Op zoek naar eenvoudige “ interessante ” wiskundige problemen die niet gemakkelijk kunnen worden opgelost zonder algebra
Geplaatst op november 30, 2020 door adminIk vind vaak studenten die niet van algebra houden. Ze werken het liefst met cijfers bij het oplossen van problemen. Ik geloof dat er veel problemen zijn die zonder algebra moeilijk op te lossen zijn. Bijvoorbeeld:
-
De waarde van $ x $ zo vinden dat het volume van een doos zonder deksel een maximale waarde bereikt.
-
Een tank bevat 40 gallons van een oplossing die bestaat uit 90% water en 10% alcohol. Een tweede oplossing die half water en half alcohol bevat, wordt aan de tank toegevoegd met een snelheid van 4 gallon per minuut. Tegelijkertijd wordt de tank geleegd met een snelheid van 4 gallon per minuut, zoals hieronder weergegeven. Ervan uitgaande dat de oplossing constant wordt geroerd, hoeveel alcohol zit er dan in de tank na 10 minuten?
-
Enz.
Kunt u mij andere eenvoudige “interessante en uitdagende” voorbeelden geven zodat ik ze aan mijn studenten kan voorstellen?
Reacties
- Ha! De eerste week dat ik in het wiskundecentrum was, kwam een student binnen met dit exacte probleem en had geen idee hoe hij het moest visualiseren. Ik scheurde X ” vierkantjes van een vel papier en vouwde het op. De man die ik had ingehuurd, gluurde de kamer in en zag me in actie. Ik hield van dit probleem.
- Dit geometrieprobleem is nogal gecompliceerd zonder algebra.
Answer
Het box-probleem kan moeilijk zijn voor studenten die niet van algebra houden. Ik gebruik graag de gekke cijferpuzzels wanneer ik beginnende algebra les te geven.
- Kies een getal tussen 1 en 25.
- Tel er 9 bij op.
- Vermenigvuldig het resultaat met 3.
- Trek 6 af.
- Deel door 3.
- Trek je oorspronkelijke nummer af.
Dan mag je rustig rondlopen en rustig zeggen: “Je hebt toch 7? “aan iedereen. Zodra ze weten dat iedereen er 7 heeft, wordt het interessant om erachter te komen waarom.
Ik kreeg het idee om dit te gebruiken in de algebra-klasse van Harold Jacobs “ Elementary Algebra .
Reacties
- Ja, dit soort ” goocheltruc ” is een klassieker. Het feit dat de ” magie ” volledig alledaags wordt weergegeven door slechts een klein beetje algebra, is volgens mij nogal verrassend voor veel kinderen die ‘ d was eerder slim genoeg om dingen direct aan te voelen.
- Dit is een fantastisch voorbeeld omdat het op elk niveau kan worden gebruikt voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en divisie en wordt gemakkelijk weergegeven met een variabele die staat voor ” uw getal. ”
Answer
Ik denk dat Diophantus “raadsel een goed voorbeeld is.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
Antwoord
Ik kwam onlangs het raadsel tegen dat $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, en dus de vraag welke waarden van de variabelen het opmerkelijke toeval opleveren $$ \ frac {a} {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ Het punt is die algebra geeft een eenvoudige verklaring voor een raadselachtig fenomeen.
Antwoord
Hier is een leuke manier om een getal te kwadrateren dat eindigt op een “5”; Laten we als voorbeeld 75 nemen. Je snijdt de “5” af; wat overblijft is 7. Je vermenigvuldigt het dan met zijn opvolger: 7 × 8 = 56. Vervolgens schrijf je “25” achter de “56” en krijg je de resultaat: 5625.
Laat het aan middelbare scholieren zien, en ze “zullen roepen:” Het is magie! “(getest!). Laat ze nu dit zien (en leg uit): $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ en zij krijgen (hopelijk) de “aha! dus algebra is tenslotte niet “nutteloos …” moment.
