Feld zwischen den Platten eines Parallelplattenkondensators unter Verwendung des Gaußschen ' -Gesetzes
On Januar 20, 2021 by adminBetrachten Sie den folgenden Parallelplattenkondensator von zwei Platten mit gleicher Fläche $ A $ und gleicher Oberflächenladungsdichte $ \ sigma $:
Die Das elektrische Feld aufgrund der positiven Platte ist
$$ \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
. Die Größe des elektrischen Feldes aufgrund der negativen Platte ist die gleich. Diese Felder werden zwischen dem Kondensator addiert und ergeben ein Nettofeld von:
$$ 2 \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Wenn wir versuchen, das resultierende Feld mit zu erhalten Das Gaußsche Gesetz, das die Platte wie gezeigt in eine Gaußsche Oberfläche einschließt, fließt nur durch die Fläche parallel zur positiven Platte und außerhalb (da sich die andere Fläche im Leiter befindet und das elektrische Feld alle anderen Flächen überfliegt) / p>
$$ \ Phi = \ oint \ vec {E} \ cdot \ vec {dA} = EA $$
wobei $ E $ das elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten ist Das Gaußsche Gesetz entspricht der Gebühr $ Q $ auf den Platten geteilt durch $ \ epsilon_0 $
$$ \ frac {Q} {\ epsilon_0} \ impliziert E = \ frac {Q} { A \ epsilon_0} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Ich weiß, dass meine Annahmen oder mein Verständnis grundlegend falsch sind, da ich bei der Berechnung elektrischer Felder mit Gauß häufig widersprüchliche Ergebnisse erhalte. “ s Gesetz. Es ist mir jedoch nicht gelungen, dies zu identifizieren.
Bearbeiten: Ein weiteres Problem, das mir aufgefallen ist, war, dass selbst wenn wir die negative Platte vom Kondensator entfernen und dann das Gaußsche Gesetz auf die gleiche Weise anwenden, das Feld immer noch $ \ sigma / \ epsilon_0 $ ist, was eindeutig falsch ist da die negative Platte zum Feld beiträgt. Vielleicht liegt das Problem in der Anwendung des Gaußschen Gesetzes.
Kommentare
- Das Problem ist Ihre erste Gleichung dort, es sollte σ sein / 2ϵ. Sie können dies mit Gauß ableiten.
Antwort
Dies ist ein äußerst häufiger Fehler bei der Einführung von EM – von Schülern, die tatsächlich Zeit damit verbringen, über das Problem nachzudenken 😉 Verwenden Sie in beiden Fällen das Gaußsche Gesetz:
Bei unendlichen Platten haben Sie nicht das Ergebnis, das Sie zuerst angeben. Ein Gaußscher Zylinder hat zwei Scheiben auf beiden Seiten der Platte, also $$ E_1 (2A) = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} { 2 \ epsilon_0} $$ Und durch Überlagerung erhalten Sie das gesamte elektrische Feld $$ E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} $$
Ihr zweiter Fall ist korrekt, aber die von Ihnen eingeschlossene Ladung Die Oberfläche ist $ Q / 2 $ relativ zum ersten Fall (Ladungserhaltung, wenn Sie die gleiche Antwort wünschen, haben Sie besser die gleiche Gesamtladung auf den Platten), also $$ E_1A = \ frac {(\ sigma / 2) A. } {\ epsilon_0} \ rightarrow E_1 = \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon_0} $$ Damit erhalten Sie wieder die gleiche Antwort, wenn Sie die Überlagerung anwenden.
Antwort
Betrachten Sie zunächst eine einzelne unendlich leitende Platte. Um das Gaußsche Gesetz mit einem Ende eines Zylinders innerhalb des Leiters anzuwenden, müssen Sie davon ausgehen, dass der Leiter eine begrenzte Dicke hat. Dabei muss die Oberflächenladungsdichte $ \ sigma $ auf beide Seiten verteilt sein (denken Sie daran davon als endliche Platte mit geringer Dicke und dann bis ins Unendliche ausdehnen. Die Verwendung des Gaußschen Gesetzes mit dieser Platte (entweder ein Ende des Zylinders in den Leiter oder ein Ende auf beiden Seiten) ergibt ein Ergebnis von $ E. = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {2A \ epsilon_0} $.
Stellen Sie sich nun vor, Sie bringen die zweite Platte mit entgegengesetzter Ladungsdichte $ – \ sigma $ aus dem Unendlichen. Da diese Platten Leiter und Ladungen sind in jeder Platte wird sich bewegen, um das Feld von der gegenüberliegenden Platte innerhalb des Leiters zu löschen (denken Sie daran, dass $ E = 0 $ innerhalb eines Leiters ist). Da das von jeder Platte erzeugte elektrische Feld konstant ist, kann dies im Leiter erreicht werden mit der positiven Nettoladung durch Bewegen einer Ladungsdichte von $ + \ sigma $ auf die Seite der Platte, die der negativ geladenen Platte zugewandt ist, und $ – \ sigma $ auf die andere Seite. Das Gegenteil wird in der negativ geladenen Platte gemacht. Man kann nun das Gaußsche Gesetz mit einem Zylinder um die positive Platte anwenden, um $ E = \ frac {2 \ sigma} {\ epsilon_ {0}} = \ frac {Q} {A \ epsilon_ {0}} $ zu finden. Dies steht im Einklang mit dem Hinzufügen des von jeder der Platten einzeln erzeugten elektrischen Feldes.
