Dlaczego splot kołowy jest używany w DSP? Dlaczego nie liniowy splot?
On 29 listopada, 2020 by admin-
Dlaczego w DSP używamy splotu kołowego?
-
Jaki jest główny solidny powód stosowania go w przetwarzaniu cyfrowym?
-
Dlaczego koncepcja cyrkularnego splot występuje częściej niż splot liniowy?
Komentarze
- zauważysz, że wszystkie twoje odpowiedzi zawierają wzmiankę dyskretnej transformaty Fouriera, która jest realizowana najskuteczniej z FFT. DFT z natury okresowo wydłuża przekazane do niej sekwencje o skończonej długości (które są kołowe). splot kołowy rzadko jest celem . zwykle splot liniowy jest celem. ale po pomnożeniu DFT ' s $ X [k] $ i $ H [k] $ razem, odpowiada to kołowemu splotowi z dwóch okresowo wydłużanych sekwencji, $ x [n] $ i $ h [n] $ przekazywane do DFT. Problem polega na tym, że w jakiś sposób przekształca się to w splot liniowy.
Odpowiedź
Biorąc pod uwagę dyskretny system LTI z odpowiedzią impulsową $ h [n] $ , można obliczyć jego odpowiedź na dowolne dane wejściowe $ x [n] $ za pomocą splot suma: $$ y [n] = x [n] \ star h [n] = \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} {h [k] x [nk]} \ tag {1} $$
Bez dalszych uwag, powyższa definicja dotyczy splot liniowy (splot aperiodyczny) pomiędzy $ h [n] $ i $ x [n] $ , które są nieokresowymi sekwencjami dyskretnymi o możliwie nieskończonej długości, chyba że określono inaczej. Różni się to od splotu kołowego , który znajduje się między dwiema okresowymi sekwencjami okresu $ N $ i obliczone w jednym okresie.
Możesz obliczyć liniową splot w dziedzinie czasu według równania 1 lub w dziedzinie częstotliwości przy użyciu następującej właściwości DTFT (dyskretna transformata Fouriera): $$ y [n] = x [n] \ star h [n] \ implikuje Y (e ^ {j \ omega}) = X (e ^ {j \ omega}) H (e ^ {j \ omega}) \ tag {2} $$
DTFT jest naturalnie powiązany ze splotem liniowym, ponieważ zajmuje się teoretycznie istniejącymi sekwencjami nieokresowymi, które mogą rozciągać się od $ – \ infty $ do $ \ infty $ znajduje odzwierciedlenie w granicach sumy definiującej: $$ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} \ tag {3} $$
Gdy chcesz wykonać obliczenia ręcznie, używając wyrażeń symbolicznych dla sygnałów, takich jak $ x [n] = a ^ nu [n] $ i $ h [n] = b ^ nu [n] $ , możesz obliczyć wyniki w dziedzinie czasu lub częstotliwości, jak opisano powyżej.
Ponadto, jeśli chcesz obliczyć ten sam wynik za pomocą komputera, możesz użyć podejścia w dziedzinie czasu opartego na rekursji LCCDE (dla systemów IIR) lub bezpośredniej skończonej sumie splotów (dla systemów FIR), ALE podejście w dziedzinie częstotliwości nie działa z DTFT; ponieważ jest to głównie narzędzie używane do rozwijania matematyki sygnałów & teorii systemów i nie jest odpowiednie dla komputera cyfrowego implementacje, ponieważ jego zmienna $ \ omega $ jest rzeczywistą ciągłą liczba.
Zamiast tego używana jest DFT (dyskretna transformata Fouriera) zdefiniowana jako $$ X [k] = X (e ^ {j \ omega}) | _ {\ omega = \ frac {2 \ pi k} {N}} \ tag {4} $$
gdzie $ k = 0,1, …, N-1 $ i $ N $ to długość DFT, która” jest następnie nazywana Punkt N DFT sygnału $ x [n] $ .
Z równania 4 wynika, że sekwencja DFT $ X [k] $ jest otrzymywana jako jednolite próbki DTFT $ X (e ^ {j \ omega}) $ , która jest funkcją okresową, stąd DFT $ X [k] $ to również okresowy, ale uwzględniamy tylko jego pierwszy okres od $ k = 0 $ do $ N-1 $ .
Ponieważ sekwencje DFT są z natury okresowe, ich zwoje również będą okresowe (cykliczne).Dlatego też liniowy splot między sygnałami aperiodycznymi $ x [n] $ i $ y [n] $ jest implikowane przez wyrażenie I-DTFT $$ y [n] = \ mathcal {I-DTFT} \ {X (e ^ {j \ omega}) H (e ^ {j \ omega}) \} $$ zamiast a cykliczny splot między dwiema sekwencjami okresowymi jest implikowany przez wyrażenie I-DFT $$ \ tilde {y} [n] = \ mathcal { I-DFT} \ {X [k] H [k] \} $$
Więc, biorąc pod uwagę, że chcemy obliczyć splot liniowy między dwiema sekwencjami aperiodycznymi $ x [n] $ i $ h [n] $ długości $ L_x $ i $ L_h $ , używając domeny częstotliwości według ich $ N $ punktów DFT, $ X [k] $ i $ H [k] $ , tak naprawdę musimy obliczyć splot kołowy między okresowymi rozszerzeniami sygnałów $ \ tilde {x} [n] $ i $ \ tilde {h} [n] $ z okresów N $ N $ .
