Auf der Suche nach einfachen “ interessanten ” mathematischen Problemen, die ohne die Frage der Algebra
On November 30, 2020 by adminIch finde oft Schüler, die Algebra nicht mögen. Sie arbeiten lieber mit Zahlen, um Probleme zu lösen. Ich glaube, es gibt viele Probleme, die ohne Algebra schwer zu lösen sind. Beispiel:
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Ermitteln des Werts von $ x $, sodass das Volumen einer Box ohne Deckel einen Maximalwert erreicht.
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Ein Tank enthält 40 Gallonen einer Lösung, die aus 90% Wasser und 10% Alkohol besteht. Eine zweite Lösung, die halb Wasser und halb Alkohol enthält, wird mit einer Geschwindigkeit von 4 Gallonen pro Minute in den Tank gegeben. Gleichzeitig wird der Tank mit einer Geschwindigkeit von 4 Gallonen pro Minute entleert, wie unten gezeigt. Unter der Annahme, dass die Lösung ständig gerührt wird, wie viel Alkohol befindet sich nach 10 Minuten im Tank?
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usw. usw.
Können Sie mir andere einfache „interessante und herausfordernde“ Beispiele geben, damit ich sie meinen Schülern vorstellen kann?
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- Ha! In der ersten Woche, als ich im Mathematikzentrum war, kam ein Schüler mit genau diesem Problem herein und hatte keine Ahnung, wie er es visualisieren sollte. Ich riss X “ Quadrate von einem Blatt Papier und faltete es zusammen. Der Typ, der mich angeheuert hatte, spähte in den Raum und sah mich in Aktion. Ich habe dieses Problem geliebt.
- Dieses Geometrieproblem ist ohne Algebra ziemlich kompliziert.
Antwort
Das Box-Problem kann für Schüler, die sich nicht mit Algebra beschäftigen, schwierig sein. Ich verwende gerne die albernen Zahlenrätsel, wenn ich Algebra unterrichte.
- Wählen Sie eine Zahl zwischen 1 und 25.
- Addieren Sie 9 dazu.
- Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 3.
- Subtrahieren Sie 6.
- Teilen Sie durch 3.
- Subtrahieren Sie Ihre ursprüngliche Zahl.
Dann können Sie herumgehen und leise sagen: „Sie haben 7, richtig? „für jeden. Sobald sie wissen, dass jeder 7 hat, wird es interessant herauszufinden, warum.
Ich hatte die Idee, dies in der Algebra-Klasse von Harold Jacobs „ Elementare Algebra .
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- Ja, diese Art von “ Zaubertrick “ ist ein Klassiker. Die Tatsache, dass die “ Magie “ durch nur ein wenig Algebra völlig banal wird, ist für viele Kinder, die ‚ war zuvor ausreichend clever, um Dinge direkt zu verstehen.
- Dies ist ein fantastisches Beispiel, da es auf jeder Ebene verwendet werden kann, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division und wird leicht mit einer Variablen angezeigt, die für “ Ihre Nummer steht. “
Antwort
Ich glaube, Diophantus „-Rätsel ist ein gutes Beispiel.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
Antwort
Ich bin kürzlich auf das Rätsel gestoßen, dass $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $ und damit die Frage, welche Werte der Variablen den bemerkenswerten Zufall $$ \ frac {a} ergeben {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ Der Punkt ist Diese Algebra gibt eine einfache Erklärung für ein mystifizierendes Phänomen.
Antwort
Hier ist eine gute Möglichkeit, eine Zahl zu quadrieren, die mit a endet „5“; Nehmen wir als Beispiel 75. Sie schneiden die „5“ ab; was bleibt, ist 7. Sie multiplizieren sie dann mit ihrem Nachfolger: 7 × 8 = 56. Dann schreiben Sie „25“ nach der „56“ und erhalten die Ergebnis: 5625.
Zeigen Sie es Highschoolern, und sie werden schreien: „Es ist Magie!“ (getestet!). Zeigen Sie ihnen nun Folgendes (und erklären Sie es): $$ (10a +) 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ und sie bekommen (hoffentlich) das „Aha! Algebra ist also „doch nicht nutzlos …“ Moment.
