Recherche de “ problèmes ” de mathématiques simples qui ne peuvent pas être facilement résolus sans question dalgèbre
On novembre 30, 2020 by adminJe trouve souvent des étudiants qui naiment pas lalgèbre. Ils préfèrent travailler avec des nombres pour résoudre des problèmes. Je crois quil y a de nombreux problèmes difficiles à résoudre sans algèbre. Par exemple:
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Trouver la valeur de $ x $ telle que le volume dune boîte sans couvercle atteigne une valeur maximale.
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Un réservoir contient 40 gallons dune solution composée à 90% deau et à 10% dalcool. Une seconde solution contenant moitié eau et moitié alcool est ajoutée au réservoir à raison de 4 gallons par minute. En même temps, le réservoir est vidangé au taux de 4 gallons par minute, comme indiqué ci-dessous. En supposant que la solution est constamment agitée, quelle quantité dalcool sera dans le réservoir après 10 minutes?
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Etc, etc.
Pourriez-vous me fournir dautres exemples simples « intéressants et stimulants » afin que je puisse les présenter à mes élèves?
Commentaires
- Ha! La première semaine où jétais au centre de mathématiques, un élève est entré avec ce problème exact et navait aucune idée de comment le visualiser. Jai déchiré X » carrés dune feuille de papier et je lai pliée. Le gars qui ma embauché a jeté un coup dœil dans la pièce et ma vu en action. Jai adoré ce problème.
- Ce problème de géométrie est plutôt compliqué sans algèbre.
Réponse
Le problème de la boîte peut être difficile pour les étudiants qui ne sont pas en algèbre. Jaime utiliser les énigmes de nombres stupides lorsque jenseigne lalgèbre de début.
- Choisissez un nombre entre 1 et 25.
- Ajoutez-lui 9.
- Multipliez le résultat par 3.
- Soustrayez 6.
- Divisez par 3.
- Soustrayez votre numéro dorigine.
Ensuite, vous pouvez faire le tour et dire tranquillement: « Vous en avez 7, non? « à chacun. Une fois quils comprennent que tout le monde en a 7, il devient intéressant de comprendre pourquoi.
Jai eu lidée dutiliser ceci dans la classe dalgèbre de Harold Jacobs « Algèbre élémentaire .
Commentaires
- Oui, ce type de » tour de magie » est un classique. Le fait que la » magie » soit rendue complètement banale par juste un peu dalgèbre est assez surprenant, je pense, pour de nombreux enfants qui ‘ d était auparavant suffisamment intelligent pour intuitivement les choses directement.
- Cest un exemple fantastique car il peut être utilisé à tous les niveaux qui font laddition, la soustraction, la multiplication et division et saffiche facilement avec une variable représentant » votre numéro. »
Réponse
Je pense que lénigme Diophantus « est un bon exemple.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
Réponse
Je suis récemment tombé sur lénigme $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, et donc la question de savoir quelles valeurs des variables donnent la remarquable coïncidence $$ \ frac {a} {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ Le point est cette algèbre donne une explication simple à un phénomène mystifiant.
Réponse
Voici « une belle façon de mettre au carré un nombre se terminant par un « 5 »; prenons 75 comme exemple. Vous coupez le « 5 », ce qui reste est 7. Vous le multipliez ensuite par son successeur: 7 × 8 = 56. Ensuite, vous écrivez « 25 » après le « 56 » et obtenez le résultat: 5625.
Montrez-le aux lycéens, et ils « crieront: » Cest magique! « (testé!). Maintenant montrez-leur (et expliquez-leur) ceci: $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ et ils (espérons-le) obtiennent le « aha! donc lalgèbre nest « pas inutile après tout … » moment.
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- I ‘ Jai eu du succès avec ceux-ci également. Dans ce cas, résolvez = expliquez pourquoi cela fonctionne, et les élèves ont souvent la motivation dexpliquer pourquoi cela fonctionne, ou répondez ‘ fonctionnera-t-il toujours? ‘ Jai ‘ recueilli quelques-uns dentre eux dans une feuille de calcul Google: bit.ly/NumberTricks
Réponse
Lexemple le plus frappant de ceci pour moi est une équation du premier degré raisonnablement compliquée.
Quest-ce que cest, dites-vous? Il ny a pas déquations compliquées du premier degré? Elles « sont toutes juste $ ax + b = 0 \ implique x = -b / a $? Cest parce que vous connaissez lalgèbre – ce nest pas du tout évident quils peuvent être mis sous cette forme standard.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
Quel nombre peut figurer dans les espaces pour que cela soit vrai?
La raison pour laquelle je trouve cela si frappant est que, si vous ne connaissez pas du tout dalgèbre, ce qui précède semble extrêmement difficile, mais avec lalgèbre, cest si facile vous pouvez le faire dans votre tête en moins dune minute, avec un peu de pratique.
