Was bedeuten die vier Komponenten von Dirac-Spinoren im Standardmodell?
On November 30, 2020 by adminIch habe versucht, mich mit den im Standardmodell verwendeten Formalismen auseinanderzusetzen. Nach dem, was ich gesammelt habe, sind Dirac-Spinoren 4-Komponenten-Objekte, für die entwickelt wurde von Lorentz-Transformationen betrieben werden, ähnlich wie 4-Vektoren in spezieller Relativitätstheorie sind. Sie enthalten jedoch auch zusätzliche Informationen: Spin und „Handedness“. Aufgrund der Art des Spins transformieren sich Spinoren auch anders als Vektoren.
Dies hinterlässt den Eindruck, dass die 4 Komponenten wie folgt klassifiziert werden können: Linkshänder und Spin-Up, Linkshänder und Spin-Down, Rechtshänder und Hochfahren, Rechtshänder und Herunterdrehen.
Meine Frage ist, ob dieser Eindruck die richtige allgemeine Idee ist oder nicht?
Kommentare
- Ihre Dirac-Bi-Spinor-Basis wird als Weyl-Basis oder chirale Basis bezeichnet. Für die Dirac-Gleichung gibt es jedoch andere Grundlagen, wie die Dirac-Basis. Jede Basis entspricht einer anderen Darstellung der Gammamatrizen .
Antwort
Dies hängt von der Darstellung der Gammamatrizen ab. Dies können beispielsweise die vier Kombinationen von Elektron / Positron und Spin-up / Spin-down sein.
Kommentare
- In jeder anderen Darstellung sind die Komponenten nur lineare Kombinationen dieser. Die darin enthaltenen Informationen sind also die gleichen, sie werden nur unterschiedlich verpackt.
- @Michael Brown: Ich stimme zu, aber das bedeutet, dass die 4 Komponenten nicht “ klassifiziert als: Linkshänder und Spin Up, “ usw., wie OP vorschlägt, unabhängig von der Darstellung.
- Die 4 dof sind komplex, könnte hinzufügen, dass zusätzliche d.o.f. werden durch EoM usw. eliminiert.
- Vielleicht ist es ‚ wert zu klären, dass Sie die 4 d.o.f. auf invariante Weise unter Verwendung der Projektionsoperatoren $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ und $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, die in einem bestimmten Fall schöne diagonale Formen annehmen Basis. Die angepasste Basis ist gut, wenn Sie sich für diese Projektoren interessieren, obwohl Sie jede gewünschte Basis verwenden können. An dieser Konstruktion können Sie jedoch erkennen, dass der physische Inhalt des Feldes unabhängig von der Darstellung ist.
- @EdwardHughes Was? Elektronen und Positronen entsprechen den positiven Frequenz- ($ u e ^ {- ipx} $) und negativen Frequenzlösungen ($ v e ^ {+ ipx} $) der Dirac-Gleichung. Beide sind im selben Dirac-Spinorfeld enthalten. Siehe zum Beispiel Peskin & Schroeder Gl. 3.99. Die von mir erwähnten Projektionsoperatoren projizieren auf der linken Seite & rechtshändige Teile von $ u $ und $ v $. Ob Sie nach links / rechts Partikel / Antiteilchen klassifizieren, ist gleichbedeutend mit links / rechts hoch / runter.
Antwort
Die 4 Komponenten können klassifiziert werden als: Linkshänder und Spin Up, Linkshänder und Spin Down, Rechtshänder und Spin Up, Rechtshänder und Spin Down.
Ihre Klassifizierung ist repräsentationsabhängig in dem Kontext, den Sie eingeben.
Es gibt jedoch eine darstellungsunabhängige Methode Machen Sie dasselbe mit zwei (orthogonalen) Projektionen: $$ \ begin {align} \ text {Chirale Projektion} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Spin Projection} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {align} $$
Ihre spezifische Darstellung besteht darin, die 4 Eigenvektoren der obigen Projektionen als Basis zu wählen.
Antwort
Bei Darstellungen $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ der Lorentz-Gruppe müssen wir die direkte Summe von $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, wenn wir unsere Darstellungen irreduzibel machen wollen. Dies wird dadurch verursacht, dass auf diskrete räumliche (und zeitliche) inverse Operatoren im Raum der Lorentz-Gruppe eingewirkt wird: Sie übertragen die Darstellung $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ an $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, also $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $ allein ist nicht die Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe. Wenn wir unser Feld real (nicht komplex) machen wollen, müssen wir auch die direkte Summe der Wiederholungen (durch analoges Denken) nehmen. Aber dann müssen wir durch den Projektionsoperator auf ein Direktsummen-Wiederholungsfeld einwirken, das nur $ n + m + 1 $ unabhängige Komponenten eines Feldes belässt, wie es für Spin $ s = \ frac {n + m} {2 sein muss } $ Feld.
Sprechen wir also über einen Sonderfall.Dirac bispinor bezieht sich auf die direkte Summe von $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ und $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $ Darstellungen, die entsprechen Darstellungen mit linker und rechter Handhabung (Aufruf der Chiralität). Jede dieser Darstellungen bezieht sich auf Spin $ \ frac {1} {2} $ – Partikel, und die Projektion kann $ \ pm \ frac {1} {2} $ sein. Aber Dirac-Gleichung, die der Projektionsoperator ist Der zweidimensionale Raum unabhängiger Komponenten (wie es für Spin $ \ frac {1} {2} $ sein muss) mischt diese Komponenten im Allgemeinen. In einem Fall von $ m = 0 $ sind Komponenten unterschiedlicher Chiralität jedoch nicht „t“ Eine Mischung untereinander und die Dirac-Gleichung führen zu zwei unabhängigen Gleichungen, die als Weyl-Gleichungen bezeichnet werden. Dies kann sogar auf Dirac-Basis erfolgen.
Auch die Antikommutationsbeziehungen zwischen Dirac-Matrizen und die Form der Dirac-Gleichung Ändere dich nicht unter einheitlichen Transformationen: $ \ gamma „= U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi“ = U \ Psi $, also nimm $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ Sie machen die Spinorgleichungen unabhängig. In diesem Fall können Sie also auch Ihre Klassifikation verwenden n.
Antwort
Ein Zweikomponenten-Spinor kann geometrisch so interpretiert werden, dass er einen Punkt auf der Riemann-Kugel darstellt, der durch das Verhältnis definiert wird seiner zwei komplexen Komponenten und seiner stereografischen Projektion auf die xy-Ebene. In ähnlicher Weise kann ein Vierkomponentenspinor durch ein komplizierteres Verhältnis, das durch seine vier komplexen Komponenten definiert wird, als Punkt auf der Riemannschen Kugel, gefolgt von einer Lorentz-Transformation, und seiner stereografischen Projektion auf die komplexe Projektionsebene $ P ^ 2_C $ interpretiert werden. Meine jüngsten Arbeiten „Vektoranalyse von Spinoren“ und „Raumzeitalgebra von Dirac-Spinoren“, die sich mit diesen verwirrenden Problemen befassen, finden Sie auf meiner Website: http://www.garretstar.com/
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