Variatie van gemodificeerde Einstein Hilbert-actie
Geplaatst op februari 17, 2021 door adminIn de algemene relativiteitstheorie kan men de Einstein-veldvergelijkingen afleiden door het principe van de minste actie door variaties met betrekking tot de inverse van de metriek tensor. In sommige gemodificeerde zwaartekrachtstheorieën, zoals de Brans-Dicke-theorie, wordt een scalair veld toegevoegd aan de Einstein Hilbert-actie en wordt de zwaartekrachtconstante vervangen door een functie van het scalaire veld. Ik weet niet precies hoe ik de veldvergelijkingen uit deze actie moet afleiden, meer bepaald het deel waar het scalaire veld is gekoppeld aan de Ricci-scalaire $ \ phi R $.
De Brans-Dicke-actie is $$ S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partieel _a \ phi \ partieel _b \ phi \ right) + L_M \ right]. $$
De resulterende veldvergelijking is $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ partiële_a \ phi \ partiële_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partiële_c \ phi \ partiële ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
Ik wil ook een nieuwe veldvergelijking afleiden om te oefenen . Dus mijn vragen zijn:
-
Hoe leid je de bewegingsvergelijkingen af?
-
Hoe voer je de variatie uit van de volgende actie ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R – \ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab}) – 2 \ Lambda + L_M) \ right] $$
De Ricci-scalaire waarde, de kosmologische constante, en de materie-Lagrangiaan zullen eenvoudig variëren zoals de Einstein Hilbertactie naar: $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab} – \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ Hoe zit het met de extra term? Zou men eenvoudig kunnen variëren met betrekking tot $ \ phi $, of is de variatie van de covariante afgeleide van de metrische tensor ook vereist? Als het laatste waar is, zou de variatie van deze extra term $$ \ frac {\ partiële L} {\ partiële g_ {ab}} – \ partiële _ \ mu \ frac {\ partiële L} {\ partiële (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ Alle hulp wordt op prijs gesteld. Trouwens, is $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $ een uitdrukking die de snelheid van verandering (afgeleide) van de metrische tensor toont ten opzichte van een coördinaat $ (t , x, y, z) $?
Reacties
- Meestal kies je zonder torsie de (unieke) verbinding zoals $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $, zie deze PSE -vraag
- De basisintuïtie die de Brans-Dicke-theorie ondersteunt, zou ” moeten zijn Wat als we de constante $ G $ van Newton ‘ vervangen door een scalair veld $ \ phi $? (Of, afhankelijk van uw religie, $ \ phi ^ {- 1} $?) ” … al het andere volgt daaruit.
- Zelfs met torsie je krijgt nog steeds $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $. U ‘ d hebt ook de niet-metriciteitstensor nodig om er iets anders van te maken, dat vrij zelden wordt gebruikt.
Antwoord
Vind het antwoord op vraag 1 hieronder. Vraag 2. is raar omdat $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (wanneer de verbinding metrisch compatibel is) zoals vermeld door @Trimok. In elk geval kan de variatie van de actie worden afgeleid met behulp van de hieronder beschreven methode.
We beginnen met de BD-actie $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partiële_ \ mu \ phi \ partiële_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ waarbij $ S_M $ de kwestie-actie is. Om de veldvergelijkingen van Einstein te bepalen, variëren we de actie ten opzichte van de statistiek. We gebruiken de formules (ref. wikipedia ) \ begin {vergelijking} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} – g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right) \ end {split} \ end {equation} De variatie van de Christoffel-tensor is \ begin {equation} \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partiële_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partiële_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho} – \ partiële_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho} – \ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right ) \\ & = – \ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ end { split} \ end {equation} waar we $ \ delta g _ {\ mu \ nu} = – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $ gebruikten.Dit impliceert \ begin {vergelijking} \ begin {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & = – \ nabla_ \ alpha \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & = – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {equation} wat inhoudt \ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} Ten slotte hebben we vanaf 1 ook $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ Eindelijk zijn we klaar om de variatie van de actie te berekenen. We hebben \ begin {vergelijking} \ begin {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partiële_ \ mu \ phi \ partiële_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R – \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partiële_ \ mu \ phi \ partiële_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & = – \ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partiële_ \ alpha \ phi \ partiële_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right) – \ frac {\ omega} {\ phi} \ partiële_ \ mu \ phi \ partiële_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} Vereist dat de variatie van de action verdwijnen (naar leidende volgorde in $ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $) geeft \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = – \ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partiële_ \ mu \ phi \ partiële_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partiële_ \ alpha \ phi \ partiële ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} Bedenk dat de stress-tensor is gedefinieerd als \ begin {vergelijking} \ begin {split} T _ {\ mu \ nu} = – \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {equation} Dus \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partiële_ \ mu \ phi \ partiële_ \ nu \ phi – \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partieel_ \ alpha \ phi \ partieel ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} wat is de Brans-Dicke vergelijking.
Opmerkingen
- Ik zie nu hoe ik het moet doen. Met betrekking tot mijn tweede vraag: wordt de extra term gewoon nul omdat de covariante afgeleide van de metrische tensor nul is? Dus de actie wordt nu de bekende Einstein-Hilbert-actie?
- Dat ‘ klopt.
- Hoe bewijs je $ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? Ik kan het Wikipedia-item niet volgen … $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ Hoe zit het met de tekenfout?
- @BreakingM_a_t Merk op dat per definitie $ \ delta g = \ det (g + \ delta g) – \ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) – 1 \] $. Om nu $ \ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) $ te berekenen naar de leidende order in $ \ delta g $, gebruiken we de identiteit $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. Dan hebben we $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t Dit impliceert $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {- 1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. We vinden dus dat $ \ delta \ sqrt {- g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt {- g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
Geef een reactie