대수 없이는 쉽게 풀 수없는 간단한 “ 재미있는 ” 수학 문제 찾기
On 11월 30, 2020 by admin대수학을 싫어하는 학생들을 자주 찾습니다. 그들은 문제 해결에서 숫자로 작업하는 것을 선호합니다. 대수 없이는 풀기 어려운 문제가 많다고 생각합니다. 예 :
-
뚜껑이없는 상자의 부피가 최대 값에 도달하도록 $ x $의 값을 찾습니다.
-
탱크에는 물 90 %와 알코올 10 %로 구성된 용액 40 갤런이 들어 있습니다. 물 절반과 알코올 절반을 포함하는 두 번째 용액을 분당 4 갤런의 속도로 탱크에 추가합니다. 동시에 탱크는 아래 그림과 같이 분당 4 갤런의 비율로 배수됩니다. 용액이 계속 저어 진다고 가정하면 10 분 후에 탱크에 알코올이 얼마나 남게 되나요?
-
기타 등
학생들에게 소개 할 수 있도록 다른 간단한 “흥미롭고 도전적인”예제를 제공해 주시겠습니까?
댓글
- Ha! 첫 주에 수학 센터에 갔을 때 한 학생이이 정확한 문제를 가지고 들어 왔고 어떻게 시각화할지 몰랐습니다. 종이에서 X ” 사각형을 찢어 접었습니다. 나를 고용 한 사람이 방을 들여다보고 내가 행동하는 것을 보았다. 이 문제가 마음에 들었습니다.
- 이 기하학 문제 는 대수 없이는 다소 복잡합니다.
답변
대수를 잘 모르는 학생들에게는 상자 문제가 어려울 수 있습니다. 초급 대수를 가르 칠 때 어리석은 숫자 퍼즐을 사용하는 것을 좋아합니다.
- 1에서 25 사이의 숫자를 선택하십시오.
- 9를 더하십시오.
- 결과에 3을 곱하십시오.
- 6을 뺍니다.
- 3으로 나눕니다.
- 원래 번호를 뺍니다.
그런 다음 주위를 돌아 다니면서 조용히 “7 개 맞죠? 모든 사람이 7을 가지고 있다는 사실을 알게되면 그 이유를 알아내는 것이 흥미로워집니다.
댓글
- 예, 이런 종류의 ” 마술 “은 고전입니다. ” 마법 “이 약간의 대수만으로 완전히 평범하게 렌더링된다는 사실은 다음과 같은 많은 아이들에게 상당히 놀라운 일이라고 생각합니다. ‘ d는 이전에 사물을 직접 직감 할 수있을만큼 충분히 영리했습니다.
- 이것은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 수행하는 모든 수준에서 사용할 수 있으므로 환상적인 예입니다. ” 사용자 번호를 나타내는 변수로 쉽게 표시됩니다. ”
답변
Diophantus “수수께끼 가 좋은 예라고 생각합니다.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
답변
최근에 $ \ frac {3} {16}라는 수수께끼를 발견했습니다. -\ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, 따라서 변수의 값이 놀라운 우연을주는 질문 $$ \ frac {a} {b}-\ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ 요점은 그 대수학은 신비한 현상에 대한 간단한 설명을 제공합니다.
답변
여기 “로 끝나는 숫자를 제곱하는 좋은 방법이 있습니다. “5”; 75를 예로 들어 보겠습니다. “5”를 잘라 내고 나머지는 7입니다. 그런 다음이 값에 7×8 = 56을 곱합니다. 그런 다음 “56”뒤에 “25”를 쓰고 결과 : 5625.
고등학생에게 보여 주면 “마법이야!”라고 외칠 것입니다 (테스트 완료!). 이제 다음을 보여주고 설명합니다. $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ 그리고 그들은 (희망적으로) “aha! 따라서 대수학은 “결국 쓸모가 없습니다 …”순간이 아닙니다.
