Hledáte jednoduché “ zajímavé ” matematické problémy, které nelze snadno vyřešit bez otázky algebra
On 30 listopadu, 2020 by adminČasto najdu studenty, kteří nemají rádi algebru. Při řešení problémů dávají přednost práci s čísly. Věřím, že existuje mnoho problémů, které je těžké vyřešit bez algebry. Například:
-
Nalezení hodnoty $ x $ tak, aby objem krabice bez víka dosáhl maximální hodnoty.
-
Nádrž obsahuje 40 galonů roztoku složeného z 90% vody a 10% alkoholu. Druhý roztok obsahující polovinu vody a polovinu alkoholu se přidává do nádrže rychlostí 4 galony za minutu. Současně je nádrž vypouštěna rychlostí 4 galony za minutu, jak je uvedeno níže. Za předpokladu, že se roztok neustále míchá, kolik alkoholu bude v nádrži po 10 minutách?
-
atd.
Můžete mi poskytnout další jednoduché „zajímavé a náročné“ příklady, abych je mohl představit svým studentům?
Komentáře
- Ha! První týden, kdy jsem byl v matematickém centru, vešel student s tímto přesným problémem a neměl tušení, jak si ho vizualizovat. Z listu papíru jsem roztrhl X “ čtverce a složil ho. Chlap, kterého jsem si najal, nakoukl do místnosti a viděl mě v akci. Líbil se mi tento problém.
- Tento problém s geometrií je bez algebry poměrně komplikovaný.
Odpovědět
Problém s poli může být pro studenty, kteří nemají algebru, těžký. Když učím počáteční algebru, rád používám hloupé hádanky.
- Vyberte číslo mezi 1 a 25.
- Přidejte k němu 9.
- Vynásobte výsledek 3.
- Odečtěte 6.
- Vydělte třemi.
- Odečtěte původní číslo.
Pak můžete jít kolem a tiše říct: „Máš 7, že? „každému. Jakmile zjistí, že každý má 7, začne být zajímavé přijít na to, proč.
Dostal jsem nápad použít toto ve třídě algebry z Harold Jacobs „ Elementární algebra .
Komentáře
- Ano, tento druh “ kouzelnický trik “ je klasický. Skutečnost, že “ magie “ je vykreslena zcela obyčejně jen pomocí malé algebry, je docela překvapivá pro mnoho dětí, které ‚ d dříve byly dostatečně chytré, aby věci přímo intuitovaly.
- Toto je fantastický příklad, protože jej lze použít na jakékoli úrovni, která umožňuje sčítání, odčítání, násobení a dělení a lze jej snadno zobrazit pomocí proměnné, která zastupuje “ vaše číslo. “
Odpověď
Věřím, že Diophantova „hádanka je dobrým příkladem.
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father"s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, He ended his life.
odpověď
Nedávno jsem narazil na hádanku, že $ \ frac {3} {16} – \ frac {3} {19} = \ frac {3} {16} \ cdot \ frac {3} {19} $, a tedy otázka, jaké hodnoty proměnných dávají pozoruhodnou shodu $$ \ frac {a} {b} – \ frac {a} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {a} {d} $$ Jde o to že algebra poskytuje jednoduché vysvětlení mystifikačního jevu.
Odpověď
Tady je pěkný způsob, jak zarovnat číslo končící na „5“; vezměme si jako příklad 75. Odříznete „5“; zbývá 7. Potom ho vynásobíte jeho nástupcem: 7 × 8 = 56. Potom za „56“ napíšete „25“ a získáte výsledek: 5625.
Ukažte to středoškolákům a oni budou křičet: „Je to kouzlo!“ (testováno!). Nyní jim ukažte (a vysvětlete) toto: $$ (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 $$ a oni (doufejme) dostanou „aha! takže algebra není po všem … zbytečná.