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- I ‚ Ich hatte auch damit Erfolg. In diesem Fall lösen = erklären, warum es funktioniert, und die Schüler haben oft die Motivation zu erklären, warum es funktioniert, oder ‚ wird es immer funktionieren? ‚ Ich ‚ habe einige davon in einer Google-Tabelle gesammelt: bit.ly/NumberTricks
Antwort
Das auffälligste Beispiel dafür ist für mich eine einigermaßen komplizierte Gleichung ersten Grades.
Was ist das, sagst du? Es gibt keine komplizierten Gleichungen ersten Grades? Sie sind alle nur $ ax + b = 0 \ impliziert x = -b / a $? Das liegt daran, dass Sie Algebra kennen – es ist überhaupt nicht offensichtlich, dass sie in diese Standardform gebracht werden können.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
Welche Zahl kann in die Leerzeichen eingegeben werden, um dies zu bestätigen?
Der Grund, warum ich das so auffällig finde, ist, dass, wenn Sie überhaupt keine Algebra kennen, das oben Genannte unlösbar schwierig aussieht, aber mit Algebra ist es so einfach Sie können es in weniger als einer Minute mit ein wenig Übung in Ihrem Kopf erledigen.
Ich würde gerne denken, dass ein einfaches Puzzle zum Ausfüllen der Lücke einfach und interessant genug ist, um alle außer zu motivieren die mathematisch-phobischsten Schüler, solange Sie einfach anfangen.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Einfach, besonders wenn Sie erst einmal trainiert haben, können Sie die Antwort erhalten, ohne zu raten, indem Sie dividieren und subtrahieren.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Etwas kniffliger, aber es ist kein formales Algebra-Training erforderlich, um zu sehen, dass Sie dies mit einer Subtraktion gefolgt von einer Division erreichen können. Beachten Sie, dass das Problem jetzt zu schwierig wird, um das Erraten als realisierbar zu betrachten. Wenn Sie dann zu so etwas wie dem oben Gesagten kommen, ist die Situation hoffnungslos, wenn Sie nichts über Verteilungs- und Ausgleichsgleichungen wissen.
Ich erinnere mich, als ich ungefähr 10 Jahre alt war, wusste ich ungefähr, was zu lösen ist für $ x $ „bedeutete, und ich wollte mir etwas einfallen lassen, um meinen Vater zu überraschen. Ich brauche etwas, das so einfach ist, dass ich es selbst lösen kann. Wenn ich mich richtig erinnere, war meine beste Anstrengung nach ungefähr 15 Minuten Brainwracking so etwas wie $ x + 1 = 2x $, wenn es nicht noch einfacher wäre. Er löste es in seinem Kopf in ungefähr einer halben Sekunde und ich war fassungslos.
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Hier ist ein großes Rätsel:
Eine Flasche Wein kostet 20 €. Der Wein kostet 19 € mehr als die leere Flasche. Wie viel kostet die leere Flasche?
Jeder antwortet 1 €. Aber 1 + (19 + 1) = 21. Wenn Sie es in eine Gleichung einfügen, erhalten Sie eine Antwort von 0,50 €.
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- Ernsthaft dieses Problem kann immer noch ohne Algebra gelöst werden. 🙂
- @WeirdstressFunction Ich gehe davon aus, dass alle Probleme ohne Algebra gelöst werden können. Haben Sie die Elemente von Euclid ‚ gelesen? Er verwendet Geometrie, um algebraische Gleichungen zu lösen.
- @BrianRushton: Versuchen Sie, das Box-Problem in meiner Frage ohne Algebra zu lösen. 🙂
- @WeirdstressFunction Die Chancen stehen gut, dass das Problem ohne Algebra gelöst werden kann, anstatt Geometrie zu verwenden. ‚ ist bei weitem nicht so einfach, aber ich bin sicher, dass dies möglich ist. Hinweis: Ich werde dieses Problem mit der Geometrie nicht lösen. Ich bin kein Altgriechisch und Algebra ist aus einem bestimmten Grund zum Standard geworden.
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Viele dieser Probleme (im Internet frei verfügbar) finden Sie unter den arithmetischen Problemen in den frühen Ausgaben des American Mathematical Monthly und in Algebra-Lehrbüchern des 19. Jahrhunderts. Im Folgenden finden Sie drei solcher Beispiele.
