På udkig efter enkle “ interessante ” matematiske problemer, der ikke let kan løses uden algebra
On november 30, 2020 by adminJeg finder ofte studerende, der ikke kan lide algebra. De foretrækker at arbejde med tal for at løse problemer. Jeg tror, der er mange problemer, der er svære at løse uden algebra. For eksempel:
-
At finde værdien på $ x $ således, at lydstyrken på en kasse uden låg når en maksimal værdi.
-
En tank indeholder 40 gallon af en opløsning bestående af 90% vand og 10% alkohol. En anden opløsning indeholdende halvt vand og halvt alkohol tilsættes til tanken med en hastighed på 4 gallon pr. Minut. Samtidig drænes tanken med en hastighed på 4 liter pr. Minut som vist nedenfor. Forudsat at opløsningen omrøres konstant, hvor meget alkohol vil der være i tanken efter 10 minutter?
-
Etc osv.
Kan du give mig andre enkle “interessante og udfordrende” eksempler, så jeg kan introducere dem til mine elever?
Kommentarer
- Ha! Den første uge, hvor jeg var i matematikcentret, gik en studerende ind med netop dette problem og havde ingen idé om, hvordan man visualiserede det. Jeg rev X ” firkanter fra et ark papir og foldede det op. Fyren, den hyrede mig, kiggede ind i lokalet og så mig i aktion. Jeg elskede dette problem.
- Dette geometriproblem er ret kompliceret uden algebra.
Svar
Ruteproblemet kan være svært for studerende, der ikke er interesseret i algebra. Jeg kan godt lide at bruge de fjollede antal gåder, når jeg underviser i begyndende algebra.
- Vælg et tal mellem 1 og 25.
- Føj 9 til det.
- Multiplicer resultatet med 3.
- Træk 6.
- Del med 3.
- Træk dit oprindelige nummer.
Så kommer du rundt og stille siger: “Du har 7, ikke? “til hver enkelt. Når de først får det til at alle har 7, bliver det interessant at finde ud af hvorfor.
Jeg fik ideen om at bruge dette i algebraklasse fra Harold Jacobs “ Elementær algebra .
Kommentarer
- Ja, denne slags ” magisk trick ” er en klassiker. Det faktum, at ” magi ” gengives helt almindeligt af bare en lille algebra er ganske overraskende, tror jeg, for mange børn, der ‘ d har tidligere været tilstrækkeligt kloge til at intuitere ting direkte.
- Dette er et fantastisk eksempel, fordi det kan bruges på ethvert niveau, der gør addition, subtraktion, multiplikation og division og vises let med en variabel, der står til ” dit nummer. ”
Svar
Jeg tror Diophantus “gåde er et godt eksempel.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
Svar
Jeg stødte for nylig på den gåde, at $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, og dermed spørgsmålet, hvilke værdier af variablerne der giver den bemærkelsesværdige sammenfald $$ \ frac {a} {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ Pointen er at algebra giver en simpel forklaring på et mystificerende fænomen.
Svar
Her “er en god måde at kvadratere et tal, der slutter med et “5”; lad os tage 75 som et eksempel. Du afskærer “5”; hvad der er tilbage er 7. Du multiplicerer det derefter med sin efterfølger: 7 × 8 = 56. Derefter skriver du “25” efter “56” og får resultat: 5625.
Vis det for gymnasieelever, og de råber: “Det er magisk!” (testet!). Vis dem nu (og forklar dem) dette: $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ og de (forhåbentlig) får “aha! så algebra er ikke ubrugelig trods alt … “øjeblik.
Kommentarer
- I ‘ Jeg har også haft succes med disse. I dette tilfælde skal du løse = forklare, hvorfor det fungerer, og eleverne ofte har motivationen til at forklare, hvorfor det fungerer, eller svar ‘ vil det altid fungere? ‘ Jeg ‘ har samlet et par af disse i et Google-regneark: bit.ly/NumberTricks
Svar
Det mest slående eksempel på dette for mig er en rimelig kompliceret første-gradsligning.
Hvad er det, siger du? Der er ingen komplicerede førstegradsligninger? De er alle bare $ ax + b = 0 \ indebærer x = -b / a $? Det skyldes, at du kender algebra – det er slet ikke indlysende, de kan sættes i den standardform.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
Hvilket antal kan der gå i tomrummet for at gøre dette sandt?
Årsagen til, at jeg finder det så slående, er, at hvis du slet ikke kender nogen algebra, ser ovenstående vanskeligt vanskeligt ud, men med algebra er det så let du kan gøre det i dit hoved på under et minut med lidt øvelse.