Komentáře
- I ‚ S nimi jsem měl také úspěch. V takovém případě řešte = vysvětlete, proč to funguje, a studenti mají často motivaci vysvětlit, proč to funguje, nebo odpovězte ‚ bude to vždy fungovat? ‚ S ‚ jsem několik z nich shromáždil v tabulce Google: bit.ly/NumberTricks
Odpověď
Nejvýraznějším příkladem je pro mě rozumně komplikovaná rovnice prvního stupně.
Co to říkáte? Neexistují žádné složité rovnice prvního stupně? Jsou to všechno jen $ ax + b = 0 \ znamená x = -b / a $? To proto, že znáte algebru – není vůbec zřejmé, že je lze dát do této standardní formy.
$$ 3 \ cdot (2 \ cdot \ _ \ _ + 5) -2 \ cdot (\ _ \ _ + 5) = 3 \ cdot \ _ \ _ + 14 $$
Jaké číslo může být prázdné, aby to bylo pravdivé?
Důvod, který mi připadá tak markantní, je ten, že pokud vůbec žádnou algebru neznáte, výše uvedené vypadá nesnesitelně obtížně, ale s algebrou je to tak snadné zvládnete to v hlavě za minutu s trochou cviku.
Chtěl bych si myslet, že jednoduchá skládačka „vyplnit prázdné místo“ je jednoduchá a dostatečně zajímavá, aby motivovala nejvíce matematicko-fobických studentů, pokud začnete jednoduchým.
$$ \ _ \ _ + 5 = 12 $$
$$ 7 \ cdot \ _ \ _ = 42 $$
Snadné, zvláště po vypracování můžete získat odpověď bez hádání dělením a odčítáním.
$$ 3 \ cdot \ _ \ _ + 9 = 90 $$
Trochu složitější, ale nevyužívá formální trénink algebry, aby zjistil, že to můžete získat odečtením následovaným dělením. Všimněte si, že problém je nyní příliš těžký na to, aby se hádání stalo životaschopným. Pak, jakmile se dostanete k něčemu, co jsem zveřejnil výše, je situace beznadějná, pokud nevíte o distribučnosti a vyvážení rovnic.
Pamatuji si, když mi bylo asi 10, věděl jsem zhruba, co „vyřešit za $ x $ „znamenalo, a chtěl jsem přijít s něčím, co by zabilo mého tátu. Potřebuji něco tak jednoduchého, že bych to sám dokázal vyřešit. Pokud si dobře pamatuji, mé nejlepší úsilí po asi 15 minutách brainwrackingu bylo něco jako $ x + 1 = 2x $, pokud to nebylo ještě jednodušší. Vyřešil to ve své hlavě asi za půl vteřiny a byl jsem omráčený.
Odpověď
Tady je velká hádanka:
Láhev vína stojí 20 EUR. Víno stojí o 19 € více než prázdná láhev. Kolik stojí prázdná láhev?
Každý odpoví 1 €. Ale 1 + (19 + 1) = 21. Uvedení do rovnice povede k odpovědi 0,50 EUR.
Komentáře
- Vážně tento problém stále lze vyřešit bez algebry. 🙂
- @WeirdstressFunction Předpokládám, že všechny problémy lze vyřešit bez algebry. Četli jste prvky Euclid ‚ s? Využívá geometrii k řešení algebraických rovnic.
- @BrianRushton: Zkuste vyřešit problém pole v mé otázce bez algebry. 🙂
- @WeirdstressFunction je velká šance, že problém lze vyřešit bez algebry místo geometrie. Není to ‚ zdaleka tak snadné, ale jsem si jist, že to lze udělat. Poznámka: Nebudu řešit tento problém s geometrií. Nejsem starověký Řek a algebra se z nějakého důvodu stala standardem.
Odpověď
Mnoho takových problémů (volně dostupných na internetu) najdete mezi aritmetickými problémy v raných číslech American Mathematical Monthly a v 1800s učebnice algebry. Níže uvádíme tři takové příklady.
