Ser du etter enkle “ interessante ” matematiske problemer som ikke lett kan løses uten algebra
On november 30, 2020 by adminJeg finner ofte studenter som ikke liker algebra. De foretrekker å jobbe med tall for å løse problemer. Jeg tror det er mange problemer som er vanskelig å løse uten algebra. For eksempel:
-
Finne verdien på $ x $ slik at volumet til en boks uten lokk når en maksimal verdi.
-
En tank inneholder 40 liter av en løsning som består av 90% vann og 10% alkohol. En annen løsning som inneholder halvparten vann og halv alkohol tilsettes til tanken med en hastighet på 4 liter per minutt. Samtidig dreneres tanken med en hastighet på 4 liter per minutt, som vist nedenfor. Forutsatt at løsningen omrøres konstant, hvor mye alkohol vil være i tanken etter 10 minutter?
-
Etc osv.
Kan du gi meg andre enkle «interessante og utfordrende» eksempler, slik at jeg kan introdusere dem for studentene mine?
Kommentarer
- Ha! Den første uken jeg var i mattesenteret gikk en student inn med akkurat dette problemet og ante ikke hvordan jeg skulle visualisere det. Jeg rev X » firkanter fra et papirark og brettet det opp. Fyren som hyret meg, kikket inn i rommet og så meg i aksjon. Jeg elsket dette problemet.
- Dette geometriproblemet er ganske komplisert uten algebra.
Svar
Ruteproblemet kan være vanskelig for studenter som ikke er interessert i algebra. Jeg liker å bruke de dumme talloppgavene når jeg underviser i begynnende algebra.
- Velg et tall mellom 1 og 25.
- Legg 9 til det.
- Multipliser resultatet med 3.
- Trekk fra 6.
- Del med 3.
- Trekk ut det opprinnelige nummeret.
Så får du gå rundt og stille si, «Du har 7, ikke sant? «til hver enkelt. Når de først får det til at alle har 7, blir det interessant å finne ut hvorfor.
Jeg fikk ideen om å bruke dette i algebraklasse fra Harold Jacobs « Elementary Algebra .
Kommentarer
- Ja, denne typen » tryllekunst » er en klassiker. Det at » magien » blir gjengitt helt dagligdagse av bare en liten algebra, er ganske overraskende, tror jeg, for mange barn som ‘ Jeg har tidligere vært tilstrekkelig smart til å intuitere ting direkte.
- Dette er et fantastisk eksempel fordi det kan brukes på alle nivåer som gjør addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon og vises enkelt med en variabel som står for » nummeret ditt. »
Svar
Jeg tror Diophantus «gåte er et godt eksempel.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
Svar
Jeg kom nylig over gåten om $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, og dermed spørsmålet hvilke verdier av variablene som gir den bemerkelsesverdige tilfeldigheten $$ \ frac {a} {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ Poenget er at algebra gir en enkel forklaring på et mystifiserende fenomen.
Svar
Her «er en fin måte å kvadratere et tall som slutter på et «5»; la oss ta 75 som et eksempel. Du kutter av «5»; det som gjenstår er 7. Du multipliserer den deretter med etterfølgeren: 7 × 8 = 56. Så skriver du «25» etter «56» og får resultat: 5625.
Vis det til videregående skole, og de vil rope: «Det er magisk!» (testet!). Vis (og forklar) dem dette: $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ og de (forhåpentligvis) får «aha! så algebra er ikke ubrukelig tross alt … «øyeblikk.
Kommentarer
- I ‘ har hatt suksess med disse også. I dette tilfellet løser = forklarer hvorfor det fungerer, og studentene har ofte motivasjonen til å forklare hvorfor det fungerer, eller svar ‘ vil det alltid fungere? ‘ Jeg ‘ har samlet noen få av disse i et Google-regneark: bit.ly/NumberTricks
Svar
Det mest slående eksemplet på dette for meg er en rimelig komplisert første-gradsligning.
Hva er det, sier du? Det er ingen kompliserte førstegradsligninger? De er bare $ ax + b = 0 \ innebærer x = -b / a $? Det er fordi du vet algebra – det er slett ikke åpenbart at de kan settes inn i den standardformen.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
Hvilket tall kan gå i tomt for å gjøre dette sant?
Årsaken til at jeg synes dette er så slående er at hvis du ikke kjenner noen algebra i det hele tatt, ser det ovenstående vanskelig ut, men med algebra, det er så enkelt du kan gjøre det i hodet på under et minutt, med litt øvelse.
