Co představují čtyři komponenty Dirac Spinors ve standardním modelu?
On 30 listopadu, 2020 by adminSnažil jsem se obejít formalizmy použité ve standardním modelu. Z toho, co jsem shromáždil, jsou Dirac Spinors 4komponentní objekty určené k být provozován Lorentzovými transformacemi podobně jako 4-vektory jsou ve speciální relativitě. Zahrnují však také další informace: Spin a „Handedness“. Vzhledem k povaze Spinu se Spinory také transformují odlišně od vektorů.
To ve mně vyvolává dojem, že 4 komponenty lze klasifikovat jako: Levou rukou a Spin Up, Levou rukou a Spin Down, Pravou rukou a roztočit se, s pravou rukou a roztočit se dolů.
Moje otázka zní, jestli je tento dojem správný obecný nápad, nebo ne?
Komentáře
- Váš Diracův bi-spinorový základ se nazývá Weylův základ nebo chirální základ. Ale pro Diracovu rovnici existují jiné základy, jako je Diracova základna. Každý základ odpovídá jiné reprezentaci gama matic .
Odpověď
Závisí to na reprezentaci gama matic. Mohou to být například čtyři kombinace elektron / pozitron a roztočení nahoru / roztočení dolů.
Komentáře
- V jakékoli jiné reprezentaci jsou komponenty pouze lineární kombinací těchto. Informace v nich obsažená jsou tedy stejné, pouze se balí jinak.
- @Michael Brown: Souhlasím, ale to znamená, že 4 komponenty nemohou být “ klasifikováno jako: Left Handed and Spin Up, “ atd., jak navrhuje OP, nezávisle na reprezentaci.
- 4 dof jsou složité, může dodat, že další d.o.f. jsou eliminovány EoM atd.
- Možná ‚ stojí za to objasnit, že můžete klasifikovat 4 d.o.f. invariantním způsobem pomocí projekčních operátorů $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ a $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, které v konkrétním případě získají pěkné úhlopříčné tvary základ. Upravený základ je hezký, pokud vám na těchto projektorech záleží, i když můžete použít jakýkoli základ, který chcete. Podle této konstrukce však můžete vidět, že fyzický obsah pole je nezávislý na znázornění.
- @EdwardHughes Co? Elektrony a pozitrony odpovídají kladné frekvenci ($ u e ^ {- ipx} $) a záporné frekvenci ($ v e ^ {+ ipx} $) řešení Diracovy rovnice. Oba jsou obsaženy ve stejném Diracově spinorovém poli. Viz například Peskin & Schroeder ekv. 3,99. Operátoři projekce, které jsem zmínil, projekt na levé & pravoruké části $ u $ a $ v $. Ať už klasifikujete podle levé / pravé částice / antičástice, je to ekvivalentní, ale pouze přeskupení, levé / pravé otáčení nahoru / dolů.
Odpovědět
4 komponenty lze klasifikovat jako: levák a roztočení, levák a roztočení, pravá a roztočení, pravá a Spin Down.
Vaše klasifikace je závislá na reprezentaci v kontextu, který jste vložili.
Existuje však nezávislý na reprezentaci způsob totéž se dvěma (ortogonálními) projekcemi: $$ \ begin {aligned} \ text {Chiral Projection} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Spin Projection} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {aligned} $$
Vaše konkrétní reprezentace je vybrat 4 vlastní vektory výše uvedených projekcí jako základnu.
Odpověď
V případě reprezentací $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ skupiny Lorentz musíme vzít přímý součet $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, pokud chceme, aby naše reprezentace byly neredukovatelné. Je to způsobeno působením na diskrétní prostor (a čas) inverzními operátory v prostoru skupiny Lorentz: přenášejí $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ reprezentaci $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, takže $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) Samotný $ není zastoupením celé skupiny Lorentz. Také, pokud chceme, aby naše pole bylo reálné (ne složité), musíme také vzít přímý součet opakování (analogickým uvažováním). Ale pak musíme jednat s polem přímého součtu rep operátorem projekce, který ponechá pouze $ n + m + 1 $ nezávislé komponenty pole tak, jak to musí být pro spin $ s = \ frac {n + m} {2 } $ pole.
Promluvme si tedy o zvláštních případech.Dirac bispinor označuje přímý součet reprezentací $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ a $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $, které odpovídají reprezentace s levou a pravou rukou (volající chirality). Každá z těchto reprezentací odkazuje na spin $ \ frac {1} {2} $ – částice a její projekcí může být $ \ pm \ frac {1} {2} $. Ale Diracova rovnice, která je operátorem projekce na dvourozměrný prostor nezávislých komponent (jak to musí být pro spin $ \ frac {1} {2} $ be), tyto komponenty obecně mísí. avšak v případě $ m = 0 $ komponenty různých chirality nejsou smíchané mezi sebou a Diracova rovnice vede ke dvěma nezávislým rovnicím, které se nazývají Weylovy rovnice. Může to být dokonce na Diracově bázi.
Také antikomutační vztahy mezi Diracovými maticemi a forma Diracova rovnice nezměňujte se pod jednotnými transformacemi: $ \ gamma „= U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi“ = U \ Psi $, takže převzetím $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ uděláte spinorovy rovnice nezávislé. Takže v tomto případě můžete také použít klasifikaci n.
Odpověď
Dvousložkový spinor lze geometricky interpretovat tak, že představuje bod na Riemannově sféře, definovaný poměrem jeho dvou komplexních složek a jeho stereografické projekce na rovinu xy. Podobně lze čtyřkomponentní spinor interpretovat složitějším poměrem definovaným jeho čtyřmi komplexními komponentami, jako bod na Riemannově sféře následovaný Lorentzovou transformací a jeho stereografická projekce na komplexní projektivní rovinu $ P ^ 2_C $. Moje nedávná práce „Vector Analysis of Spinors“ a „Spacetime Algebra of Dirac Spinors“ zabývající se těmito matoucími problémy lze nalézt na mém webu: http://www.garretstar.com/
Napsat komentář