Řešení aritmetického problému # 116 , American Mathematical Monthly 6 # 10 (říjen 1899), 238-239. [Problém se také objeví na str. 120 z Advanced Algebra od Josepha Victora Collinsa (1918 ).]
Prohlášení o problému: Dva svíčky jsou stejně dlouhé. Jeden je spotřebován jednotně za 4 $ hodiny a druhý za 5 $ hodiny. Pokud budou svíčky zapalovány současně, kdy bude jedna třikrát delší než druhá?
Joseph Ray, Prvky Algebry , 1865.
Problém 24 na stránce 117 Nádrž je napájena vodou ze tří čerpadel. První a druhý jej vyplní za 30 $ hodin, první a třetí za 40 $ hodin a druhý a třetí za 50 $ hodin. Za kolik jej může každý vyplnit zvlášť?
Horatio Nelson Robinson, Základní pojednání o algebře , 1846.
Problém 24 na str. 64 (proměnné změněny na číselné hodnoty mnou): Osoba zabývající se prací 24 $ $ dní za těchto podmínek: Za každý odpracovaný den měl dostávat $ 25 $ centy, za každou den, kdy byl nečinný, měl propadnout $ 15 $ centy. Na konci 24 $ $ dnů dostal $ 320 $ centy. Kolik dní byl nečinný?
Komentáře
- Třetí problém lze vyřešit bez algebry . Pokud osoba pracovala každý den, vydělala by 24 $ \ cdot25 = 600 $ centů. Místo toho daná osoba vydělala o 600–320 $ = 280 $ méně centů. Rozdíl v platu mezi pracujícím a nepracujícím je 25 – (- 15) = 40 $ centů. Proto byla osoba nečinná 280 $ / 40 = 7 $ dní.
- @ Matthew Daly: Ano, vypadá to, že jsem provedl převod na číselné hodnoty a myslel jsem si, že algebra bude stále potřeba. ‚ si nejsem jistý, kdy (pokud vůbec) se ‚ vracím k tomu a přidám nové příklady nebo nový materiál (který často s mnoha mými starými odpověďmi, ale mezi všemi mými starými odpověďmi se to pravděpodobně vyskytuje jen u malého procenta z nich), ale ‚ jej nahradím jedním nebo více dalšími příklady pokud ano. Prozatím si však myslím, že příklad a váš komentář jsou dobrým příkladem toho, jak se algebře někdy lze vyhnout.
Odpovědět
Na konci kurzu vyřešte požadovanou známku. Častou otázkou, kterou mnozí z nás dostanou od studentů, je: „Co musím na závěrečné zkoušce získat, abych získal (a) A v kurzu?“ nebo něco takového. Moje odpověď je vždy: „Právě jste se mě zeptali na otázku algebry, měli byste být schopni to vyřešit sami.“
Nastavil jsem svůj klasifikační vzorec konkrétně na podporu tohoto cvičení: $ W = 15 \% Q + 50 \% T + 35 \% F $, kde W = vážený součet za kurz, Q = průměr kvízu, T = průměr testu, F = skóre závěrečné zkoušky. Hodnocení kurzu „A“ vyžaduje alespoň W = 90, „B“ alespoň W = 80 atd. V posledním týdnu, pokud má student konkrétní cílový stupeň, který určuje W, jsou známy Q a T, takže jedinou neznámou je F.
V hodině základní algebry se tomu věnuji zhruba v polovině semestru. Hodí-li se student v minulých týdnech na otázky v kurzech vyšší úrovně, pomůžu jim v připomenutí / nastavení klasifikační vzorec a nechte je, aby to sami vyřešili. Někdy to dostane docela intenzivní „páni!“ reakce, jako by to bylo poprvé, kdy problém, který osobně vyvolali, řeší algebra; někdy vyjdou telefony a pořídí to atd.
Odpovědět
Tento typ problému je bez algebry téměř nemožný:
Pokud John namaluje dům za 3 hodiny a Jane namaluje dům za 2 hodiny, jak dlouho to trvá je, aby společně vymalovali 5 domů?
