Hva representerer de fire komponentene i Dirac Spinors i standardmodellen?
On november 30, 2020 by adminJeg har prøvd å få hodet mitt rundt formalismene som brukes i standardmodellen. Fra det jeg har samlet, er Dirac Spinors 4 komponentobjekter designet for å bli operert av Lorentz Transformations omtrent som 4-vektorer er i spesiell relativitet. Imidlertid inneholder de også tilleggsinformasjon: Spinn og «Handedness». På grunn av spinnets natur transformerer spinorer seg også annerledes enn vektorene.
Dette etterlater meg med inntrykk av at de 4 komponentene kan klassifiseres som: Venstrehåndet og Spinn opp, Venstrehåndet og Spinn ned, Høyrehåndet og Spin up, Right Handed and Spin Down.
Mitt spørsmål er om dette inntrykket er den riktige generelle ideen eller ikke?
Kommentarer
- Din Dirac bi-spinor basis kalles Weyl basis eller chiral basis. Men for Dirac-ligningen er det forskjellige grunnlag, som Dirac-grunnlaget. Hvert grunnlag tilsvarer en annen representasjon av gammamatriser .
Svar
Det avhenger av representasjonen av gammamatrisene. Det kan for eksempel være de fire kombinasjonene av elektron / positron og spinn opp / spinn ned.
Kommentarer
- I en hvilken som helst annen representasjon er komponentene bare lineære kombinasjoner av disse. Så informasjonen i dem er den samme, den blir bare pakket annerledes.
- @Michael Brown: Jeg er enig, men det betyr at de 4 komponentene ikke kan være » klassifisert som: Left Handed and Spin Up, » etc., som OP antyder, uavhengig av representasjonen.
- De 4 dofene er komplekse, kan legge til den ekstra d.o.f. blir eliminert av EoM osv.
- Kanskje det ‘ er verdt å avklare at du kan klassifisere de 4 d.o.f. på en uforanderlig måte ved hjelp av projiseringsoperatorene $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ og $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, som tilfeldigvis tar fine diagonale former i et bestemt basis. Det tilpassede grunnlaget er fint hvis du bryr deg om disse projektorene, selv om du kan bruke hvilket som helst grunnlag du ønsker. Men du kan se ved denne konstruksjonen at det fysiske innholdet i feltet er uavhengig av representasjonen.
- @EdwardHughes Hva? Elektroner og positroner tilsvarer den positive frekvensen ($ u e ^ {- ipx} $) og den negative frekvensen ($ v e ^ {+ ipx} $) i Dirac-ligningen. Begge er inneholdt i samme Dirac spinor-felt. Se for eksempel Peskin & Schroeder eq 3.99. Projeksjonsoperatørene jeg nevnte, prosjektet til venstre & høyrehendte deler på $ u $ og $ v $. Enten du klassifiserer etter venstre / høyre partikkel / antipartikkel tilsvarer, men bare en omstilling av, venstre / høyre spinn opp / ned.
Svar
de 4 komponentene kan klassifiseres som: Venstrehendt og spinn opp, Venstrehånd og spinn ned, Høyrehånd og spinn opp, Høyrehånd og Spinn ned.
Klassifiseringen din er representasjonsavhengig i konteksten du setter det.
Det er imidlertid en representasjonsuavhengig måte å gjør det samme med to (ortogonale) projeksjoner: $$ \ begin {align} \ text {Chiral Projection} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Spinnprojeksjon} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {align} $$
Den spesifikke representasjonen for deg er å velge de fire egenvektorene av anslagene ovenfor som basen.
Svar
I tilfelle representasjoner $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ høyre) $ for Lorentz-gruppen må vi ta den direkte summen av $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ høyre) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, hvis vi vil gjøre representasjonene våre irredusible. Det er forårsaket av å handle på diskrete rom (og tid) inverse operatører på rommet til Lorentz-gruppen: de overfører $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ representasjon til $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, så $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $ alene er ikke representasjonen for hele Lorentz-gruppen. Også, hvis vi ønsker å gjøre feltet vårt reelt (ikke komplekst), må vi også ta den direkte summen av reps (ved analog resonnement). Men så må vi handle på direkte-sum-rep-felt av projeksjonsoperatøren, som bare etterlater $ n + m + 1 $ uavhengige komponenter i et felt som det må være for spin $ s = \ frac {n + m} {2 } $ felt.
Så, la oss snakke om spesielle tilfeller.Dirac bispinor refererer til den direkte summen av $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ og $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $ representasjoner, som tilsvarer venstrehåndterte og høyrehåndterte representasjoner (kaller kiralitet). Hver av disse representasjonene refererer til spin $ \ frac {1} {2} $ – partikkel, og det er projeksjonen kan være $ \ pm \ frac {1} {2} $. Men Dirac-ligning, som er projeksjonsoperatøren på todimensjonalt rom for uavhengige komponenter (som det må være for spin $ \ frac {1} {2} $ be), blander disse komponentene generelt. men i tilfelle $ m = 0 $ er ikke komponenter med forskjellig chiralitet blandet mellom hverandre, og Dirac-ligning fører til to uavhengige ligninger som kalles Weyls ligninger. Dette kan være til og med på Dirac-basis.
Også antikommutasjonsforholdene mellom Dirac-matriser og formen til Dirac-ligningen ikke endre under enhetlige transformasjoner: $ \ gamma «= U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi» = U \ Psi $, så ved å ta $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ gjør du spinors ligninger uavhengige. Så i dette tilfellet kan du også bruke klassifiseringen n.
Svar
En to-komponents spinor kan tolkes geometrisk som et punkt på Riemann-sfæren, definert av forholdet av sine to komplekse komponenter, og dens stereografiske projeksjon på xy-planet. Tilsvarende kan en firekomponents spinor tolkes ved et mer komplisert forhold definert av de fire komplekse komponentene, som et punkt på Riemann-sfæren etterfulgt av en Lorentz-transformasjon, og dens stereografiske projeksjon på det komplekse projiserende planet $ P ^ 2_C $. Mitt siste arbeid, «Vector Analysis of Spinors», og «Spacetime Algebra of Dirac Spinors», som adresserer disse forvirrende problemene, finner du på nettstedet mitt: http://www.garretstar.com/
Legg igjen en kommentar