표준 모델에서 Dirac Spinors의 네 가지 구성 요소는 무엇을 나타 냅니까?
On 11월 30, 2020 by admin저는 표준 모델에 사용 된 형식주의에 대해 알아 보려고 노력했습니다. 제가 수집 한 Dirac Spinors는 4-Vectors가 Special Relativity에있는 것처럼 Lorentz Transformations에 의해 작동됩니다. 그러나 그들은 또한 추가 정보를 포함합니다 : 스핀과 “손잡이”. Spin의 특성으로 인해 Spinors는 벡터와 다르게 변형됩니다.
이로 인해 4 가지 구성 요소를 왼손잡이 및 스핀 업, 왼손잡이 및 스핀 다운, 오른 손잡이로 분류 할 수 있다는 인상을받습니다. 스핀 업, 오른 손잡이, 스핀 다운.
제 질문은이 인상이 일반적인 아이디어인지 아닌지입니다.
댓글
- Dirac bi-spinor 기반을 Weyl 기반 또는 키랄 기반이라고합니다. 그러나 Dirac 방정식의 경우 Dirac 기반과 같은 다른 기반이 있습니다. 모든 기준은 감마 행렬 의 다른 표현에 해당합니다.
Answer
감마 행렬의 표현에 따라 다릅니다. 예를 들어, 전자 / 양전자와 스핀 업 / 스핀 다운의 네 가지 조합 일 수 있습니다.
주석
- 다른 표현에서 구성 요소는 이러한 구성 요소의 선형 조합 일뿐입니다. 따라서 여기에 포함 된 정보는 동일합니다. 단지 다르게 패키징됩니다.
- @Michael Brown : 동의하지만 4 개의 구성 요소가 " 분류 : 왼손잡이 및 스핀 업, " 등. OP가 제안한대로 표현과는 무관합니다.
- The 4 dof 복잡하고 추가 d.o.f를 추가 할 수 있습니다. EoM 등에 의해 제거됩니다.
- 아마도 ' 4 d.o.f를 분류 할 수 수 있음 을 명확히 할 가치가 있습니다. 프로젝션 연산자 $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ 및 $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $를 사용하여 변하지 않는 방식으로 특정 대각선 형태를 취합니다. 기초. 이 프로젝터에 관심이 있다면 원하는 기준을 사용할 수 있지만 적응 된 기준은 좋습니다. 그러나이 구조를 통해 필드의 물리적 내용이 표현과 무관하다는 것을 알 수 있습니다.
- @EdwardHughes What? 전자와 양전자는 Dirac 방정식의 양의 주파수 ($ u e ^ {-ipx} $) 및 음의 주파수 ($ v e ^ {+ ipx} $) 해에 해당합니다. 둘 다 동일한 Dirac 스피너 필드에 포함되어 있습니다. 예를 들어 Peskin & Schroeder eq 3.99를 참조하십시오. 내가 언급 한 투영 연산자는 $ u $ 및 $ v $의 왼쪽 & 오른손 부분에 프로젝트를 언급했습니다. 왼쪽 / 오른쪽 입자 / 반입자로 분류하는지 여부는 왼쪽 / 오른쪽 스핀 업 / 다운의 전환에 불과하지만 동일합니다.
답변
4 개의 구성 요소는 왼손잡이 및 회전, 왼손잡이 및 회전 감소, 오른 손잡이 및 회전, 오른 손잡이 및 스핀 다운.
분류는 표현에 따라 다릅니다. 를 입력합니다.
하지만 표현 독립적 방식이 있습니다. 두 개의 (직교) 투영으로 동일한 작업 수행 : $$ \ begin {aligned} \ text {Chiral Projection} & : \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {회전 투영} & : \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {aligned} $$
당신의 구체적인 표현은 위의 투영의 4 개의 고유 벡터를 기준으로 선택하는 것입니다.
답변
표현의 경우 $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} 로렌츠 그룹의 {2} \ right) $ $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, 우리의 표현을 축소 불가능하게 만들고 싶다면. 이것은 Lorentz 그룹의 공간에서 불연속 공간 (및 시간) 역 연산자에 작용하여 발생합니다. $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ 표현을 $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $이므로 $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $만으로는 전체 Lorentz 그룹을 대표하지 않습니다. 또한 필드를 실제 (복잡하지 않음)로 만들고 싶다면 반복 수의 직접적인 합계 (유사 적 추론에 의해)도 취해야합니다. 그러나 우리는 프로젝션 연산자에 의해 direct-sum-rep field에 대해 행동해야합니다. $ n + m + 1 $ 독립적 인 구성 요소 만 남기고 스핀 $ s = \ frac {n + m} {2 } $ 필드.
자, 특별한 경우에 대해 이야기합시다.Dirac bispinor는 $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ 및 $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $ 표현의 직접 합계를 나타냅니다. 왼손잡이 및 오른 손잡이 표현 (키랄성 호출). 이 각 표현은 spin $ \ frac {1} {2} $-particle을 참조하며 투영은 $ \ pm \ frac {1} {2} $ 일 수 있습니다. 그러나 투영 연산자 인 Dirac 방정식은 독립 구성 요소의 2 차원 공간 (스핀 $ \ frac {1} {2} $ be에 대해 필요하므로)은 일반적으로 이러한 구성 요소를 혼합합니다. 그러나 $ m = 0 $의 경우 다른 키랄성의 구성 요소는 그렇지 않습니다. 서로 혼합되고 Dirac 방정식은 Weyl s 방정식이라고하는 두 개의 독립 방정식으로 이어집니다. 이것은 Dirac 기반에서도 가능합니다.
또한 Dirac 행렬과 Dirac 방정식의 형태 사이의 반 정류 관계도 단일 변환에서 변경하지 마십시오. $ \ gamma “= U \ gamma U ^ {-1}, \ Psi”= U \ Psi $, $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ 스피너의 방정식을 독립적으로 만듭니다. 따라서이 경우 분류를 사용할 수도 있습니다. 명사.
Answer
두 성분 스피너는 비율로 정의되는 리만 구의 한 점을 나타내는 것으로 기하학적으로 해석 될 수 있습니다. 두 개의 복잡한 구성 요소와 xy 평면에 대한 입체 투영입니다. 유사하게, 4 개의 구성 요소 스피너는 4 개의 복잡한 구성 요소에 의해 정의 된 더 복잡한 비율에 의해 해석 될 수 있습니다. 이는 리만 구의 점과 로렌츠 변환이 뒤 따르고 복잡한 투영 평면 $ P ^ 2_C $에 대한 입체 투영으로 해석 될 수 있습니다. 이러한 난해한 문제를 다루는 내 최근 작업 인 “Vector Analysis of Spinors”및 “Spacetime Algebra of Dirac Spinors”는 내 웹 사이트에서 찾을 수 있습니다. http://www.garretstar.com/
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