Komentáře
- Vážně, tento problém lze stále vyřešit bez algebry.
- Nejméně společný násobek je první odpověď, protože každých 6 hodin John namaluje 2 a Jane 3. A společně namalují 1 dům za 1 hodinu a 12 minut. Žádná algebra.
- No, něco jsem se dnes večer naučil. že ‚ je to snadné díky lcm.
- @JoeTaxpayer Díky za ‚ aha ‚ moment; nikdy jsem si neuvědomil, jak to snadno udělat, až dosud.
- @BrianRushton FWIW, za starých časů , tj. před Fran ç ois Vi è te řešení daný JoeTaxpayer by byl považován za algebru. Algebra se skládala z postupů pro manipulaci s danými čísly, aby se získala odpověď. Algebra nyní téměř přísně znamená symbolickou algebru.
Odpověď
A tady je moje další, ale nesouvisející odpověď Někdy jsem (víceméně) udělal následující: Ukázal jsem středoškolákům kvadratický vzorec (tj. Vzorec pro diskriminační a řešení kvadratické rovnice) a řekl jsem jim něco v duchu: „Tady“ je vzorec, který dává způsob řešení této rovnice. Nyní zkuste vysvětlit způsob řešení bez algebry . “ Poté otevřu stránku Wikipedie se vzorcem pro řešení kvartiku a řeknu „A hodně štěstí s touto!“. Možná to pro ně není zajímavé, ale považuji za přesvědčivé, že algebra může ve skutečnosti řešit problémy, ne vytvářet je (v tomto případě problém stručně a přesně zapisuje způsob výpočtu)
Odpověď
„Dobrá třída: co dostanete, když rozdělíte 1 o 0? „
Téměř nevyhnutelně dostanete odpověď:„ Infinity! „
Ale to je špatně a můžete to ukázat pomocí algebry: Samotná otázka je algebra v převlek. Žádá řešení pro x: $$ 0 * x = 1 $$
V tomto okamžiku můžete na tabuli napsat nejzákladnější rovnice algebry: $$ Vyřešit \ quad pro \ quad x: \ quad \ quad \ quad ax = b $$
„Tato třída je algebraická rovnice. Může být také napsán takto … „$$ x = b / a $$
“ V našem problému tedy b = 1 a a = 0. „$$ 0 * x = 1 $ $
„Nyní, když připojím x = 1 milion, vyřeší to rovnici?“
Samozřejmě ne: $ 0 * (10 ^ {6}) = 0 \ ne 1 $
„Co kdybych připojil x = 1 miliardu?“
Stále „ne“: $ 0 * (10 ^ {9}) = 0 \ ne 1 $
„To je pravda, i když připojíme 1 bilion miliard zillionů +1, vynásobením 0 nám dá 0, což není rovno 1.“
Správná odpověď v čistě algebraickém kontextu je to, že x je neurčitý: neexistuje žádné skutečné číslo, které by tuto rovnici vyřešilo.Ve skutečnosti odpověď „nekonečno“ může vzniknout pouze v rámci pre-calc / calc limitů:
$$ x = \ lim_ {a \ downarrow 0} \ frac {1} {a} = \ infty $$
Toto je ale odpověď na otázku „Jaký je limit 1 / a jako a jde na nulu“, což není stejná otázka jako to, co jsme původně požadovali, což je „Jaké číslo x dostaneme, když vydělíme 1 číslem 0. “
Komentáře
- Hlasovalo proti, protože si ‚ nemyslím, že algebra opravdu pomáhá řešit tuto otázku jednodušší. Rozdělení je podle definice inverzní k násobení; to ‚ to není algebra, která to dělá – naopak, člověk musí vědět, že dělení nulou je nedefinováno dříve člověk ví, když dělí oba strany rovnice jsou vhodné.
Napsat komentář