imaginarea unui caz în care câmpul extern este zero sau faptul că există de fapt plăci metalice în sistem dă rezultatul obișnuit că câmpul este $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ în interior și zero afară.
Comentarii
- ‘ nu-mi pot da seama din răspunsul dvs. unde am greșit . Ați putea detalia?
- Mi-am dezvoltat puțin ideea și mi-am dat seama că nu era ‘ atât de banal pe cât mă așteptam în cazul general. În orice caz, punctul meu este că, din punctul de vedere al teoremei Gauss ‘, aceste două cazuri nu sunt aceleași.
- ” Amintiți-vă că legea Gauss ‘ vă spune câmpul electric total și nu cel numai datorită încărcării pe care o înconjurați. ” Hm, asta nu ‘ nu pare corect.
- @Elliot: ai putea specifica ceea ce pare corect sau nu ‘ t?
Lasă un răspuns