Jeg vil gerne tro, at et simpelt “udfyld det tomme” puslespil er simpelt og interessant nok til at motivere alle undtagen de mest matematiske fobiske studerende, så længe du starter simpelt.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Let, især når du træner, kan du få svaret uden at gætte ved at udføre division og subtraktion.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Lidt vanskeligere, men det tager ikke formel algebra-træning for at se, at du kan få dette med en subtraktion efterfulgt af en division. Bemærk, at problemet nu bliver for svært til at gætte så levedygtigt. Når du først kommer til noget som det, jeg har skrevet ovenfor, er situationen håbløs, hvis du ikke ved noget om distribution og afbalancering af ligninger.
Jeg husker, da jeg var omkring 10, vidste jeg omtrent hvad “løser for $ x $ “betød, og jeg ville komme med noget til at stumpe min far. Jeg har brug for noget simpelt nok til, at jeg selv kunne løse det. Hvis jeg husker rigtigt, var min bedste indsats efter ca. 15 minutters hjernebrydning noget som $ x + 1 = 2x $, hvis det ikke var endnu enklere. Han løste det i hovedet på cirka et halvt sekund, og jeg var bedøvet.
Svar
Her er en stor gåde:
En flaske vin koster € 20. Vinen koster € 19 mere end den tomme flaske. Hvor meget koster den tomme flaske?
Alle svarer € 1. Men 1 + (19 + 1) = 21. At sætte det i en ligning vil føre til svaret på € 0,50.
Kommentarer
- Alvorligt dette problem kan stadig løses uden algebra. 🙂
- @WeirdstressFunction Jeg antager, at alle problemer kan løses uden algebra. Har du læst Euclid ‘ s elementer? Han bruger geometri til at løse algebraiske ligninger.
- @BrianRushton: Prøv at løse boksproblemet i mit spørgsmål uden algebra. 🙂
- @WeirdstressFunction chancerne er gode for, at problemet kan løses uden algebra i stedet for ved hjælp af geometri. Det ‘ er ikke så let, men jeg er sikker på, at det kan gøres. Bemærk: Jeg vil ikke løse dette problem med geometri. Jeg er ikke gammelgræsk, og algebra er blevet en standard af en grund.
Svar
Du kan finde mange sådanne problemer (frit tilgængelige på internettet) blandt aritmetiske problemer i de tidlige udgaver af American Mathematical Monthly og algebra-lærebøger i 1800-tallet. Nedenfor er tre sådanne eksempler.
Løsning til aritmetisk problem nr. 116 , Amerikansk matematisk månedlig 6 # 10 (oktober 1899), 238-239. [Problemet vises også på s. 120 af Avanceret algebra af Joseph Victor Collins (1918 ).]
Problemangivelse: To stearinlys er af samme længde. Den ene forbruges ensartet i $ 4 $ timer, og den anden i $ 5 $ timer. Hvis lysene tændes på samme tid, hvornår vil det ene være tre gange så langt som det andet?
Joseph Ray, Elementer af algebra , 1865.
Opgave 24 på side 117 En tank leveres med vand fra tre pumper. Den første og anden udfylder den i $ 30 $ timer, den første og tredje i $ 40 $ timer, og den anden og tredje i $ 50 $ timer. På hvilket tidspunkt kan hver udfylde det separat?
Horatio Nelson Robinson, Elementær afhandling om algebra , 1846.
Opgave 24 på s. 64 (variabler ændret til numeriske værdier af mig): En person, der var engageret i at arbejde $ 24 $ dage på disse betingelser: For hver dag han arbejdede, skulle han modtage $ 25 $ cent for hver dag han var inaktiv, skulle han miste $ 15 $ cent. I slutningen af $ 24 $ dage modtog han $ 320 $ cent. Hvor mange dage var han inaktiv?
Kommentarer
- Det tredje problem kan løses uden algebra . Hvis personen arbejdede hver dag, ville de have tjent $ 24 \ cdot25 = 600 $ cent. I stedet tjente personen $ 600-320 = 280 $ færre cent end det. Forskellen i løn mellem at arbejde og ikke arbejde er $ 25 – (- 15) = 40 $ cent. Derfor var personen inaktiv $ 280/40 = 7 $ dage.
- @Matthew Daly: Ja, det ser ud til, at jeg lavede konverteringen til numeriske værdier, da jeg troede, at algebra stadig skulle være nødvendig. Jeg ‘ er ikke sikker på, hvornår (hvis nogensinde) Jeg ‘ Jeg vil vende tilbage til dette for at tilføje nye eksempler eller nyt materiale (som jeg gør ofte med mange af mine gamle svar, men blandt alle mine gamle svar forekommer dette sandsynligvis kun i en lille procentdel af dem), men jeg ‘ erstatter det med et eller flere yderligere eksempler hvis jeg gør det. Men for nu tror jeg eksemplet og din kommentar giver et godt eksempel på, hvordan algebra undertiden kan undgås.
Svar
Løs den krævede karakter i slutningen af et kursus. Et almindeligt spørgsmål, som mange af os får fra studerende, er: “Hvad skal jeg score på den afsluttende eksamen for at få en A i løbet?” eller sådan. Mit svar er nu altid: “Du har lige spurgt mig et algebra-spørgsmål, du skal være i stand til at løse det selv.”