댓글
- I ‘ 이것도 성공했습니다. 이 경우 solve = 작동하는 이유를 설명하고 학생들은 종종 작동하는 이유를 설명하거나 ‘ 항상 작동할까요? ‘ ‘이 중 몇 가지를 Google 스프레드 시트에 수집했습니다. bit.ly/NumberTricks
답변
나에게 가장 눈에 띄는 예는 상당히 복잡한 1도 방정식입니다.
그게 뭐죠? 복잡한 1 차 방정식이 없나요? 모두 $ ax + b = 0 \ implies x = -b / a $일까요? 그것은 당신이 대수를 알고 있기 때문입니다-그것이 그 표준 형식에 들어갈 수 있다는 것이 전혀 명백하지 않습니다.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
이를 실현하기 위해 빈 칸에 들어갈 수있는 숫자는 무엇입니까?
대수학을 전혀 모른다면 위의 내용이 다루기 힘들어 보이지만 대수를 사용하면 매우 쉬워 보이기 때문입니다. 약간의 연습을 통해 1 분 이내에 머릿속에서 할 수 있습니다.
간단한 “빈칸 채우기”퍼즐이 모든 사람에게 동기를 부여 할만큼 간단하고 흥미 롭다고 생각하고 싶습니다. 간단하게 시작하는 한 가장 수학 공포증이있는 학생입니다.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
쉽습니다. 특히 운동을 한 후에는 나눗셈을 통해 추측하지 않고도 답을 얻을 수 있습니다.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
좀 더 까다 롭지 만, 뺄셈과 나눗셈으로 이것을 얻을 수 있는지 확인하기 위해 공식적인 대수 훈련이 필요하지 않습니다. 문제는 이제 추측을 실행하기가 너무 어려워지고 있습니다. 그런 다음 위에 게시 한 것과 같은 내용에 도달하면 분배 및 균형 방정식에 대해 “알지 못하면 상황이 절망적입니다.
10 살쯤되었을 때”해결 방법 “을 대략 알았습니다. for $ x $ “는 아버지를 괴롭힐 수있는 무언가를 생각해 내고 싶었습니다. 제가 해결할 수있을만큼 간단한 것이 필요합니다. 올바르게 기억한다면 15 분 정도의 수고 후 최선의 노력은 $와 같았습니다. x + 1 = 2x $, 더 간단하지 않은 경우. 그는 약 0.5 초 만에 머릿속에서 문제를 해결했고 저는 깜짝 놀랐습니다.
답변
대단한 수수께끼가 있습니다.
와인 1 병은 € 20입니다. 와인은 빈 병보다 € 19 더 비쌉니다. 빈 병의 가격은 얼마입니까?
모두가 € 1로 대답합니다. 그러나 1 + (19 + 1) = 21. 방정식에 넣으면 € 0.50의 답이 나옵니다.
댓글
- 이 문제는 심각합니다. 대수 없이도 풀 수 있습니다. 🙂
- @WeirdstressFunction 나는 모든 문제가 대수 없이도 풀 수 있다고 가정합니다. Euclid ‘ 요소를 읽어 보셨습니까? 그는 기하학을 사용하여 대수 방정식을 풉니 다.
- @BrianRushton : 대수없이 내 질문의 상자 문제를 풀려고합니다. 🙂
- @WeirdstressFunction 확률은 기하학을 사용하는 대신 대수없이 문제를 해결할 수있는 좋은 기회입니다. ‘만큼 쉽지는 않지만 할 수 있다고 확신합니다. 참고 : 저는 기하학 문제를 해결하지 않을 것입니다. 나는 고대 그리스인이 아니며 대수학이 그 이유에서 표준이되었습니다.
답변
American Mathematical Monthly
및 1800 년대 대수 교과서. 다음은 그러한 세 가지 예입니다.
산술 문제 해결 # 116 , American Mathematical Monthly 6 # 10 (1899 년 10 월), 238-239. [문제는 p. 120 of 고급 대수 (Joseph Victor Collins (1918) ).]
문제 설명 : 2 개 양초는 길이가 같습니다. 하나는 $ 4 $ 시간에 균일하게 소비되고 다른 하나는 $ 5 $ 시간에 소비됩니다. 촛불을 동시에 켜면 언제 다른 촛불보다 3 배 더 길어질까요?
