¿Qué representan los cuatro componentes de Dirac Spinors en el modelo estándar?
On noviembre 30, 2020 by adminHe estado tratando de entender los formalismos usados en el Modelo Estándar. Por lo que he reunido, los Dirac Spinors son 4 objetos componentes diseñados para ser operado por Transformaciones de Lorentz al igual que los 4-Vectores en la Relatividad Especial. Sin embargo, también incorporan información adicional: Spin y «Handdedness». Debido a la naturaleza del Spin, los Spinors también se transforman de manera diferente a los vectores.
Esto me deja con la impresión de que los 4 componentes se pueden clasificar en: Zurdos y Spin Up, Zurdos y Spin Down, Diestros y girar hacia arriba, diestros y girar hacia abajo.
Mi pregunta es si esta impresión es la idea general correcta o no.
Comentarios
- Su base bi-spinor de Dirac se llama base Weyl o base quiral. Pero, para la ecuación de Dirac, hay bases diferentes, como la base de Dirac. Cada base corresponde a una representación diferente de las matrices gamma .
Respuesta
Depende de la representación de las matrices gamma. Pueden ser, por ejemplo, las cuatro combinaciones de electrón / positrón y spin up / spin down.
Comentarios
- En cualquier otra representación, los componentes son combinaciones lineales de estos. Entonces, la información contenida en ellos es la misma, simplemente se empaqueta de manera diferente.
- @Michael Brown: Estoy de acuerdo, pero eso significa que los 4 componentes no pueden ser » clasificado como: Zurdos y Spin Up, » etc., como OP sugiere, independientemente de la representación.
- Los 4 dof son complejas, podría agregar ese d.o.f. son eliminados por EoM, etc.
- Quizás ‘ valga la pena aclarar que puede clasificar los 4 d.o.f. de forma invariante usando los operadores de proyección $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ y $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, que toman buenas formas diagonales en un particular base. La base adaptada es buena si le importan estos proyectores, aunque puede utilizar la base que desee. Pero puedes ver por esta construcción que el contenido físico del campo es independiente de la representación.
- @EdwardHughes ¿Qué? Los electrones y positrones corresponden a las soluciones de frecuencia positiva ($ u e ^ {- ipx} $) y frecuencia negativa ($ v e ^ {+ ipx} $) de la ecuación de Dirac. Ambos están contenidos en el mismo campo de espino de Dirac. Véase, por ejemplo, Peskin & Schroeder eq 3.99. Los operadores de proyección que mencioné proyectan a la izquierda & partes diestras de $ u $ y $ v $. Si clasifica por partícula izquierda / derecha / antipartícula es equivalente a, pero solo una reorganización de, rotación izquierda / derecha arriba / abajo.
Respuesta
los 4 componentes se pueden clasificar como: zurdos y girar hacia arriba, zurdos y girar hacia abajo, diestros y girar hacia arriba, diestros y Girar hacia abajo.
Tu clasificación es dependiente de la representación en el contexto en el que lo pones.
Sin embargo, hay una independiente de la representación forma de haciendo lo mismo con dos proyecciones (ortogonales): $$ \ begin {alineado} \ text {Chiral Projection} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Proyección de giro} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {alineado} $$
La representación específica suya es elegir los 4 vectores propios de las proyecciones anteriores como base.
Respuesta
En el caso de representaciones $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ del grupo de Lorentz necesitamos tomar la suma directa de $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, si queremos que nuestras representaciones sean irreductibles. Es causado por actuar sobre operadores inversos de espacio discreto (y tiempo) en el espacio del grupo de Lorentz: transfieren $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ representación a $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, entonces $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $ por sí solo no es la representación del grupo Lorentz completo. Además, si queremos que nuestro campo sea real (no complejo), también debemos tomar la suma directa de repeticiones (por razonamiento analógico). Pero luego debemos actuar sobre el campo de rep-suma directa por operador de proyección, que deja solo $ n + m + 1 $ componentes independientes de un campo como debe ser para spin $ s = \ frac {n + m} {2 } $ campo.
Entonces, hablemos de un caso especial.Dirac bispinor se refiere a la suma directa de las representaciones $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ y $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $, que corresponden a representaciones manejadas por la izquierda y por la derecha (llamada quiralidad). Cada una de estas representaciones se refiere al espín $ \ frac {1} {2} $ – partícula, y su proyección puede ser $ \ pm \ frac {1} {2} $. Pero la ecuación de Dirac, que es el operador de proyección en espacio bidimensional de componentes independientes (como debe ser para spin $ \ frac {1} {2} $ be), mezcla estos componentes en general. Sin embargo, en un caso de $ m = 0 $ componentes de diferente quiralidad no es «t mezclados entre sí, y la ecuación de Dirac conduce a dos ecuaciones independientes que se llaman ecuaciones de Weyl. Esto puede ser incluso en la base de Dirac.
También las relaciones de anticonmutación entre las matrices de Dirac y la forma de la ecuación de Dirac no cambia bajo transformaciones unitarias: $ \ gamma «= U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi» = U \ Psi $, entonces tomando $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ haces que las ecuaciones de spinor sean independientes. Así que en este caso también puedes usar tu clasificación n.
Respuesta
Un espinor de dos componentes se puede interpretar geométricamente como la representación de un punto en la esfera de Riemann, definido por la relación de sus dos componentes complejos, y su proyección estereográfica en el plano xy. De manera similar, un espinor de cuatro componentes se puede interpretar, por una relación más complicada definida por sus cuatro componentes complejos, como un punto en la esfera de Riemann seguido de una transformación de Lorentz, y su proyección estereográfica en el plano proyectivo complejo $ P ^ 2_C $. Mi trabajo reciente, «Vector Analysis of Spinors» y «Spacetime Algebra of Dirac Spinors», que aborda estos problemas desconcertantes, se puede encontrar en mi sitio web: http://www.garretstar.com/
Deja una respuesta