Was ist eine kumulative Binomialwahrscheinlichkeit?
On Januar 31, 2021 by adminIch bin neu in diesem Bereich, weiß also nicht, ob ich die richtige Frage stelle, da ich gerade über ihre Verwendung gelesen habe, aber nicht genau wusste, was a Die kumulative Binomialwahrscheinlichkeit ist.
Meine Frage lautet also: Was sind kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten? Jedes Beispiel wird eine große Hilfe sein.
Kommentare
- Was war der Kontext? ' gibt es hier nur eine richtige Antwort, aber wie man es am besten erklärt, hängt davon ab, wie viel Sie bereits wissen. Wenn Sie sagen können, was der Kontext war, kann ich eine hilfreichere Antwort schreiben.
Antwort
TL; DR – Gehen Sie zum Abschnitt =====, um nur das Beispiel zu lesen:
Ich beginne mit einer Zufallsvariablen, die kein Binomial ist, aber ein leicht verständliches Beispiel liefert: Eine einheitliche Zufallsvariable. Ein Beispiel für ein Ereignis mit einer gleichmäßigen Verteilung ist das Würfeln. Jedes der Ergebnisse ist gleich wahrscheinlich (1/6 Wahrscheinlichkeit für einen 6-seitigen Würfel). Wenn ich also frage: „Was ist das? Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 gewürfelt wird? „Sie würden 1/6 sagen. In der Notation, wenn $ X $ eine (diskrete) Zufallsvariable mit einer gleichmäßigen Verteilung über die ganzen Zahlen {1,2,3,4,5,6} ist, dann $$ \ text {Pr} \ left \ {X = 1 \ right \} = \ cdots = \ text {Pr} \ left \ {X = 6 \ right \} = 1/6 $$
Man schreibt dies oft als Funktion in Form von $ x $, dh $ p (x) = \ text {Pr} \ left \ {X = x \ right \} $. Dies wird oft als Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion oder pmf bezeichnet (Für kontinuierliche Zufallsvariablen gibt es ein Analogon namens t die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder pdf).
Die kumulative Massen- / Dichtefunktion (oder manchmal auch Verteilungsfunktion genannt) ist $$ F (x ) = \ text {Pr} \ left \ {X \ leq x \ right \} $$ In unserem einheitlichen Beispiel ist es also die Wahrscheinlichkeit, ein $ x $ oder weniger zu würfeln (z. B. die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder zu würfeln) weniger?).
Eine Binomial Zufallsvariable, $ X \ sim \ text {Binomial} ( n, p) $ ist durch zwei Parameter gekennzeichnet, $ n $ und $ p $, dann die Anzahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch. Weitere Informationen zur Definition eines Binomials finden Sie unter Wikipedia . Das Binom hat pmf $$ \ text {Pr} \ left \ {X = x \ right \} = {n \ wähle x} p ^ x (1-p) ^ {nx} $$ und die Verteilungsfunktion $$ F ( x) = \ text {Pr} \ left \ {X \ leq x \ right \} = \ sum_ {k = 1} ^ x {n \ wähle k} p ^ k (1-p) ^ {nk} $$ Das war also eine Menge Mathematik, wie wäre es mit einigen Beispielen:
Ein Binomial ist durch ein zufälliges Phänomen gekennzeichnet, bei dem es (1) $ n $ unabhängige Versuche gibt, die jeweils (2) dichotom sind (dh Erfolg / Misserfolg) , ja / nein, 1/0) und (3) die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch ist konstant, $ p $.
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Ein klassisches Beispiel ist das $ n $ Malwerfen einer Münze. Nehmen wir an, wir werfen zehnmal eine faire Münze und interessieren uns für die Anzahl der Köpfe. Dann ist die Zufallsvariable $ X = \ text {Anzahl der Köpfe aus 10 Flips} $ $ X \ sim \ text {Binomial} (n = 10, p = 1/2) $. Wir könnten Fragen stellen wie: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir genau 5 Köpfe bekommen? Wir könnten dies mit dem pmf beantworten: $$ \ text {Pr} \ left \ {X = 5 \ right \} = {10 \ wähle 5} (1/2) ^ 5 (1-1 / 2) ^ {10 -5} = 252 * (0.03125) * (0.03125) = 0.2460938 $$ oder wir können eine Frage stellen wie: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 5 oder weniger Köpfe zu bekommen?“ Dies ist eine kumulative Binomialwahrscheinlichkeit . Wir verwenden die Verteilungsfunktion, um eine Antwort zu erhalten:
$ \ begin {align *} \ text {Pr} \ left \ {X \ leq 5 \ right \} & = \ sum_ {k = 1} ^ 5 {10 \ wähle k} (1/2) ^ k (1-1 / 2) ^ {10-k} \\ & = (0,5) (0,0009765625) + 10 * (0,5) (0,001953125) + 45 (0,25) (0,00390625) + 120 (0,125) (0,0078125) + 210 (0,0625) (0,015625) + 252 (0,03125) (0,03125) ) \\ & = 0.6230469 \ end {align *} $
es ist kumulativ in dem Sinne, dass es die Wahrscheinlichkeit „akkumuliert“, dh die Wahrscheinlichkeit, 5 oder 5 zu erhalten weniger Köpfe sind gleich der Wahrscheinlichkeit, 0 Köpfe zu bekommen PLUS Wahrscheinlichkeit, 1 Kopf zu bekommen PLUS Wahrscheinlichkeit, 2 Köpfe zu bekommen …
Kommentare
- Es sollte Beginnen Sie mit k = 0 für den letzten Kommentar.
Antwort
Ich dachte, k = 0, dann B (x ; n, p) Wenn k = 1 ist, sollte es B (x-1; n, p) sein, wobei B () kumulativ ist. Es gibt eine Identität b (x; n, p) = B (x; n, p) -B (x-1: n, p)
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