Fält mellan plattorna i en parallellplattkondensator med Gauss ' s Law
On januari 20, 2021 by adminTänk på följande parallella plattkondensator som gjorts av två plattor med lika yta $ A $ och lika ytladdningstäthet $ \ sigma $:
det elektriska fältet på grund av den positiva plattan är
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Och storleken på det elektriska fältet på grund av den negativa plattan är samma. Dessa fält kommer att läggas in mellan kondensatorn och ge ett nettofält på:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Om vi försöker få det resulterande fältet med Gauss lag, som omsluter plattan i en Gaussisk yta som visas, flödar endast genom ansiktet parallellt med den positiva plattan och utanför den (eftersom den andra ytan är i ledaren och det elektriska fältet skummar alla andra ytor). / p>
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
där $ E $ är det elektriska fältet mellan kondensatorplattorna. Gauss lag detta är lika med laddningen $ Q $ på plattorna dividerat med $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ innebär E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Jag vet att det finns något fundamentalt felaktigt i mina antaganden eller förståelse, eftersom jag ofta får motstridiga resultat när jag beräknar elektriska fält med Gauss ” s Lag. Jag lyckas dock inte identifiera detta.
Redigera: Ett annat problem som jag märkte var att även om vi tar bort den negativa plattan från kondensatorn och sedan tillämpar Gauss lag på samma sätt, kommer fältet fortfarande att vara $ \ sigma / \ epsilon_0 $ vilket är helt klart fel eftersom den negativa plattan bidrar till fältet. Så, kanske problemet ligger i tillämpningen av Gauss lag.
Kommentarer
- Problemet är din första ekvation där, det borde vara σ / 2ϵ. Du kan härleda detta med Gauss.
Svar
Detta är ett extremt vanligt misstag i inledande EM – från elever som faktiskt spenderar tid på att tänka på problemet, hur som helst 😉 Använd Gauss lag i båda fallen:
När det gäller oändliga plattor har du inte det resultat du ger först. En Gaussisk cylinder har två skivor på vardera sidan om plattan, så $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ Och från superposition får du det totala elektriska fältet $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Det andra fallet är korrekt, men avgiften bifogas av din ytan är $ Q / 2 $ i förhållande till det första fallet (bevarande av laddning, om du vill ha samma svar har du bättre samma totala laddning på plattorna), så $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Som återigen ger dig samma svar när du tillämpar superposition.
Svar
Tänk först på en enda oändlig ledningsplatta. För att tillämpa Gauss lag med ena änden av en cylinder inuti ledaren måste du anta att ledaren har en viss ändlig tjocklek. När du gör detta måste ytladdningstätheten $ \ sigma $ spridas över båda sidor (tänk av detta som en ändlig platta med en liten tjocklek och sträck den sedan ut till oändlighet. Använd Gauss lag med denna platta (antingen placera ena änden av cylindern i ledaren eller en ände på båda sidor) ger ett resultat av $ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Tänk dig att ta med den andra plattan, med motsatt laddningstäthet $ – \ sigma $ in från oändligheten. Eftersom dessa plattor är ledare, laddas i varje platta kommer att röra sig för att avbryta fältet från motsatt platta inuti ledaren (kom ihåg $ E = 0 $ inuti en ledare). Eftersom det elektriska fältet som produceras av varje platta är konstant kan detta åstadkommas i ledaren med den positiva nettoladdningen genom att flytta en laddningstäthet på $ + \ sigma $ till den sida av plattan som vetter mot den negativt laddade plattan och $ – \ sigma $ till den andra sidan. Motsatsen kommer att göras i den negativt laddade plattan. Man kan nu tillämpa Gauss lag med en cylinder runt den positiva plattan för att hitta $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $. Detta överensstämmer med att lägga till det elektriska fältet som produceras av var och en av plattorna individuellt.
