Wat is een cumulatieve binominale kans?
Geplaatst op januari 31, 2021 door adminIk ben nieuw in dit, dus weet niet of ik de juiste vraag stel, ik heb net gelezen over het gebruik ervan, maar wist niet wat precies een cumulatieve binominale kans is.
Dus mijn vraag is: wat zijn cumulatieve binominale kansen? Elk voorbeeld zal van grote hulp zijn.
Opmerkingen
- Wat was de context? Er ' is hier maar één juist antwoord, maar hoe je het het beste kunt uitleggen, hangt af van hoeveel je al weet. Als je kunt zeggen wat de context was, denk ik dat ik een nuttiger antwoord kan schrijven.
Antwoord
TL; DR – Ga naar de sectie ===== om alleen het voorbeeld te lezen:
Ik begin met een willekeurige variabele die niet binominaal is, maar die een gemakkelijk te begrijpen voorbeeld zal geven: een uniforme willekeurige variabele. Een voorbeeld van een gebeurtenis met een uniforme verdeling is het gooien van een dobbelsteen; elk van de uitkomsten is even waarschijnlijk (1/6 kans voor een zeszijdige dobbelsteen). Dus als ik zou vragen: wat is de kans dat een 1 wordt gegooid? “Je zou zeggen 1/6. Als $ X $ in notatie een (discrete) willekeurige variabele is met een uniforme verdeling over de gehele getallen {1,2,3,4,5,6}, dan $$ \ text {Pr} \ left \ {X = 1 \ right \} = \ cdots = \ text {Pr} \ left \ {X = 6 \ right \} = 1/6 $$
Men schrijft dit vaak als een functie in termen van $ x $, dwz $ p (x) = \ text {Pr} \ left \ {X = x \ right \} $. Dit wordt vaak de waarschijnlijkheidsmassafunctie of pmf genoemd (voor continue willekeurige variabele is er een analoog genaamd t hij kansdichtheidsfunctie of pdf).
De cumulatieve massa / dichtheidsfunctie (of soms verdelingsfunctie genoemd) is $$ F (x ) = \ text {Pr} \ left \ {X \ leq x \ right \} $$ Dus in ons uniforme voorbeeld is het wat de kans is om een $ x $ of lager te rollen (bijv. Wat is de kans om een 3 of less?).
Een binominaal willekeurige variabele, $ X \ sim \ text {Binomial} ( n, p) $, wordt gekenmerkt door twee parameters, $ n $ en $ p $, vervolgens het aantal proeven en de kans op succes bij elke proef. Zie wikipedia voor meer informatie over de definitie van een binominaal. De binominale waarde heeft pmf $$ \ text {Pr} \ left \ {X = x \ right \} = {n \ kies x} p ^ x (1-p) ^ {nx} $$ en distributiefunctie $$ F ( x) = \ text {Pr} \ left \ {X \ leq x \ right \} = \ sum_ {k = 1} ^ x {n \ kies k} p ^ k (1-p) ^ {nk} $$ Dus dat was veel wiskunde, wat dacht je van enkele voorbeelden:
Een binominaal wordt gekenmerkt door een willekeurig fenomeen waarin er (1) $ n $ onafhankelijke proeven zijn, elk (2) dichotoom (dwz succes / mislukking , ja / nee, 1/0), en (3) de kans op succes bij elke proef is constant, $ p $.
============================================= ==============================
Een klassiek voorbeeld is een munt $ n $ keer omdraaien. Laten we zeggen dat we 10 keer een eerlijke munt omdraaien en we zijn geïnteresseerd in het aantal koppen. Dan is de willekeurige variabele $ X = \ text {Aantal heads op 10 saltos} $ $ X \ sim \ text {Binomial} (n = 10, p = 1/2) $. We zouden vragen kunnen stellen als: wat is de kans dat we precies 5 koppen krijgen? We zouden dit kunnen beantwoorden met de pmf: $$ \ text {Pr} \ left \ {X = 5 \ right \} = {10 \ choose 5} (1/2) ^ 5 (1-1 / 2) ^ {10 -5} = 252 * (0,03125) * (0,03125) = 0,2460938 $$ of we kunnen een vraag stellen als: “Wat is de kans om 5 of minder koppen te krijgen?” Dit is een cumulatieve binominale kans . We gebruiken de distributiefunctie om een antwoord te krijgen:
$ \ begin {align *} \ text {Pr} \ left \ {X \ leq 5 \ right \} & = \ sum_ {k = 1} ^ 5 {10 \ kies k} (1/2) ^ k (1-1 / 2) ^ {10-k} \\ & = (0,5) (0,0009765625) + 10 * (0,5) (0,001953125) + 45 (0,25) (0,00390625) + 120 (0,125) (0,0078125) + 210 (0,0625) (0,015625) + 252 (0,03125) (0,03125 ) \\ & = 0.6230469 \ end {align *} $
het is cumulatief in die zin dat het de kans “accumuleert”, dat wil zeggen de kans om 5 of minder koppen is gelijk aan de kans om 0 koppen te krijgen PLUS kans om 1 kop te krijgen PLUS kans om 2 koppen te krijgen …
Opmerkingen
- Het zou moeten begin met k = 0 voor de laatste opmerking.
Antwoord
Ik dacht dat k = 0 dan B (x ; n, p) Als k = 1 dan zou het B (x-1; n, p) moeten zijn waar B () cumulatieve dists. Er is een identiteit b (x; n, p) = B (x; n, p) -B (x-1: n, p)
Geef een reactie