J « aimerais penser qu » un simple puzzle « remplir le vide » est assez simple et intéressant pour motiver tout le monde, mais les élèves les plus phobiques en mathématiques, à condition que vous commenciez simplement.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Facile, surtout une fois que vous vous entraînez, vous pouvez obtenir la réponse sans deviner en faisant des divisions et des soustractions.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Un peu plus compliqué, mais il ne faut pas de formation formelle en algèbre pour voir que vous pouvez obtenir cela avec une soustraction suivie dune division. Notez que le problème devient maintenant trop difficile pour que la supposition soit viable. Ensuite, une fois que vous arrivez à quelque chose comme ce que jai publié ci-dessus, la situation est sans espoir si vous ne connaissez pas la distributivité et les équations déquilibrage.
Je me souviens quand javais environ 10 ans, je savais à peu près ce que « résoudre pour $ x $ « signifiait, et je voulais trouver quelque chose pour déconcerter mon père. Jai besoin de quelque chose dassez simple pour que je puisse le résoudre moi-même. Si je me souviens bien, mon meilleur effort après environ 15 minutes de brainwrack était quelque chose comme $ x + 1 = 2x $, si ce nétait pas encore plus simple. Il la résolu dans sa tête en une demi-seconde environ, et jai été abasourdi.
Réponse
Voici une grande énigme:
Une bouteille de vin coûte 20 €. Le vin coûte 19 € de plus que la bouteille vide. Combien coûte la bouteille vide?
Tout le monde répondra 1 €. Mais 1 + (19 + 1) = 21. Le mettre dans une équation mènera à la réponse de 0,50 €.
Commentaires
- Sérieusement ce problème peut toujours être résolu sans algèbre. 🙂
- @WeirdstressFunction Je suppose que tous les problèmes peuvent être résolus sans algèbre. Avez-vous lu les éléments dEuclid ‘? Il utilise la géométrie pour résoudre des équations algébriques.
- @BrianRushton: Essayez de résoudre le problème des boîtes dans ma question sans algèbre. 🙂
- @WeirdstressFunction Les chances sont bonnes que le problème puisse être résolu sans algèbre à la place en utilisant la géométrie. Ce ‘ nest pas aussi simple, mais je suis sûr que cela peut être fait. Remarque: je ne vais pas résoudre ce problème avec la géométrie. Je ne suis pas un Grec ancien et lalgèbre est devenue la norme pour une raison.
Réponse
Vous pouvez trouver de nombreux problèmes de ce type (disponibles gratuitement sur Internet) parmi les Problèmes d’arithmétique dans les premiers numéros du American Mathematical Monthly et dans les manuels dalgèbre des années 1800. Voici trois exemples de ce type.
Solution au problème arithmétique n ° 116 , American Mathematical Monthly 6 # 10 (octobre 1899), 238-239. [Le problème apparaît également à la p. 120 sur Advanced Algebra par Joseph Victor Collins (1918 ).]
Énoncé du problème: Deux les bougies ont la même longueur. Lun est consommé uniformément en 4 $ heures et lautre en 5 $ heures. Si les bougies sont allumées en même temps, quand lune sera-t-elle trois fois plus longue que lautre?
Joseph Ray, Éléments dalgèbre , 1865.
Problème 24 à la page 117 Un réservoir est alimenté en eau par trois pompes. Le premier et le deuxième le rempliront en 30 $ heures, les premier et troisième en 40 $ heures, et les deuxième et troisième en 50 $ heures. À quelle heure chacun peut-il le remplir séparément?
Horatio Nelson Robinson, Traité élémentaire dalgèbre , 1846.
Problème 24 à la p. 64 (variables changées en valeurs numériques par moi): Une personne engagée pour travailler 24 $ jours $ aux conditions suivantes: pour chaque jour où il travaillait, il devait recevoir 25 $ cents, pour chaque le jour où il était inactif, il devait renoncer à 15 $ cents. Au bout de 24 $ jours, il a reçu 320 $ cents. Combien de jours est-il resté inactif?
Commentaires
- Le troisième problème peut être résolu sans algèbre . Si la personne travaillait tous les jours, elle aurait gagné 24 $ \ cdot25 = 600 $ cents. Au lieu de cela, la personne a fait 600-320 $ = 280 $ de moins que cela. La différence de salaire entre travailler et ne pas travailler est de 25 $ – (- 15) = 40 $ cents. Par conséquent, la personne était inactive 280 $ / 40 = 7 $ jours.
- @Matthew Daly: Oui, il semble que jai fait la conversion en valeurs numériques en pensant que lalgèbre allait encore être nécessaire. Je ‘ ne sais pas quand (si jamais) je ‘ me retrouverai à y revenir pour ajouter de nouveaux exemples ou du nouveau matériel (que je font souvent avec beaucoup de mes anciennes réponses, mais parmi toutes mes anciennes réponses, cela ne se produit probablement que dans un petit pourcentage dentre elles), mais je ‘ je le remplacerai par un ou plusieurs exemples supplémentaires si je fais. Cependant, pour linstant, je pense que lexemple et votre commentaire fournissent un bon exemple de la façon dont lalgèbre peut parfois être évitée.
