Buscando problemas matemáticos “ interesantes ” simples que no se pueden resolver fácilmente sin la pregunta de álgebra
On noviembre 30, 2020 by adminA menudo encuentro estudiantes a los que no les gusta el álgebra. Prefieren trabajar con números para resolver problemas. Creo que hay muchos problemas que son difíciles de resolver sin álgebra. Por ejemplo:
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Encontrar el valor de $ x $ tal que el volumen de una caja sin tapa alcance un valor máximo.
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Un tanque contiene 40 galones de una solución compuesta de 90% de agua y 10% de alcohol. Se agrega al tanque una segunda solución que contiene mitad agua y mitad alcohol a razón de 4 galones por minuto. Al mismo tiempo, el tanque se drena a una velocidad de 4 galones por minuto, como se muestra a continuación. Suponiendo que la solución se agita constantemente, ¿cuánto alcohol habrá en el tanque después de 10 minutos?
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Etc, etc.
¿Podría proporcionarme otros ejemplos simples «interesantes y desafiantes» para que pueda presentarlos a mis alumnos?
Comentarios
- ¡Ja! La primera semana que estuve en el centro de matemáticas, un estudiante entró con este problema exacto y no tenía idea de cómo visualizarlo. Arranqué X » cuadrados de una hoja de papel y la doblé. El tipo que me contrató se asomó a la habitación y me vio en acción. Me encantó este problema.
- Este problema de geometría es bastante complicado sin álgebra.
Answer
El problema del cuadro puede ser difícil para los estudiantes que no están interesados en álgebra. Me gusta usar los rompecabezas numéricos tontos cuando enseño álgebra inicial.
- Elija un número entre 1 y 25.
- Sume 9.
- Multiplique el resultado por 3.
- Reste 6.
- Dividir por 3.
- Restar tu número original.
Luego puedes ir y decir en voz baja: «Tienes 7, ¿verdad? «a cada uno. Una vez que entienden que todos tienen 7, se vuelve interesante averiguar por qué.
Se me ocurrió la idea de usar esto en la clase de álgebra de Harold Jacobs « Álgebra elemental .
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- Sí, este tipo de » truco de magia » es un clásico. El hecho de que la » mágica » se vuelva completamente mundana con solo un poco de álgebra es bastante sorprendente, creo, para muchos niños que ‘ Anteriormente había sido lo suficientemente inteligente como para intuir las cosas directamente.
- Este es un ejemplo fantástico porque se puede usar en cualquier nivel que haga sumas, restas, multiplicaciones y división y se muestra fácilmente con una variable que representa » su número. »
Respuesta
Creo que el Acertijo de Diofanto « es un buen ejemplo.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
Respuesta
Recientemente encontré el acertijo de que $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, y por lo tanto la pregunta qué valores de las variables dan la coincidencia notable $$ \ frac {a} {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ El punto es que el álgebra da una explicación simple a un fenómeno desconcertante.
Respuesta
Aquí hay una buena manera de elevar al cuadrado un número que termina en un «5»; Tomemos 75 como ejemplo. Cortas el «5»; lo que queda es 7. Luego lo multiplicas por su sucesor: 7 × 8 = 56. Luego escribes «25» después del «56» y obtienes el resultado: 5625.
Muéstralo a los estudiantes de secundaria y ellos «gritarán:» ¡Es mágico! «(¡probado!). Ahora muéstrales (y explícales) esto: $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ y ellos (con suerte) obtienen el «¡ajá! entonces el álgebra no es «inútil después de todo …» momento.
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- I ‘ También he tenido éxito con estos. En este caso, solve = explica por qué funciona, y los estudiantes a menudo tienen la motivación para explicar por qué funciona, o responde ‘ ¿siempre funcionará? ‘ Yo ‘ he recopilado algunos de estos en una hoja de cálculo de Google: bit.ly/NumberTricks
Respuesta
El ejemplo más sorprendente de esto para mí es una ecuación de primer grado razonablemente complicada.
¿Qué es eso, dices? ¿No hay ecuaciones de primer grado complicadas? ¿Son todas solo $ ax + b = 0 \ implica x = -b / a $? Eso es porque sabes álgebra – no es del todo obvio que se puedan poner en esa forma estándar.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
¿Qué número puede ir en los espacios en blanco para que esto sea cierto?
La razón por la que encuentro esto tan sorprendente es porque, si no sabes nada de álgebra, lo anterior parece increíblemente difícil, pero con álgebra, es tan fácil puede hacerlo en su cabeza en menos de un minuto, con un poco de práctica.