Lösung des arithmetischen Problems Nr. 116 , American Mathematical Monthly 6 # 10 (Oktober 1899), 238-239. [Das Problem erscheint auch auf S. 120 von Erweiterte Algebra von Joseph Victor Collins (1918) ).]
Problemstellung: Zwei Kerzen sind gleich lang. Der eine wird gleichmäßig in 4 $ Stunden und der andere in 5 $ Stunden verbraucht. Wenn die Kerzen gleichzeitig angezündet werden, wann ist eine dreimal so lang wie die andere?
Joseph Ray, Elemente der Algebra , 1865.
Problem 24 auf Seite 117 Ein Tank wird mit Wasser von drei Pumpen versorgt. Der erste und der zweite füllen ihn in 30 $ Stunden, der erste und dritte in 40 $ Stunden und der zweite und dritte in 50 $ Stunden. In welcher Zeit kann jeder es separat füllen?
Horatio Nelson Robinson, Elementare Abhandlung über Algebra , 1846.
Problem 24 auf S. 22. 64 (Variablen von mir in numerische Werte geändert): Eine Person, die 24 $ Tage unter folgenden Bedingungen arbeiten musste: Für jeden Tag, an dem sie arbeitete, erhielt sie 25 $ Cent pro Tag Tag, an dem er untätig war, sollte er 15 Cent verlieren. Am Ende von 24 $ Tagen erhielt er 320 $ Cent. Wie viele Tage war er untätig?
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- Das dritte Problem kann ohne Algebra gelöst werden . Wenn die Person jeden Tag gearbeitet hätte, hätte sie 24 Dollar verdient = 25 Cent. Stattdessen verdiente die Person 600-320 $ = 280 $ weniger Cent als das. Der Lohnunterschied zwischen Arbeiten und Nicht-Arbeiten beträgt 25 – (- 15) = 40 Cent. Daher war die Person $ 280/40 = 7 $ Tage untätig.
- @Matthew Daly: Ja, es sieht so aus, als hätte ich die Umrechnung in numerische Werte vorgenommen, weil ich dachte, Algebra würde noch benötigt. Ich ‚ bin mir nicht sicher, wann (wenn überhaupt) ich ‚ darauf zurückkommen werde, um neue Beispiele oder neues Material hinzuzufügen (das ich mache oft mit vielen meiner alten Antworten, aber unter all meinen alten Antworten tritt dies wahrscheinlich nur in einem kleinen Prozentsatz von ihnen auf), aber ich ‚ werde es durch ein oder mehrere zusätzliche Beispiele ersetzen wenn ich mache. Im Moment denke ich jedoch, dass das Beispiel und Ihr Kommentar ein gutes Beispiel dafür sind, wie Algebra manchmal vermieden werden kann.
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Lösen Sie am Ende eines Kurses nach einer erforderlichen Note. Eine häufig gestellte Frage, die viele von uns von Studenten erhalten, lautet: „Was muss ich bei der Abschlussprüfung erreichen, um ein A im Kurs zu erhalten?“ oder so. Meine Antwort lautet jetzt immer: „Sie haben mir gerade eine Algebra-Frage gestellt, das sollten Sie selbst lösen können.“
Ich habe meine Bewertungsformel speziell für diese Übung eingerichtet: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, wobei W = gewichtete Summe für den Kurs, Q = Quizdurchschnitt, T = Testdurchschnitt, F = Prüfungsnote. Eine Note „A“ des Kurses erfordert mindestens W. = 90, „B“ mindestens W = 80 usw. Wenn der Schüler in der letzten Woche eine bestimmte Zielnote hat, die W vorschreibt, und Q und T bekannt sind, ist das einzige Unbekannte F.
In meiner Grundschulklasse für Algebra verbringe ich gegen Mitte des Semesters eine Stunde damit als eigene Übung. Wenn ein Schüler in höheren Kursen in der letzten Woche die Frage stellt, helfe ich beim Erinnern / Einrichten die Bewertungsformel, und lassen Sie sie es selbst lösen. Manchmal bekommt dies ein ziemlich intensives „Wow!“ Reaktion, als wäre es das erste Mal, dass ein von ihnen persönlich angestiftetes Problem durch Algebra gelöst wird. Manchmal kommen Telefone heraus und sie machen Fotos davon usw.
