Wat vertegenwoordigen de vier componenten van Dirac Spinors in het standaardmodel?
Geplaatst op november 30, 2020 door adminIk “heb geprobeerd mijn hoofd rond de formalismen die in het standaardmodel worden gebruikt te begrijpen. Van wat ik heb verzameld, zijn Dirac Spinors 4 componentobjecten die zijn ontworpen om worden bediend door Lorentz Transformations, net zoals 4-vectoren in de speciale relativiteitstheorie staan. Ze bevatten echter ook aanvullende informatie: Spin en “Handedness”. Vanwege de aard van Spin, transformeren Spinors ook anders dan vectoren.
Dit geeft mij de indruk dat de 4 componenten kunnen worden geclassificeerd als: Linkshandig en Spin Up, Linkshandig en Spin Down, Rechtshandig en spin-up, rechtshandig en spin-down.
Mijn vraag is of deze indruk het juiste algemene idee is of niet?
Reacties
- Uw Dirac-bi-spinorbasis wordt de Weyl-basis of chirale basis genoemd. Maar voor de Dirac-vergelijking is er een andere basis, zoals de Dirac-basis. Elke basis komt overeen met een andere weergave van de gamma-matrices .
Antwoord
Het hangt af van de weergave van de gamma-matrices. Het kunnen bijvoorbeeld de vier combinaties zijn van elektron / positron en spin up / spin down.
Opmerkingen
- In elke andere weergave zijn de componenten slechts lineaire combinaties van deze. Dus de informatie die ze bevatten is hetzelfde, het wordt gewoon anders verpakt.
- @Michael Brown: Ik ben het ermee eens, maar dat betekent dat de 4 componenten niet ” geclassificeerd als: Left Handed en Spin Up, ” etc., zoals OP suggereert, onafhankelijk van de vertegenwoordiging.
- De 4 dof complex zijn, zou dat extra d.o.f. worden geëlimineerd door EoM enz.
- Misschien is het ‘ de moeite waard om te verduidelijken dat u kunt de 4 d.o.f. op een invariante manier met behulp van de projectie-operatoren $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ en $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, die toevallig mooie diagonale vormen aannemen in een bepaalde basis. De aangepaste basis is fijn als je om deze projectoren geeft, al kan je elke basis gebruiken die je maar wilt. Maar je kunt aan deze constructie zien dat de fysieke inhoud van het veld onafhankelijk is van de representatie.
- @EdwardHughes Wat? Elektronen en positronen komen overeen met de positieve frequentie ($ u e ^ {- ipx} $) en negatieve frequentie ($ v e ^ {+ ipx} $) oplossingen van de Dirac-vergelijking. Beide bevinden zich in hetzelfde Dirac-spinorveld. Zie bijvoorbeeld Peskin & Schroeder eq 3,99. De projectie-operators die ik noemde, projecteren links & rechtshandige delen van $ u $ en $ v $. Of je nu classificeert op links / rechts deeltje / antideeltje is gelijk aan, maar slechts een herschikking van, links / rechts draaien omhoog / omlaag.
Antwoord
de 4 componenten kunnen worden geclassificeerd als: linkshandig en spin-up, linkshandig en spin-down, rechtshandig en spin-up, rechtshandig en Spin Down.
Uw classificatie is representatieafhankelijk in de context waarin u het plaatst.
Er is echter een representatie-onafhankelijke manier om hetzelfde doen met twee (orthogonale) projecties: $$ \ begin {uitgelijnd} \ text {Chirale projectie} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Spin Projection} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {align} $$
De specifieke representatie van jou is om de 4 eigenvectoren van bovenstaande projecties als basis te kiezen.
Antwoord
In het geval van representaties $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ van de Lorentz-groep moeten we de directe som nemen van $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, als we onze representaties onherleidbaar willen maken. Het wordt veroorzaakt door te werken op discrete ruimte (en tijd) inverse operatoren op de ruimte van de Lorentz-groep: ze dragen $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ representatie over naar $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, dus $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $ alleen is niet de weergave van de volledige Lorentz-groep. Als we ons veld echt (niet complex) willen maken, moeten we ook de directe som van herhalingen nemen (door analoge redenering). Maar dan moeten we handelen op het direct-sum-rep-veld door de projectie-operator, die alleen $ n + m + 1 $ onafhankelijke componenten van een veld overlaat zoals het moet zijn voor spin $ s = \ frac {n + m} {2 } $ veld.
Laten we het dus hebben over een speciaal geval.Dirac bispinor verwijst naar de directe som van $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ en $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $ representaties, die overeenkomen met linkshandige en rechtshandige representaties (chiraliteit oproepen). Elk van deze representaties verwijst naar spin $ \ frac {1} {2} $ – particle, en de projectie kan $ \ pm \ frac {1} {2} $ zijn. Maar de Dirac-vergelijking, die de projectie-operator is op tweedimensionale ruimte van onafhankelijke componenten (zoals het moet zijn voor spin $ \ frac {1} {2} $ be), mengt deze componenten in het algemeen. In het geval van $ m = 0 $ is dat echter niet het geval met componenten van verschillende chiraliteit gemengd tussen elkaar, en Dirac-vergelijking leidt tot twee onafhankelijke vergelijkingen die Weyl-vergelijkingen worden genoemd. Dit kan zelfs in Dirac-basis zijn.
Ook de anticommutatierelaties tussen Dirac-matrices en de vorm van de Dirac-vergelijking verander niet onder unitaire transformaties: $ \ gamma “= U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi” = U \ Psi $, dus door $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} te nemen \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ je maakt de vergelijkingen van de spinor onafhankelijk. Dus in dit geval kun je ook je classificatio gebruiken n.
Answer
Een tweecomponenten-spinor kan geometrisch worden geïnterpreteerd als een punt op de Riemann-sfeer, gedefinieerd door de verhouding van zijn twee complexe componenten, en zijn stereografische projectie op het xy-vlak. Evenzo kan een viercomponenten-spinor worden geïnterpreteerd, door een meer gecompliceerde verhouding gedefinieerd door zijn vier complexe componenten, als een punt op de Riemann-sfeer gevolgd door een Lorentz-transformatie en zijn stereografische projectie op het complexe projectieve vlak $ P ^ 2_C $. Mijn recente werk, “Vector Analysis of Spinors” en “Spacetime Algebra of Dirac Spinors”, waarin deze verwarrende problemen werden aangepakt, is te vinden op mijn website: http://www.garretstar.com/
Geef een reactie