Reacties
- I ‘ daar heb ik ook succes mee gehad. In dit geval, oploss = leg uit waarom het werkt, en leerlingen hebben vaak de motivatie om uit te leggen waarom het werkt, of antwoord ‘ zal het altijd werken? ‘ Ik ‘ heb er een paar verzameld in een Google-spreadsheet: bit.ly/NumberTricks
Answer
Het meest treffende voorbeeld hiervan is voor mij een redelijk gecompliceerde eerstegraads vergelijking.
Wat is dat, zegt u? Er zijn geen ingewikkelde eerstegraads vergelijkingen? Het zijn allemaal slechts $ ax + b = 0 \ impliceert x = -b / a $? Dat komt omdat je algebra kent – het is helemaal niet voor de hand liggend dat ze in die standaardvorm kunnen worden gezet.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
Welk nummer kan er in de lege ruimte staan om dit waar te maken?
De reden dat ik dit zo treffend vind, is omdat, als je helemaal geen algebra kent, het bovenstaande er onhandelbaar moeilijk uitziet, maar met algebra is het zo gemakkelijk je kunt het in minder dan een minuut in je hoofd doen, met een beetje oefening.
Ik “zou graag willen denken dat een simpele” vul de lege plek “-puzzel eenvoudig en interessant genoeg is om alles behalve de meest wiskunde-fobische leerlingen, als je maar eenvoudig begint.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Gemakkelijk, vooral als je eenmaal aan het trainen bent, kun je het antwoord krijgen zonder te raden door te delen en af te trekken.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Een beetje lastiger, maar er is geen formele algebra-training voor nodig om te zien dat je dit kunt krijgen met een aftrekking gevolgd door een deling. Merk op dat het probleem nu te moeilijk wordt om gissen als haalbaar te maken. Als je dan eenmaal bij zoiets komt als wat ik hierboven heb gepost, is de situatie hopeloos als je niets weet over distributiviteit en evenwichtsvergelijkingen.
Ik herinner me dat ik toen ik ongeveer 10 was ongeveer wist wat oplossen voor $ x $ “betekende, en ik wilde iets bedenken om mijn vader te stompen. Ik heb iets eenvoudigs nodig dat ik zelf zou kunnen oplossen. Als ik het me goed herinner, was mijn beste poging na ongeveer 15 minuten hersenkraken zoiets als $ x + 1 = 2x $, als het niet nog eenvoudiger was. Hij loste het in zijn hoofd op in ongeveer een halve seconde, en ik was stomverbaasd.
Antwoord
Hier is een geweldig raadsel:
Een fles wijn kost € 20. De wijn kost € 19 meer dan de lege fles. Hoeveel kost de lege fles?
Iedereen zal € 1 antwoorden. Maar 1 + (19 + 1) = 21. Als je het in een vergelijking zet, krijg je het antwoord van € 0,50.
Opmerkingen
- Dit probleem serieus kan nog steeds worden opgelost zonder algebra. 🙂
- @WeirdstressFunction Ik veronderstel dat alle problemen kunnen worden opgelost zonder algebra. Heb je de elementen van Euclid ‘ gelezen? Hij gebruikt geometrie om algebraïsche vergelijkingen op te lossen.
- @BrianRushton: Probeer het box-probleem in mijn vraag op te lossen zonder algebra. 🙂
- @WeirdstressFunction de kans is groot dat het probleem kan worden opgelost zonder algebra in plaats van met behulp van geometrie. Het ‘ is lang niet zo eenvoudig, maar ik weet zeker dat het kan. Opmerking: ik ga dat probleem niet oplossen met geometrie. Ik ben geen oude Griek en algebra is niet voor niets de standaard geworden.
Antwoord
U kunt veel van dergelijke problemen (gratis beschikbaar op internet) vinden onder de Rekenkundige problemen in de vroege uitgaven van de American Mathematical Monthly en in algebra-leerboeken uit de 19e eeuw. Hieronder staan drie van dergelijke voorbeelden.
Oplossing voor rekenprobleem # 116 , American Mathematical Monthly 6 # 10 (oktober 1899), 238-239. [Het probleem verschijnt ook op p. 120 van Geavanceerde algebra door Joseph Victor Collins (1918 ).]