Om du tittar noga på de elektriska fälten i figuren du har ritat ovan, kommer du att se att det elektriska fältet inuti ledaren verkligen är noll. plattorna noll, måste man ta hänsyn till dessa inducerade laddningar.
Det är nu också uppenbart att det elektriska fältet beror på den negativt laddade plattan.Om laddningen på denna platta ändrades eller avlägsnades helt, skulle den inducerade laddningen på den positiva plattan tydligt förändras med en resulterande förändring i det elektriska fältet.
Kommentarer
- Hej, är det också möjligt att lösa detta utan Gauss ’ lag, med den kontinuerliga superposition integralen?
- @JDoeDoe: Ja , verkligen. Du ’ d har en integral över hela plattans yta, vilket skulle ha oändliga gränser, och det elektriska fältets bidrag skulle vara ungefär 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy för ett avstånd d ovanför plattan. Och du ’ måste naturligtvis också räkna ut vektordragen.
- Mycket trevligt svar!
Svar
I en kondensator laddas plattorna endast vid gränssnittet som vetter mot den andra plattan. Det beror på att det ”rätta” sättet att se detta problem är som en polariserad metallbit där de två polariserade delarna placeras mot varandra.
I princip genererar varje laddningstäthet ett fält som är $ \ sigma / 2 \ epsilon $. Det är bara att plattkondensatorns faktiska geometri är sådan att dessa fält läggs samman i plattområdet och försvinner utanför vilket förklarar resultatet du hittar med Gauss ”lag. Kom ihåg att Gauss” lag berättar det totala elektriska fältet och inte en endast på grund av avgiften du omger. Det beror på att när du använder Gauss-lagen, använder du också vissa gränsvillkor. I din beräkning kommer denna totala fältsaken från det faktum att du lägger in för hand att fältet måste vara noll i plattorna.
För att illustrera det, låt oss beräkna fallet med en enda platta i universum och sedan två plattor.
Om du har en enda platta i universum är plattan ett symmetriplan och du har $ E (0_ +) = -E (0 _-) $ som ger upphov till när du använder Gauss sats till $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ där $ \ text {sgn} (x) $ är tecknet på variabeln $ x $.
När du har en kondensator är till exempel den vänstra plattan inte längre ett symmetriplan och du har den $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Genom att tillämpa Gauss sats inuti kondensatorplattan kommer du att upptäcka att det elektriska fältet är enhetligt där med ett värde $ E_ {int} $ och genom att applicera det utanför ser du att det också är enhetligt och tar värdena $ E_ {ext} ^ {(1)} $ när $ x < 0 $ och $ E_ {ext} ^ {(2)} $ när $ x > L $. Vi tillämpar sedan Gauss sats en sista gång på varje platta för att hitta den $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ och $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Vi har här två ekvationer och tre okända. Att lägga till dessa två ekvationer ger $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $ och subtrahering av dem ger $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Här använde jag inte det faktum att det var en verklig kondensator med metallplattor, jag föreställde mig bara oändliga ark med motsatt laddning mot varandra. Det är alltså normalt att finna att den allmänna lösningen kan vara summan av vilket som helst externt fält + det som skapas av dessa ark.
Att föreställa sig ett fall där det externa fältet är noll eller det faktum att det faktiskt finns metallplattor i systemet ger det vanliga resultatet att fältet är $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ inuti och noll utanför.
Kommentarer
- Jag kan ’ inte räkna ut från ditt svar var jag gick fel . Kan du utarbeta?
- Jag har utvecklat lite min poäng och insett att det inte var ’ t så trivialt som jag förväntade mig i allmänhet. I vilket fall som helst är min poäng att från Gauss ’ sats är dessa två fall inte desamma.
- ” Kom ihåg att Gauss ’ lag berättar om det totala elektriska fältet och inte bara det på grund av laddningen du omger. ” Hm, det verkar inte ’ t verkar rätt.
- @Elliot: kan du ange vad som verkar vara rätt eller inte ’ t?
Lämna ett svar