누적 이항 확률이란 무엇입니까?
On 1월 31, 2021 by admin저는 이것을 처음 사용하므로 사용법에 대해 읽었지만 정확히 무엇인지 몰랐기 때문에 올바른 질문을하고 있는지 모르겠습니다. 누적 이항 확률은입니다.
내 질문은 : 누적 이항 확률이란 무엇입니까? 어떤 예라도 큰 도움이 될 것입니다.
댓글
- 문맥은 무엇입니까? 여기에 정답이 하나 뿐이지 만 ' 정답을 가장 잘 설명하는 방법은 이미 알고있는 정도에 따라 다릅니다. 문맥이 무엇인지 말씀해 주시면 더 도움이되는 답변을 작성할 수있을 것 같습니다.
답변
TL; DR-예제 만 읽으려면 ===== 섹션으로 건너 뛰십시오.
이항식이 아닌 임의의 변수로 시작하겠습니다. 그러나 이해하기 쉬운 예제를 제공합니다. 균일 한 랜덤 변수. 균일 한 분포를 가진 이벤트의 예는 주사위를 굴리는 것입니다. 각 결과는 똑같이 발생할 가능성이 있습니다 (6면 주사위의 경우 1/6 확률). 1이 나올 확률은? “1/6이라고 말할 수 있습니다. 표기법에서 $ X $가 정수 {1,2,3,4,5,6}에 대해 균일 한 분포를 갖는 (이산) 랜덤 변수이면 $$ \ text {Pr} \ left \ {X = 1 \ right \} = \ cdots = \ text {Pr} \ left \ {X = 6 \ right \} = 1/6 $$
하나는 종종 이것을 $ x $의 함수로 씁니다, 즉 $ p (x) = \ text {Pr} \ left \ {X = x \ right \} $. 이것은 종종 확률 질량 함수 또는 pmf라고 불립니다. (연속 랜덤 변수의 경우 t라는 아날로그가 있습니다. 확률 밀도 함수 또는 pdf).
누적 질량 / 밀도 함수 (또는 분포 함수라고도 함)는 $$ F (x ) = \ text {Pr} \ left \ {X \ leq x \ right \} $$ 따라서 균일 한 예에서 $ x $ 이하를 굴릴 확률은 무엇입니까 (예 : 3 또는 적은?).
이항 랜덤 변수, $ X \ sim \ text {Binomial} ( n, p) $는 두 개의 매개 변수, $ n $ 및 $ p $와 시행 횟수와 각 시행의 성공 확률로 특징 지어집니다. 이항 정의에 대한 자세한 내용은 wikipedia 를 참조하세요. 이항식에는 pmf $$ \ text {Pr} \ left \ {X = x \ right \} = {n \ choose x} p ^ x (1-p) ^ {nx} $$ 및 분포 함수 $$ F ( x) = \ text {Pr} \ left \ {X \ leq x \ right \} = \ sum_ {k = 1} ^ x {n \ choose k} p ^ k (1-p) ^ {nk} $$ 몇 가지 예는 어떻습니까?
이항식은 (1) $ n $ 독립 시행, 각 (2) 이분법 (즉, 성공 / 실패)이있는 무작위 현상을 특징으로합니다. , 예 / 아니오, 1/0) 및 (3) 각 시행에서 성공 확률은 일정합니다. $ p $.
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고전적인 예는 동전을 $ n $ 번 던지는 것입니다. 공정한 동전을 10 번 던지고 앞면의 수에 관심이 있다고 가정 해 보겠습니다. 그러면 랜덤 변수 $ X = \ text {Number of heads of 10 flips} $는 $ X \ sim \ text {Binomial} (n = 10, p = 1 / 2) $입니다. 우리는 정확히 5 개의 앞면을 얻을 확률은 얼마입니까?와 같은 질문을 할 수 있습니다. pmf : $$ \ text {Pr} \ left \ {X = 5 \ right \} = {10 \ choose 5} (1/2) ^ 5 (1-1 / 2) ^ {10 -5} = 252 * (0.03125) * (0.03125) = 0.2460938 $$ 또는 다음과 같이 질문 할 수 있습니다. “앞면이 5 개 이하일 확률은 얼마입니까?” 이것은 누적 이항 확률 입니다. 답을 얻기 위해 분포 함수를 사용합니다.
$ \ begin {align *} \ text {Pr} \ left \ {X \ leq 5 \ right \} & = \ sum_ {k = 1} ^ 5 {10 \ choose k} (1/2) ^ k (1-1 / 2) ^ {10-k} \\ & = (0.5) (0.0009765625) + 10 * (0.5) (0.001953125) + 45 (0.25) (0.00390625) + 120 (0.125) (0.0078125) + 210 (0.0625) (0.015625) + 252 (0.03125) (0.03125 ) \\ & = 0.6230469 \ end {align *} $
그것은 “누적”확률, 즉 5를 얻을 확률 또는 앞면이 적 으면 앞면이 0 개가 될 확률과 앞면이 1 개가 나올 확률과 앞면이 두 개가 나올 확률 …
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k = 0 다음에 B (x ; n, p) k = 1이면 B (x-1; n, p)가되어야합니다. 여기서 B () 누적 dists. 신원 b (x; n, p) = B (x; n, p) -B (x-1 : n, p)
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