Miért használják a körkörös konvolúciót a DSP-ben? Miért nem lineáris konvolúció?
On november 29, 2020 by admin-
Miért használunk körkörös konvolúciót a DSP-ben?
-
Mi a legfőbb oka annak, hogy ezt digitális feldolgozásban használják?
-
Miért működik a körlevél fogalma a konvolúció gyakrabban fordul elő, mint a lineáris konvolúció?
Megjegyzések
- észreveszi, hogy minden válaszában szerepel említés a diszkrét Fourier-transzformáció, amelyet az FFT-vel a leghatékonyabban valósítanak meg. A DFT természeténél fogva periodikusan kiterjeszti a neki átadott véges hosszúságú szekvenciákat (amelyek kör alakúak). a körkonvolúció ritkán a cél . általában lineáris konvolúció de a DFT ‘ s $ X [k] $ és $ H [k] $ együttes szorzása esetén ez megfelel az kör konvolúciónak a két időszakosan meghosszabbított szekvencia közül $ x [n] $ és $ h [n] $ továbbjutott a DFT-knek. A probléma ezután valahogy lineáris konvolúcióvá válik.
Válasz
Adott egy diszkrét idejű LTI rendszer impulzusválasszal $ h [n] $ , bármelyik $ x [n] $ bemenetre adott válaszát kiszámíthatja egy konvolúció összeg: $$ y [n] = x [n] \ csillag h [n] = \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} {h [k] x [nk]} \ tag {1} $$
Minden további megállapítás nélkül a fenti meghatározás a lineáris konvolúció (aperiodikus konvolúció) $ h [n] $ között span> és $ x [n] $ , amelyek aperiodikusan diszkrét idejű szekvenciák lehetnek, végtelen hosszúságúak, hacsak másképp nem szerepel. Ez különbözik egy kör alakú konvolúciótól , amely a $ időszak két periodikus szekvenciája között van N $ , és egyetlen időszakra számítva.
kiszámíthatja a lineáris konvolúció az idő tartományában az 1. egyenlet alapján, vagy a frekvenciatartományban a következő DTFT (diszkrét idejű Fourier-transzformáció) tulajdonság használatával: $$ y [n] = x [n] \ csillag h [n] \ azt jelenti, Y (e ^ {j \ omega}) = X (e ^ {j \ omega}) H (e ^ {j \ omega}) \ tag {2} $$
A DTFT természetesen összefügg a lineáris konvolúcióval, mivel elméletileg létező aperiodikus szekvenciákkal foglalkozik, amelyek $ – \ infty $ és $ \ infty $ tükröződik a meghatározó összeg határain: $$ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} \ tag {3} $$
Ha számológépet szeretne készíteni kézzel, szimbolikus kifejezések használatával a jelekhez, például $ x [n] = a ^ nu [n] $ és $ h [n] = b ^ nu [n] $ , az eredményeket idő- vagy frekvenciatartományban kiszámíthatja a fentiek szerint.
Ha ugyanazt az eredményt számítógép segítségével szeretné kiszámítani, használhatja az időtartomány-megközelítést egy LCCDE rekurzión (IIR rendszerek esetén) vagy közvetlen véges konvolúciós összegen (FIR rendszereken) alapul, DE a frekvenciatartomány-megközelítés nem fog működni a DTFT-vel; mivel ez főleg egy eszköz a jelek matematikájának fejlesztésére & és a digitális számítógépekre nem alkalmas megvalósítások, mivel a $ \ omega $ változó egy igazi folyamatos szám.
Ehelyett a DFT (diszkrét Fourier-transzformáció) definíciója $$ X [k] = X (e ^ {j \ omega}) | _ {\ omega = \ frac {2 \ pi k} {N}} \ tag {4} $$
ahol $ k = 0,1, …, N-1 $ és $ N $ a DFT hossza, amelyet ezután N-pont A $ x [n] $ jel DFT-je.
A 4. egyenlet azt jelenti, hogy a $ X [k] $ DFT szekvenciát a DTFT $ X (e ^ {j \ omega}) $ , amely periodikus függvény, ezért a DFT $ X [k] $ szintén időszakos, de csak az első szakaszát vesszük figyelembe $ k = 0 $ és $ N-1 $ között.
Mivel a DFT szekvenciák természetüknél fogva periodikusak, akkor a konvolúcióik is periodikusak (kör alakúak) lesznek.Ezért, míg az aperiodikus jelek közötti lineáris konvolúció $ x [n] $ és $ y [n] $ az I-DTFT $$ y [n] = \ kifejezésből következik mathcal {I-DTFT} \ {X (e ^ {j \ omega}) H (e ^ {j \ omega}) \} $$ helyett egy két periodikus szekvencia közötti kör alakú konvolúciót az I-DFT kifejezés magában foglalja $$ \ tilde {y} [n] = \ mathcal { I-DFT} \ {X [k] H [k] \} $$
Tehát, mivel lineáris konvolúciót akarunk kiszámítani két aperiodikus szekvencia között $ x [n] $ és $ h [n] $ hosszúságú $ L_x $ és $ L_h $ , frekvenciatartomány használatával $ N $ pont DFT-vel, $ X [k] $ és $ H [k] $ , valójában kör alakú konvolúciót kell kiszámítanunk a $ jelek periodikus kiterjesztései között. \ tilde {x} [n] $ és $ \ tilde {h} [n] $ időszakok $ N $ .