Me gustaría pensar que un simple rompecabezas de «llenar el espacio en blanco» es lo suficientemente simple e interesante para motivar a todos menos los estudiantes con más fobia a las matemáticas, siempre y cuando empieces de forma simple.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Fácil, especialmente una vez que te ejercitas, puedes obtener la respuesta sin adivinar haciendo división y resta.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Un poco más complicado, pero no hace falta un entrenamiento formal de álgebra para ver que puedes conseguirlo con una resta seguida de una división. Tenga en cuenta que el problema ahora se está volviendo demasiado difícil para hacer que adivinar sea viable. Luego, una vez que llega a algo como lo que publiqué anteriormente, la situación es desesperada si no sabe sobre distributividad y ecuaciones de equilibrio.
Recuerdo que cuando tenía 10 años, sabía aproximadamente lo que «resolver por $ x $ «, y quería pensar en algo para dejar perplejo a mi padre. Necesito algo lo suficientemente simple como para que yo mismo pueda resolverlo. Si no recuerdo mal, mi mejor esfuerzo después de 15 minutos de peleas cerebrales fue algo como $ x + 1 = 2x $, si no fuera aún más simple. Lo resolvió en su cabeza en aproximadamente medio segundo, y quedé atónito.
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Aquí hay un gran acertijo:
Una botella de vino cuesta 20 €. El vino cuesta 19 € más que la botella vacía. ¿Cuánto cuesta la botella vacía?
Todos responderán 1 €. Pero 1 + (19 + 1) = 21. Ponerlo en una ecuación dará como resultado la respuesta de 0,50 €.
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- En serio, este problema todavía se puede resolver sin álgebra. 🙂
- @WeirdstressFunction Supongo que todos los problemas se pueden resolver sin álgebra. ¿Ha leído los elementos de Euclid ‘? Él usa geometría para resolver ecuaciones algebraicas.
- @BrianRushton: Trate de resolver el problema de caja en mi pregunta sin álgebra. 🙂
- @WeirdstressFunction hay muchas posibilidades de que el problema pueda resolverse sin álgebra en lugar de utilizar geometría. ‘ no es tan fácil, pero estoy seguro de que se puede hacer. Nota: No voy a resolver ese problema con la geometría. No soy un griego antiguo y el álgebra se ha convertido en el estándar por una razón.
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Puede encontrar muchos de estos problemas (disponibles gratuitamente en Internet) entre los Problemas aritméticos en los primeros números de la American Mathematical Monthly y en los libros de texto de álgebra del siglo XIX. A continuación se muestran tres de esos ejemplos.
Solución al problema aritmético n. ° 116 , American Mathematical Monthly 6 # 10 (octubre de 1899), 238-239. [El problema también aparece en la pág. 120 de Álgebra avanzada de Joseph Victor Collins (1918 ).]
Declaración del problema: Dos las velas tienen la misma longitud. Uno se consume uniformemente en $ 4 $ horas y el otro en $ 5 $ horas. Si las velas se encienden al mismo tiempo, ¿cuándo una será tres veces más larga que la otra?
Joseph Ray, Elementos de álgebra , 1865.
Problema 24 en la página 117 Un tanque recibe agua de tres bombas. El primero y segundo lo llenarán en $ 30 $ horas, el primero y tercero en $ 40 $ horas, y el segundo y tercero en $ 50 $ horas. ¿A qué hora puede llenarlo cada uno por separado?
Horatio Nelson Robinson, Tratado elemental de álgebra , 1846.
Problema 24 en la pág. 64 (variables cambiadas a valores numéricos por mí): Una persona comprometida a trabajar $ 24 $ días en estas condiciones: Por cada día que trabajaba, debía recibir $ 25 centavos de dólar, por cada el día en que estaba inactivo iba a perder $ 15 centavos de dólar. Al final de los $ 24 $ días, recibió $ 320 centavos de dólar. ¿Cuántos días estuvo inactivo?
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- El tercer problema se puede resolver sin álgebra . Si la persona trabajara todos los días, habría ganado $ 24 \ cdot25 = 600 $ centavos. En cambio, la persona ganó $ 600-320 = 280 $ centavos menos que eso. La diferencia de pago entre trabajar y no trabajar es de $ 25 – (- 15) = 40 centavos de dólar. Por lo tanto, la persona estaba inactiva $ 280/40 = 7 $ días.
- @Matthew Daly: Sí, parece que hice la conversión a valores numéricos pensando que el álgebra todavía iba a ser necesaria. ‘ no estoy seguro de cuándo (si es que alguna vez) ‘ volveré a esto para agregar nuevos ejemplos o material nuevo (que a menudo lo hago con muchas de mis respuestas anteriores, pero entre todas mis respuestas anteriores probablemente esto solo ocurra en un pequeño porcentaje de ellas), pero ‘ lo reemplazaré con uno o más ejemplos adicionales si lo hago. Sin embargo, por ahora creo que el ejemplo y su comentario son un buen ejemplo de cómo a veces se puede evitar el álgebra.