Jeg vil gjerne tro at et enkelt «fyll ut det tomme» puslespillet er enkelt og interessant nok til å motivere alle andre enn de mest mattefobiske studentene, så lenge du begynner enkelt.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Enkelt, spesielt når du trener, kan du få svaret uten å gjette ved å gjøre deling og subtraksjon.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Litt vanskeligere, men det tar ikke formell algebraopplæring for å se at du kan få dette med en subtraksjon etterfulgt av en divisjon. Merk at problemet nå blir for vanskelig til å gjøre gjetting så levedyktig. Når du først kommer til noe som det jeg la ut ovenfor, er situasjonen håpløs hvis du ikke vet om distribusjon og balanseringsligninger.
Jeg husker da jeg var omtrent 10, visste jeg omtrent hva «løste for $ x $ «betydde, og jeg ønsket å finne på noe for å stubbe faren min. Jeg trenger noe enkelt nok til at jeg selv kunne løse det. Hvis jeg ikke husker riktig, var min beste innsats etter ca. x + 1 = 2x $, hvis det ikke var enda enklere. Han løste det i hodet på omtrent et halvt sekund, og jeg var forbløffet.
Svar
Her er en flott gåte:
En flaske vin koster € 20. Vinen koster € 19 mer enn den tomme flasken. Hvor mye koster den tomme flasken?
Alle svarer € 1. Men 1 + (19 + 1) = 21. Å sette det i en ligning vil føre til € 0,50-svaret.
Kommentarer
- Seriøst dette problemet kan fortsatt løses uten algebra. 🙂
- @WeirdstressFunction Jeg antar at alle problemer kan løses uten algebra. Har du lest Euclid ‘ s elementer? Han bruker geometri for å løse algebraiske ligninger.
- @BrianRushton: Prøv å løse boksproblemet i spørsmålet mitt uten algebra. 🙂
- @WeirdstressFunction sjansene er gode for at problemet kan løses uten algebra i stedet for å bruke geometri. Det ‘ er ikke så lett, men jeg er sikker på at det kan gjøres. Merk: Jeg skal ikke løse det problemet med geometri. Jeg er ikke en gammel gresk, og algebra har blitt standarden av en grunn.
Svar
Du kan finne mange slike problemer (fritt tilgjengelig på internett) blant aritmetiske problemer i de tidlige utgavene av American Mathematical Monthly og algebra-lærebøker på 1800-tallet. Nedenfor er tre slike eksempler.
Løsning til aritmetisk problem nr. 116 , Amerikansk matematisk månedlig 6 # 10 (oktober 1899), 238-239. [Problemet vises også på s. 120 av Advanced Algebra av Joseph Victor Collins (1918 ).]
Problemstilling: To lys er av samme lengde. Den ene forbrukes jevnt i $ 4 $ timer, og den andre på $ 5 $ timer. Hvis lysene tennes samtidig, når vil det ene være tre ganger så langt som det andre?
Joseph Ray, Elements of Algebra , 1865.
Oppgave 24 på side 117 En tank leveres med vann fra tre pumper. Det første og andre vil fylle det i $ 30 $ timer, det første og tredje i $ 40 $ timer, og det andre og tredje i $ 50 $ timer. På hvilken tid kan hver fylle den hver for seg?
Horatio Nelson Robinson, Elementær avhandling om algebra , 1846.
Oppgave 24 på s. 64 (variabler endret til numeriske verdier av meg): En person som var engasjert i å jobbe $ 24 $ dager på disse forholdene: For hver dag han jobbet, skulle han motta $ 25 $ cent, for hver dagen han var inaktiv, skulle han miste $ 15 dollar. På slutten av $ 24 $ dager mottok han $ 320 $ cent. Hvor mange dager var han inaktiv?
Kommentarer
- Det tredje problemet kan løses uten algebra . Hvis personen jobbet hver dag, ville de tjent $ 24 \ cdot25 = 600 $ cent. I stedet tjente personen $ 600-320 = 280 $ færre cent enn det. Forskjellen i lønn mellom å jobbe og ikke jobbe er $ 25 – (- 15) = 40 $ cent. Derfor var personen inaktiv $ 280/40 = 7 $ dager.
- @Matthew Daly: Jepp, det ser ut til at jeg gjorde konvertering til numeriske verdier og trodde at algebra fremdeles skulle være nødvendig. Jeg ‘ er ikke sikker på når (hvis noen gang) Jeg ‘ Jeg kommer tilbake til dette for å legge til nye eksempler eller nytt materiale (som jeg gjør ofte med mange av mine gamle svar, men blant alle mine gamle svar forekommer dette sannsynligvis bare i en liten prosentandel av dem), men jeg ‘ Jeg erstatter det med ett eller flere ekstra eksempler hvis jeg gjør. Men foreløpig tror jeg eksemplet og kommentaren din er et godt eksempel på hvordan algebra noen ganger kan unngås.
Svar
Løs for en obligatorisk karakter på slutten av et kurs. Et vanlig spørsmål mange av oss får fra studenter er: «Hva trenger jeg for å score på avsluttende eksamen for å få A i løpet av kurset?» eller noe. Svaret mitt er nå alltid: «Du har nettopp spurt meg om et algebraspørsmål, du burde være i stand til å løse det selv.»