Wenn Sie sich die elektrischen Felder in der Abbildung oben genau ansehen, sehen Sie, dass das elektrische Feld im Leiter tatsächlich ungleich Null ist. Um das elektrische Feld im Leiter zu halten Platten Null, man muss diese induzierten Ladungen berücksichtigen.
Es ist jetzt auch offensichtlich, dass das elektrische Feld von der negativ geladenen Platte abhängt.Wenn die Ladung auf dieser Platte geändert oder vollständig entfernt würde, würde sich die induzierte Ladung auf der positiven Platte deutlich ändern, was zu einer Änderung des elektrischen Feldes führen würde.
Kommentare
- Hallo, ist es auch möglich, dies ohne das Gesetz von Gauß ‚ unter Verwendung des kontinuierlichen Überlagerungsintegrals zu lösen?
- @JDoeDoe: Ja , bestimmt. Sie ‚ hätten ein Integral über die gesamte Oberfläche der Platte, das unendliche Grenzen hätte, und der Beitrag des elektrischen Feldes wäre ungefähr 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 + d ^ 2) dx dy für einen Abstand d über der Platte. Und Sie ‚ müssten natürlich auch die Vektorbeiträge herausarbeiten.
- Sehr schöne Antwort!
Antwort
In einem Kondensator werden die Platten nur an der Schnittstelle geladen, die der anderen Platte zugewandt ist. Dies liegt daran, dass der „richtige“ Weg, um dieses Problem zu sehen, ein polarisiertes Metallstück ist, bei dem die beiden polarisierten Teile einander zugewandt sind.
Im Prinzip erzeugt jede Ladungsdichte ein Feld, das $ \ ist Sigma / 2 \ epsilon $. Es ist nur so, dass die tatsächliche Geometrie des Plattenkondensators so ist, dass sich diese Felder im Plattenbereich addieren und nach außen verschwinden, was das Ergebnis erklärt, das Sie mit dem Gaußschen Gesetz finden. Denken Sie daran, dass das Gaußsche Gesetz das gesamte elektrische Feld und nicht das eine nur aufgrund der Gebühr, die Sie umgeben. Dies liegt daran, dass Sie bei Verwendung des Gaußschen Gesetzes auch einige Randbedingungen verwenden. Bei Ihrer Berechnung ergibt sich dieses Gesamtfeld aus der Tatsache, dass Sie mit den Händen eingegeben haben, dass das Feld in den Platten Null sein musste.
Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir den Fall einer einzelnen Platte im Universum und dann den von zwei Platten.
Wenn Sie eine einzelne Platte im Universum haben, ist die Platte eine Symmetrieebene und Sie haben $ E (0_ +) = -E (0 _-) $, was entsteht, wenn Sie den Satz von Gauß zu $ E = \ text {sgn} (x) \ frac {\ sigma} {2 \ epsilon} $ verwenden Dabei ist $ \ text {sgn} (x) $ das Vorzeichen der Variablen $ x $.
Wenn Sie einen Kondensator haben, ist die linke Platte beispielsweise keine Symmetrieebene mehr und Sie haben $ E (0_ +) \ neq -E (0 _-) $. Wenn Sie den Satz von Gauß innerhalb der Kondensatorplatte anwenden, werden Sie feststellen, dass das elektrische Feld dort mit einem Wert $ E_ {int} $ gleichmäßig ist, und wenn Sie es außerhalb anwenden, werden Sie feststellen, dass es auch gleichmäßig ist und die Werte $ annimmt E_ {ext} ^ {(1)} $ wenn $ x < 0 $ und $ E_ {ext} ^ {(2)} $ wenn $ x > L $. Wir wenden dann den Satz von Gauß ein letztes Mal auf jede Platte an, um festzustellen, dass $ E_ {int} -E_ {ext} ^ {(1)} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ und $ E_ {ext} ^ {(2)} – E_ {int} = – \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $. Wir haben hier zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Das Addieren dieser beiden Gleichungen ergibt $ E_ {ext} ^ {(1)} = E_ {ext} ^ {(2)} = E_ {ext} $, und das Subtrahieren ergibt $ E_ {int} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} + E_ {ext} $. Hier habe ich nicht die Tatsache ausgenutzt, dass es sich um einen tatsächlichen Kondensator mit Metallplatten handelt, sondern mir nur unendliche Schichten entgegengesetzter Ladung vorgestellt, die sich gegenüberstehen. Es ist daher normal festzustellen, dass die allgemeine Lösung die Summe aller externen Felder + des durch diese Blätter erzeugten sein kann.
Wenn Sie sich einen Fall vorstellen, in dem das externe Feld Null ist oder wenn sich tatsächlich Metallplatten im System befinden, ergibt sich das übliche Ergebnis, dass das Feld innerhalb von und $ \ frac {\ sigma} {\ epsilon} $ ist Null draußen.
Kommentare
- Ich kann ‚ aus Ihrer Antwort nicht herausfinden, wo ich falsch gelaufen bin . Könnten Sie das näher erläutern?
- Ich habe meinen Standpunkt ein wenig weiterentwickelt und festgestellt, dass er ‚ nicht so trivial war, wie ich es im allgemeinen Fall erwartet hatte. Mein Punkt ist auf jeden Fall, dass diese beiden Fälle aus der Sicht des Satzes von Gauss ‚ nicht gleich sind.
- “ Denken Sie daran, dass das Gaußsche ‚ -Gesetz das gesamte elektrische Feld angibt und nicht nur aufgrund der Ladung, die Sie umgeben. “ Hm, das ‚ scheint nicht richtig zu sein.
- @Elliot: Können Sie angeben, was richtig erscheint oder nicht ‚ t?
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