A kulcs a DFT-k megfelelő hosszúságú $ N $ kiválasztásában van, amelynek elég hosszúnak kell lennie, hogy elkerülje az időtartományt aliasing $ \ tilde {y} [n] $ sorrendben, visszaküldve az IDFT számításával: $$ \ tilde {y} [n] = \ sum_ {r = – \ infty} ^ {\ infty} y [n-rN] \ tag {5 } $$
ahol $ y [n] $ annak a lineáris konvolúciónak az eredménye, amelyet az elméleti inverz adna vissza A DTFT és a $ \ tilde {y} [n] $ az inverz DFT által sugallt periodikus (kör alakú) konvolúció periodikus eredménye.
Ne feledje, hogy ha bármelyik jel végtelen hosszúságú, akkor “s NEM lehetséges lineáris konvolúciójuk kiszámításához a DFT megközelítést használva, mivel a $ N $ a végtelenségig jutna, gyakorlatilag lehetetlen. A lineáris konvolúció DFT-n keresztüli megvalósítása a következő lépésekkel jár:
-
Válassza a N lehetőséget a következő kritériumok szerint: $$ N \ geq L_x + L_h -1 $$ ami garantálja az inverz jel álnev nélküli rekonstrukcióját $ y [n] $ a DFT $ Y [k] $ számított körkörös konvolúcióból a $ X [k] H [k] útján $ .
-
N-pont DFT-k kiszámítása $ X [k] $ és $ H [k] $ / $ x [n] $ és $ h [n] $ .
-
Számítás $ Y [k] = X [k ] H [k] $
-
Számítsa ki a $ Y [k] $ span N-pont inverz DFT-jét > a $ y [n] $
Válasz
Válasz a kérdésekre:
- Miért használunk körkörös konvolúciót a DSP-ben?
A DSP-ben általában véges hosszúságú diszkrét szekvenciákkal foglalkozunk (akkor is, ha a vizsgált jel végtelen, egyszerre csak egy véges részét tudjuk elemezni ). Ha egy jel feldolgozásáról van szó, akkor annak feldolgozásának módját diszkrét logikai eszközben kell megvalósítani (nevezetesen egy olyan eszközben, amely “nem képes folyamatos értékeket tárolni, mert ezek az értékek végtelenek, és véges mennyiségű memóriával, tárolóval rendelkezik stb.). Ez megmagyarázza, hogy a diszkrét idő Fourier-transzformáció (DTFT), amely egy diszkrét idősort folytonos frekvenciasorrenddé alakít, nem valósítható meg hardverben. A lineáris konvolúció időben egyenértékű 2 szekvencia DTFT-k szorzásával, de mivel a DTFT nem valósítható meg hardverben, ez nem a lineáris konvolúció megszerzésének módja. Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) viszont diszkrét idõszekvenciát diszkrét frekvencia-szekvenciává alakít át, és ez lehetővé teszi annak megvalósítását hardver. Mégis, a 2 szekvencia DFT-k szorzása elvileg egyenértékű a körkörös konvolúcióval (lineáris konvolúció is elérhető, ha az idősorozatot korábban elegendő nullával párnáztuk, lásd az alábbi magyarázatot).Az ok, amiért a 2 szekvencia DFT-k szorzása egyenértékű a kör alakú és nem a lineáris konvolúcióval, abból fakad, hogy a DFT egy véges időtartamú szekvenciához egyenértékű annak a véges időhossznak a diszkrét Fourier-sorozatával (DFS), amelyet időszakosan meghosszabbítanak (összefűzve a véges időhossz-szekvencia végtelenül az idő tengelyében) egy periódus alatt felvett. A DFS frekvenciatartományában szintén periodikus, így a lineáris konvolúció nem alkalmazható ott (lásd Oppenheim “Diszkrét Időjelfeldolgozás 3. kiadásának 8.2.5. És 8.6.5.”)
- Mi a legfőbb szilárd oka annak a digitális feldolgozásban való alkalmazásának?
DFT-szorzással érhető el, és a DFT könnyen megvalósítható hardverben. Ráadásul nagyon hatékony algoritmusok, például FFT léteznek a DFT kiszámításához
- Miért fordul elő a körkörös konvolúció fogalma gyakrabban, mint lineáris konvolúció?
Ez az alkalmazástól függően. A kör alakú konvolúció a lineáris konvolúciót is eredményezheti. Mondjuk például “s” N hosszúságú A jelzéssel és szintén N hosszúságú B jelzéssel dolgozunk (különböző hosszúságokra is megtehető). A kör alakú konvolúció N hosszúságú lesz. A lineáris konvolúció elérése érdekében mind az A, mind a B-t nullákkal kell párnázni, amíg el nem érik a legalább 2 * N – 1 hosszúságot. Ezután mindkettőre alkalmazzuk a DFT-t, szorozzuk meg őket és fordítva A DFT megadja a lineáris konvolúciót
Válasz
Itt van egy kis intuíció:
Amikor digitálisan kezelje a jeleket, mindig véges jelekkel foglalkozik. Ez azért van, mert csak véges mennyiségű adatponton dolgozhat fel.
A probléma azonban az, hogy amikor frekvenciatartományba transzformálunk a A DFT definíció szerint egy jel nem lehet véges, ezért egy DFT művelet végrehajtásakor a jel implicit változása a véges, a periodikus, még akkor is, ha a jel nem periodikus.
Ez A jel periodicitása a konvolúció körkörös használatának szükségességéhez vezet.
Válasz
A DFT / FFT hasznos számítási “kalapács”, de az összes transzformációs bázisvektora kör alakú (egész periodikus) rekeszben van, és periodikus függvényként végtelenül kiterjeszthető, amit egyes felhasználók összekevernek a bemeneti adataik jellegével.
Ha elegendő mennyiséggel nullázza a párnázást, akkor a körkörös konvolúció ugyanolyan eredményt produkál, mint a lineáris konvolúció, de valamivel nagyobb számítási költséggel jár, mint a körkörös.
Vélemény, hozzászólás?