수정 된 아인슈타인 힐베르트 액션의 변형
On 2월 17, 2021 by admin일반 상대성 이론에서는 메트릭의 역수에 대한 변형을 통해 최소 액션의 원리로 아인슈타인 필드 방정식을 유도 할 수 있습니다. 텐서. Brans-Dicke 이론과 같은 일부 수정 된 중력 이론에서 스칼라 필드는 아인슈타인 힐베르트 동작에 추가되고 중력 상수는 스칼라 필드의 함수로 대체됩니다. 이 동작, 더 구체적으로 스칼라 필드가 Ricci 스칼라 $ \ phi R $에 첨부 된 부분에서 필드 방정식을 도출하는 방법을 잘 모르겠습니다.
Brans-Dicke Action은 $$입니다. S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R-\ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partial _a \ phi \ partial _b \ phi \ right) + L_M \ right]. $$
결과 필드 방정식은 $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\입니다. phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ partial_a \ phi \ partial_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partial_c \ phi \ partial ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
연습을 위해 새로운 필드 방정식을 유도하고 싶습니다. . 그래서 내 질문은 다음과 같습니다.
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운동 방정식을 어떻게 도출합니까?
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다음 동작의 변형을 수행하는 방법 ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R-\ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab})-2 \ Lambda + L_M) \ right] $$
리치 스칼라, 우주 상수, 라그랑지안 문제는 아인슈타인처럼 간단하게 변합니다. 힐베르트 작업 대상 : $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab}-\ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ 추가 항은 어떻습니까? $ \ phi $에 대해 단순히 변할까요, 아니면 메트릭 텐서의 공변 도함수의 변이도 필요합니까? 후자가 참이면이 추가 항의 변형은 $$ \ frac {\ partial L} {\ partial g_ {ab}}-\ partial _ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다. 그런데, $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $는 좌표 $ (t에 대한 메트릭 텐서의 변화율 (미분)을 나타내는 표현식입니다. , x, y, z) $?
댓글
- 보통 비틀림없이 $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $와 같은 (고유 한) 연결을 선택합니다. 이 PSE 참조 질문
- Brans-Dicke 이론을 뒷받침하는 기본 직관은 "입니다. Newton ' 상수 $ G $를 스칼라 필드 $ \ phi $로 대체하면 어떻게됩니까? (또는 종교에 따라 $ \ phi ^ {-1} $?) " … 다른 모든 것은 그로부터 이어집니다.
- 비틀림이 있어도 여전히 $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $를 얻습니다. ' 아주 드물게 사용되는 다른 무언가로 만들기 위해서는 비 측정 텐서가 필요합니다.
답변
아래 질문 1에 대한 답을 찾으십시오. 질문 2. @Trimok이 언급 한 것처럼 $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (연결이 미터법과 호환되는 경우)이기 때문에 이상합니다. 어떤 경우 든 아래에 설명 된 방법을 사용하여 동작의 변형을 유도 할 수 있습니다.
BD 액션으로 시작합니다. $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R-\ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ 여기서 $ S_M $은 문제 행동입니다. Einstein의 필드 방정식을 결정하기 위해 측정 항목에 대한 작업 wrt를 변경합니다. 공식 (ref. wikipedia ) \ begin {equation} \ begin을 사용합니다. {분할} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu}-g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right) \ end {split} \ end {equation} Christoffel 텐서의 변형은 \ begin {equation}입니다. \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho}-\ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ 람다 \ rho} \ left (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho}-\ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right ) \\ & =-\ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda}-g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ end { split} \ end {equation} 여기서 $ \ delta g _ {\ mu \ nu} =-g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $를 사용했습니다.이것은 \ begin {equation} \ begin {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & =-\ nabla_ \를 의미합니다. 알파 \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ 시그마} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & =-\ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ 델타 g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {equation} 이는 \ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \를 의미합니다. nu}-\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} 마지막으로 1 에서 $$ \ delta \ sqrt {-g} =-\ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ 마지막으로 행동의 변화를 계산할 준비가되었습니다. \ begin {equation} \ begin {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R-\ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R- \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & =-\ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R-\ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ 델타 g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu}-\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right)-\ frac {\ omega} {\ phi} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} 액션 소멸 ($ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $의 선행 순서로)은 \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} &를 제공합니다. =-\ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi-\ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi-g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} 응력 텐서는 \ begin {equation} \ begin {split} T _ {\ mu \ nu} =-\ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ deltag로 정의됩니다. ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {equation} 따라서 \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi-\ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi -g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} Brans-Dicke 등식.
댓글
- 지금 어떻게해야하는지 알았습니다. 두 번째 질문과 관련하여 메트릭 텐서의 공변 도함수가 0이기 때문에 추가 항이 단순히 0이됩니까? 이제 액션이 익숙한 Einstein-Hilbert 액션이 되나요?
- 그 ' 맞습니다.
- $ \ delta \를 어떻게 증명합니까? sqrt {-g} =-\ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? 위키 백과 항목을 따를 수 없습니다 … $$ \ delta \ sqrt {-g} =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g =-\ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} =-\ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ 부호 오류는 어떻습니까?
- @BreakingM_a_t 정의에 따르면 $ \ delta g = \ det (g + \ delta g)-\ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {-1} \ delta g)-1 \] $. 이제 $ \ det (1 + g ^ {-1} \ delta g) $를 $ \ delta g $의 선행 순서로 계산하려면 $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. 그러면 $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t 이것은 $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {-1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu를 의미합니다. \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. 따라서 $ \ delta \ sqrt {-g} =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
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