Joseph Ray, 대수 요소 , 1865 년.
117 페이지의 문제 24 탱크에는 3 개의 펌프에서 물이 공급됩니다. 첫 번째와 두 번째는 $ 30 $ 시간에, 첫 번째와 세 번째는 $ 40 $ 시간에, 두 번째와 세 번째는 $ 50 $ 시간에 채울 것입니다. 각각 몇시에 따로 채울 수 있나요?
Horatio Nelson Robinson, 대수학 기초 논문 , 1846.
24 페이지의 문제 24 64 (변수가 숫자 값으로 변경됨) : 다음과 같은 조건으로 $ 24 $ 일에 종사하는 사람 : 매일 일할 때마다 $ 25 $ 센트를 받게됩니다. 그가 한가한 날 그는 $ 15 $ 센트를 몰수당했습니다. $ 24 $ 일 끝에 $ 320 $ 센트를 받았습니다. 그가 몇 일 동안 유휴 상태였습니까?
댓글
- 세 번째 문제는 대수없이 풀 수 있습니다. . 그 사람이 매일 일했다면 $ 24 \ cdot25 = 600 $ 센트를 벌었을 것입니다. 대신, 그 사람은 그보다 $ 600-320 = 280 $ 더 적은 센트를 벌었습니다. 일하는 것과 일하지 않는 것의 임금 차이는 $ 25-(-15) = 40 $ 센트입니다. 따라서 그 사람은 $ 280 / 40 = 7 $ 일 동안 유휴 상태였습니다.
- @Matthew Daly : 네, 대수학이 여전히 필요하다고 생각하는 수치로 변환 한 것 같습니다. 나는 ‘ 언제 (만약 있다면) ‘ 새로운 예제 나 새로운 자료를 추가하기 위해 여기로 돌아올 것입니다. 종종 내 이전 답변 중 많은 부분과 관련이 있지만 모든 이전 답변 중에서 이것은 아마도 그 중 적은 비율에서만 발생합니다),하지만 ‘ 하나 이상의 추가 예제로 대체하겠습니다. 만약 내가한다면. 그러나 지금은 예제와 귀하의 의견이 대수학을 피할 수있는 방법에 대한 좋은 예를 제공한다고 생각합니다.
답변
강의가 끝날 때 필요한 성적을 해결합니다. 우리 중 많은 사람들이 학생들로부터받는 일반적인 질문은 “과정에서 A를 받기 위해 최종 시험에서 점수를 매기려면 무엇이 필요합니까?”입니다. 또는 일부. 제 대답은 항상 “당신이 방금 대수 질문을하셨습니다. 당신 스스로 해결할 수있을 것입니다.”입니다.
저는이 연습을 지원하기 위해 특별히 채점 공식을 설정했습니다. $ W = 15 \ % Q + 50 \ % T + 35 \ % F $, 여기서 W = 코스에 대한 가중 합계, Q = 퀴즈 평균, T = 시험 평균, F = 최종 시험 점수. 코스 “A”등급에는 최소 W가 필요합니다. = 90, “B”적어도 W = 80 등. 지난주에 학생이 특정 목표 성적을 가지고 있다면 W를 지시하고 Q와 T를 알고 있으므로 미지의 유일한 것은 F입니다.
초급 대수학 수업에서는 한 시간을 학기 중반에 연습으로 보냅니다. 고수준 과정에서는 학생이 지난 주에 질문을하면 상기 / 설정을 돕겠습니다. 채점 공식을 확인하고 스스로 해결하도록합니다. 때때로 이것은 매우 강렬한 “와우!” 자신이 직접 제기 한 문제가 대수로 해결되는 것은 처음 인 것처럼 반응합니다. 때로는 전화가 나오고 사진을 찍는 경우도 있습니다.
답변
이 유형의 문제는 대수 없이는 거의 불가능합니다.
John이 3 시간 안에 집을 그리고 Jane이 2 시간 안에 집을 그리는 경우 시간이 얼마나 걸리나요? 5 개의 집을 함께 칠할 수 있나요?
