Que représentent les quatre composants de Dirac Spinors dans le modèle standard?
On novembre 30, 2020 by adminJai essayé de comprendre les formalismes utilisés dans le modèle standard. Daprès ce que jai rassemblé, les Spinors Dirac sont 4 objets composants conçus pour être opérés par des transformations de Lorentz tout comme les 4-vecteurs sont en relativité spéciale. Cependant, ils intègrent également des informations supplémentaires: Spin et « Handedness ». En raison de la nature du spin, les spinors se transforment également différemment des vecteurs.
Cela me laisse limpression que les 4 composants peuvent être classés comme: gaucher et spin up, gaucher et spin down, droitier et Spin up, Right Handed et Spin Down.
Ma question est de savoir si cette impression est la bonne idée générale ou non?
Commentaires
- Votre base bi-spinor Dirac est appelée base Weyl ou base chirale. Mais, pour léquation de Dirac, il existe différentes bases, comme la base de Dirac. Chaque base correspond à une représentation différente des matrices gamma .
Réponse
Cela dépend de la représentation des gamma-matrices. Il peut sagir, par exemple, des quatre combinaisons électron / positron et spin up / spin down.
Commentaires
- Dans toute autre représentation, les composants ne sont que des combinaisons linéaires de ceux-ci. Les informations quils contiennent sont donc les mêmes, elles sont simplement emballées différemment.
- @Michael Brown: Je suis daccord, mais cela signifie que les 4 composants ne peuvent pas être » classé comme: gaucher et Spin Up, » etc., comme OP le suggère, indépendamment de la représentation.
- Les 4 ddl sont complexes, pourrait ajouter que d.o.f. sont éliminés par EoM etc.
- Peut-être ‘ mérite-t-il dêtre précisé que vous pouvez classer les 4 d.o.f. de façon invariante en utilisant les opérateurs de projection $ (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu \ pm m) / 2m $ et $ (1 \ pm \ gamma ^ 5) / 2 $, qui prennent de jolies formes diagonales dans un base. La base adaptée est bien si vous vous souciez de ces projecteurs, bien que vous puissiez utiliser nimporte quelle base que vous voulez. Mais vous pouvez voir par cette construction que le contenu physique du champ est indépendant de la représentation.
- @EdwardHughes Quoi? Les électrons et les positrons correspondent aux solutions de fréquence positive ($ u e ^ {- ipx} $) et de fréquence négative ($ v e ^ {+ ipx} $) de léquation de Dirac. Les deux sont contenus dans le même champ spinor de Dirac. Voir, par exemple, Peskin & Schroeder eq 3.99. Les opérateurs de projection que jai mentionnés projetent sur les parties gauches & de $ u $ et $ v $. Que vous classiez par particule gauche / droite / antiparticule équivaut à, mais juste un remaniement, rotation gauche / droite haut / bas.
Réponse
les 4 composants peuvent être classés comme: gaucher et spin up, gaucher et spin down, droitier et spin up, droitier et Rotation vers le bas.
Votre classification est dépendante de la représentation dans le contexte dans lequel vous lavez mis.
Cependant, il existe une méthode indépendante de la représentation faire de même avec deux projections (orthogonales): $$ \ begin {aligné} \ text {Chiral Projection} &: \ \ frac { 1} {2} (1 \ pm \ gamma ^ 5) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3), \\ \ text {Spin Projection} &: \ \ frac {1} {2} (1 \ pm 2S ^ 3) = \ frac {1} {2} (1 \ pm i \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2). \ end {aligné} $$
La représentation spécifique de la vôtre est de choisir les 4 vecteurs propres des projections ci-dessus comme base.
Réponse
Dans un cas de représentations $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ du groupe de Lorentz nous devons prendre la somme directe de $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) + \ left (\ frac { n} {2}, \ frac {m} {2} \ right) $, si nous voulons rendre nos représentations irréductibles. Elle est provoquée en agissant sur des opérateurs inverses despace discret (et de temps) sur lespace du groupe de Lorentz: ils transfèrent $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $ représentation vers $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right) $, donc $ \ left (\ frac {m} {2}, \ frac {n} {2} \ right ) $ seul nest pas la représentation du groupe de Lorentz complet. Aussi, si nous voulons rendre notre champ réel (non complexe), nous devons également prendre la somme directe des répétitions (par raisonnement analogique). Mais alors nous devons agir sur le champ de répétition de somme directe par opérateur de projection, qui ne laissent que $ n + m + 1 $ composantes indépendantes dun champ comme il doit lêtre pour le spin $ s = \ frac {n + m} {2 } $ champ.
Alors, parlons de cas particuliers.Dirac bispinor fait référence à la somme directe des représentations $ \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) $ et $ \ left (0, \ frac {1} {2} \ right) $, qui correspondent à représentations gérées à gauche et à droite (appelant la chiralité). Chacune de ces représentations fait référence à spin $ \ frac {1} {2} $ – particule, et sa projection peut être $ \ pm \ frac {1} {2} $. Mais léquation de Dirac, qui est lopérateur de projection sur espace bidimensionnel de composants indépendants (comme il doit lêtre pour spin $ \ frac {1} {2} $ be), mélange ces composants en général. Cependant, dans le cas de $ m = 0 $ les composants de chiralité différente ne sont pas « t mélangés entre eux, et léquation de Dirac conduit à deux équations indépendantes qui sont appelées équations de Weyl. Cela peut être même en base de Dirac.
Aussi les relations danticommutation entre les matrices de Dirac et la forme de léquation de Dirac ne changez pas sous les transformations unitaires: $ \ gamma « = U \ gamma U ^ {- 1}, \ Psi » = U \ Psi $, donc en prenant $ U = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {pmatrix} 1 & & \ sigma_ {y} \\ \ sigma_ {y} & & -1 \ end {pmatrix} $ vous rendez les équations de spineur indépendantes. Donc, dans ce cas, vous pouvez également utiliser votre classificatio n.
Réponse
Un spineur à deux composants peut être interprété géométriquement comme représentant un point sur la sphère de Riemann, défini par le rapport de ses deux composants complexes, et sa projection stéréographique sur le plan xy. De même, un spineur à quatre composantes peut être interprété, par un rapport plus compliqué défini par ses quatre composantes complexes, comme un point sur la sphère de Riemann suivi dune transformation de Lorentz, et sa projection stéréographique sur le plan projectif complexe $ P ^ 2_C $. Mes travaux récents, « Analyse vectorielle des spineurs » et « Algèbre spatio-temporelle des spineurs de Dirac », traitant de ces problèmes complexes, peuvent être trouvés sur mon site Web: http://www.garretstar.com/
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