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Diese Art von Problem ist ohne Algebra fast unmöglich:
Wenn John in 3 Stunden ein Haus malt und Jane in 2 Stunden ein Haus malt, wie lange dauert es? sie 5 Häuser zusammen zu malen?
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- Im Ernst, dieses Problem kann immer noch ohne Algebra gelöst werden.
- Am wenigsten Ein gemeinsames Vielfaches ist die erste Antwort, da John alle 6 Stunden 2 und Jane 3 malt. Und zusammen malen sie 1 Haus in 1 Stunde und 12 Minuten. Keine Algebra.
- Nun, ich habe heute Abend etwas gelernt. Jetzt kann ich es meinen Schülern erzählen dass es ‚ aufgrund des lcm einfach ist.
- @JoeTaxpayer Vielen Dank für die ‚ aha ‚ Moment; Ich habe bis jetzt nie realisiert, wie einfach das geht.
- @BrianRushton FWIW, früher Das heißt, vor Fran ç ist Vi è te die Lösung von JoeTaxpayer gegeben wäre als Algebra betrachtet worden. Die Algebra bestand aus Verfahren zum Manipulieren der angegebenen Zahlen, um die Antwort zu erhalten. Algebra bedeutet fast ausschließlich symbolische Algebra.
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Und hier ist meine andere, aber nicht verwandte Antwort Manchmal habe ich (mehr oder weniger) Folgendes getan: Ich habe Highschoolern die quadratische Formel (dh die Formel für die Diskriminante und Lösungen für eine quadratische Gleichung) gezeigt und ihnen etwas in der Art gesagt: „Hier“ ist eine Formel, die gibt ein Weg, um diese Gleichung zu lösen. Versuchen Sie nun, den Weg zu erklären, um sie ohne Algebra zu lösen. “ Dann öffne ich die Wikipedia-Seite mit der Formel für die Lösungen für das Quartic und sage „Und viel Glück mit diesem!“. Vielleicht ist es nicht interessant (für sie), aber ich finde es überzeugend, dass Algebra tatsächlich Probleme lösen kann, nicht sie erschaffen kann (in diesem Fall das Problem der Prägnanz und
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„Okay Klasse: Was bekommen Sie, wenn Sie 1 teilen? um 0? „
Fast zwangsläufig erhalten Sie die Antwort:“ Unendlichkeit! „
Aber das ist falsch, und Sie können Algebra verwenden, um es zu zeigen: Die Frage selbst ist Algebra in Verkleidung. Es wird darum gebeten, nach x zu lösen: $$ 0 * x = 1 $$
An dieser Stelle könnten Sie die grundlegendsten Algebra-Gleichungen an die Tafel schreiben: $$ Löse \ quad für \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
„Dies, Klasse, ist eine Algebra-Gleichung. Es kann auch so geschrieben werden … „$$ x = b / a $$
“ In unserem Problem ist dann b = 1 und a = 0. „$$ 0 * x = 1 $ $
„Wenn ich nun x = 1 Million einstecke, löst dies die Gleichung?“
Natürlich nicht: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
„Wie wäre es, wenn ich x = 1 Milliarde einstecke?“
Immer noch „nein“: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
„Das ist richtig, selbst wenn wir 1 Billion Milliarden Zillion +1 einstecken, ergibt das Multiplizieren mit 0 0, was nicht gleich 1 ist.“
Die richtige Antwort im rein algebraischen Kontext ist x unbestimmt: Es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung löst.Tatsächlich kann die Antwort „unendlich“ nur im vorberechneten / berechneten Kontext von Grenzwerten auftreten:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Dies ist jedoch die Antwort auf „Was ist die Grenze von 1 / a, wenn a auf Null geht“. Dies ist nicht die gleiche Frage wie die, die wir ursprünglich gestellt haben, nämlich „Welche Zahl“ x bekommen wir, wenn wir 1 durch 0 teilen. “
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- Abgestimmt, weil ich ‚ nicht glaube, dass die Algebra wirklich hilft, diese Frage zu beantworten Einfacher. Division ist per Definition die Umkehrung der Multiplikation; ‚ ist nicht die Algebra, die es so macht – im Gegenteil, man muss wissen, dass die Division durch Null undefiniert ist bevor man weiß, wenn man beide teilt Seiten einer Gleichung sind angemessen.
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