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Resuelva para obtener una calificación requerida al final de un curso. Una pregunta común que muchos de nosotros nos hacen los estudiantes es: «¿Qué necesito obtener en el examen final para obtener una A en el curso?» o algo así. Mi respuesta ahora es siempre: «Me acaba de hacer una pregunta de álgebra, debería poder resolverla usted mismo».
Configuré mi fórmula de calificación específicamente para respaldar este ejercicio: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, donde W = total ponderado del curso, Q = promedio de la prueba, T = promedio de la prueba, F = calificación del examen final. Una calificación de curso «A» requiere al menos W = 90, «B» al menos W = 80, etc. En la última semana, si el estudiante tiene una calificación objetivo en particular, entonces eso dicta W, y se conocen Q y T, por lo que la única incógnita es F.
En mi clase de álgebra de primaria, dedico una hora a esto como un ejercicio propio alrededor de la mitad del semestre. En los cursos de nivel superior, si un estudiante hace la pregunta en la última semana, lo ayudaré a recordar / configurar la fórmula de calificación y dejar que la resuelvan ellos mismos. A veces esto se vuelve bastante intenso «¡guau!» reacción, como si fuera la primera vez que un problema que instigaron personalmente se resuelve con álgebra; a veces salen teléfonos y toman fotos, etc.
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Este tipo de problema es casi imposible sin álgebra:
Si John pinta una casa en 3 horas y Jane pinta una casa en 2 horas, ¿cuánto tiempo lleva? ¿Pintar 5 casas juntas?
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- En serio, este problema aún se puede resolver sin álgebra.
- Lo mínimo el múltiplo común es la primera respuesta, ya que cada 6 horas John pinta 2 y Jane 3. Y juntos pintan 1 casa en 1 hora y 12 minutos. Sin álgebra.
- Bueno, aprendí algo esta noche. Ahora puedo decirle a mis alumnos que es ‘ fácil debido al mcm.
- @JoeTaxpayer Gracias por el ‘ aha ‘ momento; nunca me di cuenta de la manera fácil de hacerlo hasta ahora.
- @BrianRushton FWIW, en los viejos tiempos , es decir, antes de Fran ç ois Vi è te , la solución dado por JoeTaxpayer habría sido considerado álgebra. El álgebra consistía en procedimientos para manipular los números dados para producir la respuesta. Ahora, álgebra significa casi estrictamente álgebra simbólica.
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Y aquí está mi otra respuesta, pero no relacionada . A veces hice (más o menos) lo siguiente: les mostré a los estudiantes de secundaria la fórmula cuadrática (es decir, la fórmula para el discriminante y las soluciones para una ecuación cuadrática) y les dije algo parecido: «Aquí» una fórmula que da una forma de resolver esta ecuación. Ahora intenta explicar la forma de resolverla sin álgebra «. Luego, abro la página de Wikipedia con la fórmula de las soluciones para el cuártico y digo «¡Y buena suerte con este!». Tal vez no sea interesante (para ellos), pero me parece convincente que el álgebra realmente puede resolver problemas, no crear ellos (en este caso, el problema de la concisión y escribir con precisión la forma de hacer algunos cálculos).
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«Muy bien clase: ¿qué obtienes cuando divides 1 por 0? «
Casi inevitablemente obtendrás la respuesta:» ¡Infinito! «
Pero esto está mal, y puedes usar álgebra para demostrarlo: la pregunta en sí es álgebra en disfrazar. Es pedir resolver para x: $$ 0 * x = 1 $$
En este punto, puede escribir en la pizarra la más básica de las ecuaciones algebraicas: $$ Solve \ quad for \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
«Esta, clase, es una ecuación de álgebra. También se puede escribir así … «$$ x = b / a $$
» En nuestro problema, entonces, b = 1 y a = 0. «$$ 0 * x = 1 $ $
«Ahora, si introduzco x = 1 millón, ¿resolverá esto la ecuación?»
Por supuesto que no: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
«¿Qué tal si conecto x = mil millones?»
Aún «no»: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
«Así es, incluso si introducimos 1 billón de billones de billones +1, multiplicarlo por 0 nos da 0, que no es igual a 1.»
La respuesta correcta en el contexto puramente algebraico es que x es indeterminado: no hay un número real que resuelva esta ecuación.De hecho, la respuesta «infinito» solo puede surgir en el contexto de límites pre-calc / calc:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Pero esta es la respuesta a «¿Cuál es el límite de 1 / a cuando a va a cero», que no es la misma pregunta que la que preguntamos originalmente, que es «¿Qué número x obtenemos cuando dividimos 1 entre 0 «.
Comentarios
- Voto en contra porque no ‘ no creo que el álgebra realmente ayude a abordar esta pregunta más fácil. La división es, por definición, la inversa de multiplicar; ‘ no es el álgebra que lo hace así; por el contrario, es necesario saber que la división por cero no está definida antes de saber cuándo dividir ambos lados de una ecuación es apropiado.
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