Réponse
Résolvez pour une note requise à la fin dun cours. Une question fréquemment posée par les étudiants est la suivante: «De quoi ai-je besoin pour obtenir une note à lexamen final pour obtenir un A dans le cours? ou un peu. Ma réponse est maintenant toujours: « Vous » venez de me poser une question dalgèbre, vous devriez pouvoir la résoudre vous-même. «
Jai mis en place ma formule de notation spécifiquement pour supporter cet exercice: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, où W = total pondéré pour le cours, Q = moyenne du quiz, T = moyenne du test, F = note finale de lexamen. Une note de cours «A» nécessite au moins W = 90, « B » au moins W = 80, etc. Au cours de la dernière semaine, si lélève a une note cible particulière, alors cela dicte W, et Q et T sont connus, donc la seule inconnue est F.
Dans mon cours dalgèbre élémentaire, jy consacre une heure comme son propre exercice vers le milieu du semestre. Dans les cours de niveau supérieur, si un élève pose la question la semaine dernière, je vais laider à le rappeler / à configurer la formule de notation et laissez-les le résoudre eux-mêmes. Parfois, cela devient un « wow! » Assez intense! réaction, comme si c’était la première fois qu’un problème qu’ils avaient personnellement suscité est résolu par algèbre; parfois des téléphones sortent et ils en prennent des photos, etc.
Réponse
Ce type de problème est presque impossible sans algèbre:
Si Jean peint une maison en 3 heures et Jane peint une maison en 2 heures, combien de temps cela prend-il de peindre 5 maisons ensemble?
Commentaires
- Sérieusement, ce problème peut encore être résolu sans algèbre.
- Le moins le multiple commun est la première réponse, car toutes les 6 heures, John peint 2 et Jane 3. Et ensemble, ils peignent 1 maison en 1 h 12 min. Pas dalgèbre.
- Eh bien, jai appris quelque chose ce soir. Je peux maintenant le dire à mes élèves quil ‘ est facile à cause du lcm.
- @JoeTaxpayer Merci pour le ‘ aha ‘ moment; je navais jamais réalisé le moyen facile de le faire jusquà présent.
- @BrianRushton FWIW, autrefois , ie pre Fran ç ois Vi è te , la solution donné par JoeTaxpayer aurait été considéré comme de lalgèbre. Lalgèbre consistait en des procédures pour manipuler les nombres donnés pour produire la réponse. Maintenant, algèbre signifie presque strictement algèbre symbolique.
Réponse
Et voici ma autre réponse, mais sans rapport avec Jai parfois fait (plus ou moins) ce qui suit: jai montré aux lycéens la formule quadratique (cest-à-dire la formule du discriminant et les solutions dune équation quadratique) et leur ai dit quelque chose du genre: « Voici » une formule qui donne une façon de résoudre cette équation. Maintenant, essayez dexpliquer la façon de la résoudre sans algèbre . » Ensuite, jouvre la page Wikipédia avec la formule des solutions pour la quartique et je dis « Et bonne chance avec celle-ci! ». Peut-être que ce n’est pas intéressant (pour eux), mais je trouve convaincant que l’algèbre peut réellement résoudre des problèmes, et non les créer (dans ce cas, le problème de écrire précisément la manière de faire un calcul).
Réponse
« Très bien classe: quobtenez-vous lorsque vous divisez 1 par 0? «
Vous obtiendrez presque inévitablement la réponse: » Infini! «
Mais cest faux, et vous pouvez utiliser lalgèbre pour le montrer: la question elle-même est lalgèbre en Il demande de résoudre pour x: $$ 0 * x = 1 $$
À ce stade, vous pourriez écrire sur le tableau les équations dalgèbre les plus élémentaires: $$ Solve \ quad for \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
« Ceci, classe, est une équation algébrique. Cela peut aussi être écrit comme ceci … « $$ x = b / a $$
» Dans notre problème, alors, b = 1 et a = 0. « $$ 0 * x = 1 $ $
« Maintenant, si je branche x = 1 million, est-ce que cela résoudra léquation? »
Bien sûr que non: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
« Et si je branche x = 1 milliard? »
Toujours « non »: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
« Cest vrai, même si nous ajoutons 1 billion de milliards de zillions +1, le multiplier par 0 nous donne 0, ce qui nest pas égal à 1. »
La bonne réponse dans le contexte purement algébrique, cest que x est indéterminé: il ny a pas de nombre réel qui résoudra cette équation.En fait, la réponse « infini » ne peut survenir que dans le contexte pré-calc / calc des limites:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Mais cest la réponse à « Quelle est la limite de 1 / a quand a va à zéro, » Ce qui nest pas la même question que ce que nous avons demandé à lorigine, à savoir « Quel nombre x obtenons-nous lorsque nous divisons 1 par 0. »
Commentaires
- Downvoté parce que je ‘ ne pense pas que lalgèbre aide vraiment à répondre à cette question. Plus facile. La division est par définition linverse de la multiplication; ce ‘ nest pas lalgèbre qui le fait – au contraire, il faut savoir que la division par zéro est indéfinie avant on sait quand on divise les deux les côtés dune équation sont appropriés.
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