Kluczem jest wybranie odpowiedniej długości $ N $ DFT, która musi być wystarczająco długa, aby uniknąć czasu aliasing sekwencji $ \ tilde {y} [n] $ , zwrócono według obliczenia IDFT: $$ \ tilde {y} [n] = \ sum_ {r = – \ infty} ^ {\ infty} y [n-rN] \ tag {5 } $$
gdzie $ y [n] $ jest wynikiem splotu liniowego, który zostałby zwrócony przez odwrotność teoretyczną DTFT i $ \ tilde {y} [n] $ to okresowy wynik okresowego (kołowego) splotu implikowanego przez odwrotną DFT.
Zauważ, że jeśli którykolwiek z sygnałów ma nieskończoną długość, to „s NIE możliwe aby obliczyć ich liniowy splot przy użyciu metody DFT, ponieważ $ N $ doprowadziłoby do nieskończoności, praktycznie niemożliwe. Implementacja liniowego splotu za pomocą DFT obejmuje następujące kroki:
-
Wybierz N zgodnie z następującymi kryteriami: $$ N \ geq L_x + L_h -1 $$ , co gwarantuje odtworzenie odwrotnego sygnału bez aliasów $ y [n] $ z jego DFT $ Y [k] $ obliczonego splotu kołowego za pośrednictwem $ X [k] H [k] $ .
-
Oblicz N-punktowe DFT $ X [k] $ i $ H [k] $ z $ x [n] $ i $ h [n] $ .
-
Oblicz $ Y [k] = X [k ] H [k] $
-
Oblicz N-punktową odwrotną wartość DFT $ Y [k] $ aby wygenerować wynik $ y [n] $
Answer
Odpowiadając na twoje pytania:
- Dlaczego używamy splotu kołowego w DSP?
W DSP zwykle mamy do czynienia z sekwencjami dyskretnymi o skończonej długości (nawet jeśli badany sygnał jest nieskończony, możemy analizować tylko jego skończoną część naraz ). Jeśli chodzi o przetwarzanie sygnału, sposób jego przetwarzania musi być możliwy do zaimplementowania w dyskretnym urządzeniu logicznym (mianowicie urządzeniu, które nie może przechowywać wartości ciągłych, ponieważ wartości te są nieskończone i ma skończoną ilość pamięci, pamięci itp.). To wyjaśnia, dlaczego dyskretna transformata Fouriera w czasie (DTFT), która przekształca dyskretną sekwencję czasową w ciągłą sekwencję częstotliwości, nie może być implementowana sprzętowo. Liniowy splot w czasie jest równoważny pomnożeniu 2 sekwencji DTFT, ale ponieważ DTFT nie może być zaimplementowany sprzętowo, nie jest to sposób na uzyskanie splotu liniowego. Z drugiej strony „d942baab46”>
Dyskretna transformata Fouriera (DFT) przekształca dyskretną sekwencję czasową w dyskretną sekwencję częstotliwości i to pozwala na jej implementację w Jednak mnożenie 2 sekwencji DFT jest w zasadzie równoważne splotowi kołowemu (splot liniowy można również uzyskać, jeśli sekwencje czasowe zostały wcześniej wypełnione wystarczającą liczbą zer, patrz wyjaśnienie poniżej).Powód, dla którego mnożenie 2 sekwencji DFT jest równoważne splotowi kołowemu, a nie liniowemu, wynika z faktu, że DFT dla sekwencji o skończonej długości czasu jest równoważna dyskretnej serii Fouriera (DFS) tej samej sekwencji o skończonej długości okresowo wydłużanej (konkatenacji sekwencja o skończonej długości w nieskończoność na osi czasu) w jednym okresie. DFS jest również okresowy w dziedzinie częstotliwości, więc splot liniowy nie ma tam zastosowania (patrz 8.2.5 i 8.6.5 w wydaniu 3-go Discrete Time Signal Processing Oppenheima)
- Jaki jest główny solidny powód wykorzystania go w przetwarzaniu cyfrowym?
Uzyskuje się go przez mnożenie DFT, a DFT można łatwo zaimplementować sprzętowo. Ponadto istnieją bardzo wydajne algorytmy, takie jak FFT do obliczania DFT
- Dlaczego pojęcie splotu kołowego pojawia się częściej niż splot liniowy?
To zależy od zastosowania. Splot kołowy może również dać splot liniowy. Załóżmy na przykład pracujemy z sygnałem A o długości N i sygnałem B również o długości N (można to również zrobić dla różnych długości). Okrągły splot będzie miał długość N. W celu uzyskania splotu liniowego, zarówno A, jak i B muszą być wypełnione zerami, aż osiągną długość co najmniej 2 * N – 1. DFT da ci splot liniowy
Odpowiedź
Oto trochę intuicji:
Kiedy radzić sobie z sygnałami cyfrowo, zawsze masz do czynienia ze skończonym sygnałem. Dzieje się tak, ponieważ możesz przetwarzać tylko skończoną liczbę punktów danych.
Problem polega jednak na tym, że gdy wykonujesz transformacje w domenie częstotliwości za pomocą DFT, z definicji, sygnał nie może być skończony. Dlatego podczas wykonywania operacji DFT istnieje niejawna zmiana w sygnale ze skończonego na okresowy, nawet jeśli sygnał nie jest okresowy.
To okresowość sygnału prowadzi do konieczności stosowania splotu w sposób cykliczny.
Odpowiedź
DFT / FFT jest przydatny obliczeniowy „młotek”, ale wszystkie wektory bazowe transformacji są kołowe (okresowe liczby całkowite) w aperturze i mogą być nieskończenie wydłużane jako funkcje okresowe, co niektórzy użytkownicy mylą z naturą swoich danych wejściowych.
Jeśli zerowanie o wystarczającą wielkość, splot kołowy daje taki sam wynik jak splot liniowy, ale przy nieco większym koszcie obliczeniowym niż kołowy.
Dodaj komentarz