댓글
- 진지하게도이 문제는 대수 없이도 해결할 수 있습니다.
- 최소한 6 시간마다 John이 2 번과 Jane 3 번을 칠하기 때문에 공배수가 첫 번째 답입니다. 그리고 그들은 함께 1 시간 12 분에 집 한 채를 칠합니다. 대수는 없습니다.
- 음, 오늘 밤에 뭔가 배웠습니다. 이제 학생들에게 말할 수 있습니다. lcm 덕분에 ‘ 쉽습니다.
- @JoeTaxpayer ‘ aha ‘ 순간; 지금까지 쉬운 방법을 몰랐습니다.
- @BrianRushton FWIW, 예전에는 , 즉 Fran ç ois Vi è te , 솔루션 JoeTaxpayer가 제공 한 것은 대수로 간주되었을 것입니다. 대수는 주어진 숫자를 조작하여 답을 산출하는 절차로 구성되었습니다. 이제 대수는 거의 엄격하게 상징적 대수를 의미합니다.
답변
그리고 여기에 다른 답이 있지만 관련이없는 답이 있습니다. 나는 때때로 다음과 같은 행동을했습니다. 저는 고등학생들에게 2 차 공식 (즉, 2 차 방정식에 대한 판별 공식과 해법)을 보여주고 다음과 같은 선을 따라 무언가를 말했습니다. “여기” 이 방정식을 푸는 방법입니다. 이제 대수없이 문제를 푸는 방법 을 설명해보세요. ” 그런 다음 4 차 해법에 대한 공식이있는 Wikipedia 페이지를 열고 “이것에 대해 행운을 빕니다!”라고 말합니다. (그들에게는) 흥미롭지 않을 수도 있지만, 나는 대수가 문제를 생성 하지 않고 실제로 해결 할 수 있다는 것을 확신합니다 (이 경우에는 간결하고 계산 방법을 정확하게 적어 두십시오.)
Answer
“좋아요 수업 : 1을 나누면 무엇을 얻나요? 0으로? “
거의 필연적으로”Infinity! “라는 응답을 받게 될 것입니다.하지만 이것은 틀 렸으며 대수를 사용하여 보여줄 수 있습니다. 질문 자체는 대수입니다. x : $$ 0 * x = 1 $$
이 시점에서 가장 기본적인 대수 방정식을 칠판에 쓸 수 있습니다. $$ Solve \ quad for \ quad x : \ quad \ quad \ quad ax = b $$
“이 클래스는 대수 방정식입니다. 다음과 같이 쓸 수도 있습니다 … “$$ x = b / a $$
“문제에서는 b = 1과 a = 0입니다. “$$ 0 * x = 1 $ $
“이제 x = 1 백만을 입력하면 방정식이 풀릴까요?”
물론 아닙니다 : $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
“x = 10 억을 연결하면 어떨까요?”
여전히 “아니요”: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
“맞습니다. 1 조억 무량 대 +1을 꽂아도 0을 곱하면 1이 아닌 0이됩니다.”
정답 순전히 대수적 맥락에서 x는 불확정하다는 것입니다.이 방정식을 풀 수있는 실수는 없습니다.사실, “무한”에 대한 답은 제한의 사전 계산 / 계산 컨텍스트에서만 발생할 수 있습니다.
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
그러나 이것은 “0이 될 때 1 / a의 한계는 얼마입니까?”에 대한 대답입니다. 이것은 우리가 원래 질문했던 것과 같은 질문이 아닙니다. x는 1을 0으로 나눌 때 얻을 수 있습니다. ”
댓글
- 대수가이 질문을 해결하는 데 실제로 도움이된다고 생각하지 않아 ‘ 비감했습니다. 더 쉽습니다. 나눗셈은 정의상 곱셈의 역입니다. ‘ 그렇게 만드는 대수는 아닙니다. 반대로, 0으로 나누는 것이 정의되지 않았 음을 알아야합니다. 둘 다 나눌 때 전에 알 필요가 있습니다. 방정식의 변이 적절합니다.
답글 남기기