Jeg oprettede min vurderingsformel specifikt til at understøtte denne øvelse: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, hvor W = vægtet total for kurset, Q = quizgennemsnit, T = testgennemsnit, F = endelig eksamensscore. Et kursus “A” -karakter kræver mindst W = 90, “B” mindst W = 80 osv. Hvis den studerende har en bestemt målkarakter i den sidste uge, så dikterer W, og Q og T er kendt, så den eneste ukendte er F.
I min elementære algebra-klasse bruger jeg en time på dette som sin egen øvelse omkring midten af semestret. Hvis kurser på højere niveau, hvis en studerende stiller spørgsmålet i den sidste uge, vil jeg hjælpe med at minde / oprette klassificeringsformlen, og lad dem selv løse den. Nogle gange får dette et ret intenst “wow!” reaktion, som om det er første gang, når et problem, de personligt påbegyndte, løses af algebra; nogle gange kommer telefoner ud, og de tager billeder af det osv.
Svar
Denne type problemer er næsten umulig uden algebra:
Hvis John maler et hus på 3 timer og Jane maler et hus på 2 timer, hvor lang tid tager det dem til at male 5 huse sammen?
Kommentarer
- Seriøst, dette problem kan stadig løses uden algebra.
- Det mindste fælles multiplum er det første svar, da hver 6. time maler John 2 og Jane 3. Og sammen maler de 1 hus på 1 time og 12 minutter. Ingen algebra.
- Nå, jeg lærte noget i aften. Nu kan jeg fortælle det til mine elever. at det ‘ er let på grund af lcm.
- @JoeTaxpayer Tak for ‘ aha ‘ øjeblik; jeg har aldrig indset den nemme måde at gøre det på indtil nu.
- @BrianRushton FWIW, i gamle dage , dvs. pre Fran ç ois Vi è te , løsningen givet af JoeTaxpayer ville have været betragtet som algebra. Algebra bestod af procedurer til manipulation af de givne tal for at producere svaret. Nu betyder algebra næsten strengt symbolsk algebra.
Svar
Og her er mit andet, men ikke-relaterede svar Jeg gjorde nogle gange (mere eller mindre) følgende: Jeg viste gymnasieelever den kvadratiske formel (dvs. formlen for diskriminerende og løsninger til en kvadratisk ligning) og fortalte dem noget i retning af: “Her” en formel, der giver en måde at løse denne ligning på. Prøv nu at forklare måde for at løse den uden algebra . ” Derefter åbner jeg Wikipedia-siden med formlen til løsningerne til kvartik og siger “Og held og lykke med denne!”. Måske er det ikke interessant (for dem), men jeg finder det overbevisende, at algebra faktisk kan løse problemer, ikke skabe dem (i dette tilfælde problemet med kortfattet og nøjagtigt nedskrive måden, hvorpå man kan beregne noget).
Svar
“Okay klasse: hvad får du, når du deler 1 af 0? “
Næsten uundgåeligt får du svaret:” Infinity! “
Men dette er forkert, og du kan bruge algebra til at vise det: Selve spørgsmålet er algebra i forklædning. Det beder om at løse for x: $$ 0 * x = 1 $$
På dette tidspunkt kan du skrive den mest basale af algebra ligninger på tavlen: $$ Løs \ quad for \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
“Denne klasse er en algebraligning. Det kan også skrives således … “$$ x = b / a $$
” I vores problem er b = 1 og a = 0. “$$ 0 * x = 1 $ $
“Hvis jeg nu tilslutter x = 1 million, løser dette ligningen?”
Selvfølgelig ikke: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
“Hvad med, hvis jeg tilslutter x = 1 milliard?”
Stadig “nej”: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
“Det er rigtigt, selvom vi tilslutter 1 billion milliarder zillion +1, multiplicerer det med 0 os 0, hvilket ikke er lig med 1.”
Det rigtige svar i den rent algebraiske sammenhæng er, at x er ubestemt: der er ikke noget reelt tal, der løser denne ligning.Faktisk kan svaret “uendeligt” kun opstå i præ-calc / calc-sammenhæng med grænser:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Men dette er svaret på “Hvad er grænsen for 1 / a som a går til nul”, hvilket ikke er det samme spørgsmål som det vi oprindeligt stillede, hvilket er “Hvilket antal x får vi, når vi deler 1 med 0. ”
Kommentarer
- Nedstemt, fordi jeg ikke ‘ tror ikke, at algebra virkelig hjælper med at løse dette spørgsmål lettere. Division er pr. Definition det omvendte ved at multiplicere; det ‘ er ikke algebraen, der gør det sådan – tværtimod skal man vide, at division med nul er udefineret før man ved, når man deler begge sider af en ligning er passende.
Skriv et svar