Probleemstelling: Twee kaarsen hebben dezelfde lengte. De ene wordt gelijkmatig verbruikt in $ 4 $ uur en de andere in $ 5 $ uur. Als de kaarsen tegelijkertijd worden aangestoken, wanneer is de ene dan drie keer zo lang als de andere?
Joseph Ray, Elementen van de algebra , 1865.
Probleem 24 op pagina 117 Een tank wordt van water voorzien door drie pompen. De eerste en tweede vullen het in $ 30 $ uur, de eerste en derde $ 40 $ uur en de tweede en derde $ 50 $ uur. In welke tijd kunnen ze elk afzonderlijk vullen?
Horatio Nelson Robinson, Elementaire verhandeling over algebra , 1846.
Opgave 24 op p. 64 (variabelen zijn door mij gewijzigd in numerieke waarden): Een persoon die verloofd was om $ 24 $ dagen te werken onder deze voorwaarden: voor elke dag dat hij werkte, moest hij $ 25 $ cent ontvangen, voor elke dag dat hij niets deed, moest hij $ 15 $ cent verbeuren. Aan het einde van $ 24 $ dagen ontving hij $ 320 $ cent. Hoeveel dagen was hij inactief?
Reacties
- Het derde probleem kan worden opgelost zonder algebra . Als de persoon elke dag zou werken, zou hij $ 24 \ cdot25 = 600 $ cent hebben verdiend. In plaats daarvan verdiende de persoon $ 600-320 = 280 $ minder cent dan dat. Het verschil in beloning tussen werken en niet werken is $ 25 – (- 15) = 40 $ cent. Daarom was de persoon $ 280/40 = 7 $ dagen inactief.
- @Matthew Daly: Ja, het lijkt erop dat ik de conversie naar numerieke waarden heb gemaakt, denkend dat algebra nog steeds nodig zou zijn. Ik ‘ m weet niet zeker wanneer (of ooit) ik ‘ zal terugkeren om nieuwe voorbeelden of nieuw materiaal toe te voegen (wat ik doe vaak met veel van mijn oude antwoorden, maar van al mijn oude antwoorden komt dit waarschijnlijk maar in een klein percentage voor), maar ik ‘ zal het vervangen door een of meer aanvullende voorbeelden als ik doe. Voorlopig denk ik echter dat het voorbeeld en uw opmerking een goed voorbeeld zijn van hoe algebra soms kan worden vermeden.
Antwoord
Los op voor een vereist cijfer aan het einde van een cursus. Een veel voorkomende vraag die velen van ons krijgen van studenten is: “Wat heb ik nodig om te scoren op het eindexamen om een A te halen in de cursus?” of zoiets. Mijn antwoord is nu altijd: “Je” hebt me zojuist een algebra-vraag gesteld, die zou je zelf moeten kunnen oplossen. “
Ik heb mijn beoordelingsformule specifiek opgesteld om deze oefening te ondersteunen: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, waarbij W = gewogen totaal voor de cursus, Q = quizgemiddelde, T = testgemiddelde, F = eindexamenscore. Een cursus “A” -cijfer vereist ten minste W = 90, “B” tenminste W = 80, etc. Als de leerling de afgelopen week een bepaald doelcijfer heeft, dan dicteert dat W, en Q en T zijn bekend, dus de enige onbekende is F.
In mijn elementaire algebra-les besteed ik hier halverwege het semester een uur aan als eigen oefening. Als een student in cursussen van een hoger niveau de vraag in de afgelopen week stelt, help ik eraan herinneren / opzetten de beoordelingsformule, en laat ze het zelf oplossen. Soms krijgt dit een behoorlijk intense “wow!” reactie, alsof het de eerste keer is dat een probleem dat ze persoonlijk hebben veroorzaakt, wordt opgelost door algebra; soms komen er telefoons uit en maken ze er fotos van, enz.