Jeg satte opp vurderingsformelen min spesielt for å støtte denne øvelsen: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, hvor W = vektet total for kurset, Q = quizgjennomsnitt, T = testgjennomsnitt, F = sluttprøvepoeng. Et kurs «A» -karakter krever minst W = 90, «B» minst W = 80 osv. I løpet av den siste uken, hvis studenten har en bestemt målkarakter, er det som dikterer W, og Q og T er kjent, så den eneste ukjente er F.
I min elementære algebraklasse bruker jeg en time på dette som sin egen øvelse rundt midten av semesteret. På høyere nivåer, hvis en student stiller spørsmålet i løpet av den siste uken, vil jeg hjelpe med å minne / sette opp karakterformelen, og la dem løse det selv. Noen ganger blir dette et ganske intenst «wow!» reaksjon, som om det er første gang et problem de personlig startet blir løst av algebra. Noen ganger kommer telefoner ut og de tar bilder av det osv.
Svar
Denne typen problemer er nesten umulig uten algebra:
Hvis John maler et hus på 3 timer og Jane maler et hus på 2 timer, hvor lang tid tar det dem til å male 5 hus sammen?
Kommentarer
- Seriøst, dette problemet kan fremdeles løses uten algebra.
- Det minste vanlig multiplum er det første svaret, som hver sjette time, John maler 2 og Jane 3. Og sammen maler de ett hus på 1 time og 12 minutter. Ingen algebra.
- Vel, jeg lærte noe i kveld. Nå kan jeg fortelle elevene mine at det ‘ er enkelt på grunn av lcm.
- @JoeTaxpayer Takk for ‘ aha ‘ øyeblikk; jeg skjønte aldri den enkle måten å gjøre det til nå.
- @BrianRushton FWIW, i gamle dager , dvs. pre Fran ç ois Vi è te , løsningen gitt av JoeTaxpayer ville blitt ansett som algebra. Algebra besto av prosedyrer for å manipulere de gitte tallene for å produsere svaret. Nå betyr algebra nesten strengt symbolsk algebra.
Svar
Og her er mitt andre, men ikke-relaterte svar Jeg gjorde noen ganger (mer eller mindre) følgende: Jeg viste videregående skoler kvadratformelen (dvs. formelen for diskriminerende og løsninger for en kvadratisk ligning) og fortalte dem noe i retning av: «Her» en formel som gir en måte å løse denne ligningen på. Prøv nå å forklare måten å løse den uten algebra . » Deretter åpner jeg Wikipedia-siden med formelen for løsningene for kvartikk og sier «Og lykke til med denne!». Kanskje det ikke er interessant (for dem), men jeg synes det er overbevisende at algebra faktisk kan løse problemer, ikke lage dem (i dette tilfellet problemet med kortfattet og nøyaktig å skrive ned måten å gjøre noen beregninger på.).
Svar
«OK klasse: hva får du når du deler 1 av 0? «
Nesten uunngåelig vil du få svaret:» Uendelig! «
Men dette er feil, og du kan bruke algebra for å vise det: Selve spørsmålet er algebra i forkledning. Det blir bedt om å løse for x: $$ 0 * x = 1 $$
På dette tidspunktet kan du skrive på tavlen de mest grunnleggende av algebra ligninger: $$ Løs \ quad for \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
«Dette, klasse, er en algebra ligning. Det kan også skrives slik … «$$ x = b / a $$
» I vårt problem er b = 1 og a = 0. «$$ 0 * x = 1 $ $
«Hvis jeg nå kobler til x = 1 million, vil dette løse ligningen?»
Selvfølgelig ikke: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
«Hva om jeg plugger inn x = 1 milliard?»
Fortsatt «nei»: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
«Det er riktig, selv om vi plugger inn 1 billion milliarder zillion +1, multipliserer det med 0 gir oss 0, som ikke er lik 1.»
Det riktige svaret i den rent algebraiske konteksten er at x er ubestemt: det er ikke noe reelt tall som vil løse denne ligningen.Svaret «uendelig» kan faktisk bare oppstå i pre-calc / calc-sammenheng av grenser:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Men dette er svaret på «Hva er grensen på 1 / a når a går til null,» Som ikke er det samme spørsmålet som det vi opprinnelig spurte, som er «Hvilket tall x får vi når vi deler 1 med 0. »
Kommentarer
- Nedstemt fordi jeg ikke ‘ ikke tror at algebra virkelig hjelper med å løse dette spørsmålet lettere. Divisjon er per definisjon det motsatte av å multiplisere; det ‘ er ikke algebraen som gjør det slik – tvert imot, man trenger å vite at divisjon med null er udefinert før man vet når man deler begge deler sidene av en ligning er passende.
Legg igjen en kommentar