Hvad repræsenterer de fire komponenter i Dirac Spinors i standardmodellen?
On november 30, 2020 by adminJeg har prøvet at få hovedet omkring formalismen brugt i standardmodellen. Fra det, jeg har samlet, er Dirac Spinors 4 komponentgenstande designet til betjenes af Lorentz Transformations, ligesom 4-vektorer er i særlig relativitet. Men de indeholder også yderligere oplysninger: Spin og “Handedness”. På grund af spinets art transformerer spinorer sig også anderledes end vektorer.
Dette efterlader mig med det indtryk, at de 4 komponenter kan klassificeres som: Venstrehåndet og Spin op, Venstrehåndet og Spin ned, Højrehåndet og Spin up, Right handed and Spin Down.
Mit spørgsmål er, om dette indtryk er den rigtige generelle idé eller ej?
Kommentarer
- Din Dirac bi-spinor basis kaldes Weyl basis eller chiral basis. Men for Dirac-ligningen er der forskellige grunde som Dirac-basis. Hvert grundlag svarer til en anden repræsentation af gammamatricer .
Svar
Det afhænger af repræsentationen af gammamatricerne. Det kan for eksempel være de fire kombinationer af elektron / positron og spin op / spin ned.
Kommentarer
- I enhver anden repræsentation er komponenterne kun lineære kombinationer af disse. Så informationen i dem er den samme, de bliver bare pakket anderledes.
- @ Michael Brown: Jeg er enig, men det betyder, at de 4 komponenter ikke kan være ” klassificeret som: Venstrehåndet og Spin Up, ” osv., som OP antyder, uafhængig af repræsentationen.
- De 4 dof er komplekse, kunne tilføje den ekstra d.o.f. elimineres af EoM osv.
- Måske er det ‘ værd at præcisere, at du kan klassificere 4 d.o.f. på en uforanderlig måde ved hjælp af projektionsoperatorerne $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ og $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, som tilfældigvis tager pæne diagonale former i en bestemt basis. Det tilpassede grundlag er rart, hvis du er interesseret i disse projektorer, selvom du kan bruge det ønskede grundlag. Men du kan se ved denne konstruktion, at feltets fysiske indhold er uafhængigt af repræsentationen.
- @EdwardHughes Hvad? Elektroner og positroner svarer til den positive frekvens ($ u e ^ {- ipx} $) og den negative frekvens ($ v e ^ {+ ipx} $) i Dirac-ligningen. Begge er indeholdt i det samme Dirac spinor-felt. Se for eksempel Peskin & Schroeder eq 3.99. De projiceringsoperatører, jeg nævnte, projicerede til venstre & højrehåndede dele på $ u $ og $ v $. Uanset om du klassificerer efter venstre / højre partikel / antipartikel svarer til, men bare en omblanding af, venstre / højre spin op / ned.
Svar
de 4 komponenter kan klassificeres som: Venstrehåndet og centrifugeret op, Venstrehåndet og centrifugeret ned, Højrehåndet og Spin op, Højrehåndet og Spin ned.
Din klassifikation er repræsentationsafhængig i den sammenhæng, du sætter det.
Der er dog en repræsentationsuafhængig måde gør det samme med to (ortogonale) fremskrivninger: $$ \ begin {align} \ text {Chiral Projection} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Spin-projektion} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {align} $$
Din specifikke repræsentation er at vælge de 4 egenvektorer af ovenstående fremskrivninger som basen.
Svar
I tilfælde af repræsentationer $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ højre) $ fra Lorentz-gruppen skal vi tage den direkte sum af $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, hvis vi vil gøre vores repræsentationer irreducible. Det er forårsaget af at handle på diskrete rum (og tid) inverse operatører på Lorentz-gruppens rum: de overfører $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ repræsentation til $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, så $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $ alene er ikke repræsentationen for den fulde Lorentz-gruppe. Også, hvis vi vil gøre vores felt reelt (ikke komplekst), skal vi også tage den direkte sum af reps (ved analogt resonnement). Men så skal vi handle på direkte-sum-rep felt af projiceringsoperatør, der kun efterlader $ n + m + 1 $ uafhængige komponenter i et felt, som det skal være for spin $ s = \ frac {n + m} {2 } $ felt.
Så lad os tale om specialtilfælde.Dirac bispinor henviser til den direkte sum af $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ og $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $ repræsentationer, der svarer til venstrehåndterede og højrehåndterede repræsentationer (kaldende chiralitet). Hver af disse repræsentationer henviser til spin $ \ frac {1} {2} $ – partikel, og det er projektionen kan være $ \ pm \ frac {1} {2} $. Men Dirac-ligning, som er projektionsoperatøren på to-dimensionelt rum for uafhængige komponenter (som det skal være for spin $ \ frac {1} {2} $ be), blander disse komponenter generelt. dog i tilfælde af $ m = 0 $ er komponenter med forskellig chiralitet ikke “t blandet mellem hinanden, og Dirac-ligning fører til to uafhængige ligninger, der kaldes Weyls ligninger. Dette kan være lige på Dirac-basis.
Også antikommutationsforholdet mellem Dirac-matricer og formen af Dirac-ligningen ændr ikke under enhedsomdannelser: $ \ gamma “= U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi” = U \ Psi $, så ved at tage $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ gør du spinors ligninger uafhængige. Så i dette tilfælde kan du også bruge din klassifikation n.
Svar
En to-komponent spinor kan fortolkes geometrisk som repræsenterende et punkt på Riemann-sfæren, defineret af forholdet af dets to komplekse komponenter og dets stereografiske projektion på xy-planet. Tilsvarende kan en firekomponents spinor fortolkes ved et mere kompliceret forhold defineret af dets fire komplekse komponenter som et punkt på Riemann-sfæren efterfulgt af en Lorentz-transformation og dets stereografiske projektion på det komplekse projektive plan $ P ^ 2_C $. Mit nylige arbejde, “Vector Analysis of Spinors” og “Spacetime Algebra of Dirac Spinors”, der adresserer disse forvirrende problemer, kan findes på mit websted: http://www.garretstar.com/
Skriv et svar