Antwoord
Dit type probleem is bijna onmogelijk zonder algebra:
Als John een huis in 3 uur schildert en Jane een huis in 2 uur schildert, hoe lang duurt het dan om samen 5 huizen te schilderen?
Opmerkingen
- Serieus, dit probleem kan nog steeds worden opgelost zonder algebra.
- De minste gemene veelvoud is het eerste antwoord, want elke 6 uur schildert John er 2 en Jane 3. En samen schilderen ze 1 huis in 1 uur en 12 minuten. Geen algebra.
- Nou, ik heb iets geleerd vanavond. Nu kan ik het mijn studenten vertellen dat het ‘ gemakkelijk is vanwege de lcm.
- @JoeTaxpayer Bedankt voor de ‘ aha ‘ moment; ik heb me tot nu toe nooit gerealiseerd wat de gemakkelijke manier was om het te doen.
- @BrianRushton FWIW, vroeger , dwz pre Fran ç ois Vi è te , de oplossing gegeven door JoeTaxpayer zou als algebra zijn beschouwd. Algebra bestond uit procedures voor het manipuleren van de gegeven getallen om het antwoord te produceren. Nu betekent algebra bijna strikt symbolische algebra.
Antwoord
En hier is mijn andere, maar niet-gerelateerde antwoord . Ik deed soms (min of meer) het volgende: ik liet middelbare scholieren de kwadratische formule zien (dwz de formule voor de discriminant en oplossingen voor een kwadratische vergelijking) en vertelde hen iets in de trant van: “Hier” is een formule die geeft een manier om deze vergelijking op te lossen. Probeer nu de manier uit te leggen om het zonder algebra op te lossen. ” Vervolgens open ik de Wikipedia-pagina met de formule voor de oplossingen voor de quartic en zeg ik “En veel succes met deze!”. Misschien is het niet interessant (voor hen), maar ik vind het overtuigend dat algebra eigenlijk problemen kan oplossen , niet creëren (in dit geval het probleem van beknopt en nauwkeurig opschrijven van de manier waarop sommige berekeningen worden uitgevoerd).
Antwoord
“Oké klasse: wat krijg je als je 1 deelt door 0? “
Je krijgt bijna onvermijdelijk het antwoord:” Infinity! “
Maar dit is verkeerd, en je kunt algebra gebruiken om het te laten zien: De vraag zelf is algebra in vermomming. Het vraagt om een oplossing voor x: $$ 0 * x = 1 $$
Op dit punt zou je op het bord de meest elementaire algebra-vergelijkingen kunnen schrijven: $$ Los \ quad op voor \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
“Deze klasse is een algebra-vergelijking. Het kan ook als volgt worden geschreven … “$$ x = b / a $$
” In onze opgave dan, b = 1 en a = 0. “$$ 0 * x = 1 $ $
“Als ik nu x = 1 miljoen aansluit, lost dit dan de vergelijking op?”
Natuurlijk niet: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
“En als ik x = 1 miljard aansluit?”
Nog steeds “nee”: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
“Dat klopt, zelfs als we 1 biljoen miljard ontelbaar +1 inpluggen, vermenigvuldigen we het met 0 geeft ons 0, wat niet gelijk is aan 1.”
Het juiste antwoord in de puur algebraïsche context geldt dat x onbepaald is: er is geen reëel getal dat deze vergelijking oplost.In feite kan het antwoord “oneindig” alleen voorkomen in de pre-calc / calc-context van limieten:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Maar dit is het antwoord op “Wat is de limiet van 1 / a als a gaat naar nul”, wat niet dezelfde vraag is als wat we oorspronkelijk vroegen, namelijk “Welk getal x krijgen we als we 1 delen door 0. ”
Reacties
- Downstem omdat ik niet denk dat ‘ niet denkt dat de algebra echt helpt om deze vraag te beantwoorden gemakkelijker. Delen is per definitie het omgekeerde van vermenigvuldigen; het ‘ is niet de algebra die het zo maakt – integendeel, je moet weten dat delen door nul ongedefinieerd is voordat je weet wanneer je beide deelt zijden van een vergelijking is geschikt.
Geef een reactie