Hörnlösning av maximeringsproblemet
On februari 18, 2021 by adminSvar
Hej, jag laddar upp den faktiska frågan med mitt svar på åtta sidor. Snälla kan du kontrollera det. Finns det en hörnupplösning för $ c = \ gamma $ . Snälla dela dina idéer. Tack.
Kommentarer
- X-postat: math.stackexchange.com/q/3405439/339790
- Hur vet du att ' en hörnlösning?
- @Art ingenting. Jag löser bara dess interiörlösningar. Men jag har lärt mig att jag måste hitta dess hörnlösningar också. Men jag vet inte (ingen aning) om hur man hittar hörnlösning. Snälla kan du hjälpa mig?
- Don ´ t har vi här en ekvation som en begränsning, $ h + l = T $?
- Det här är potentiellt en bra fråga men för närvarande röstar jag ' för att stänga den här frågan eftersom den inte följer webbplatsens policy för hemarbete: " Lägg inte bara in en genomsökning eller bild av hela frågan eller av ditt försök till svar. Ange din fråga och arbetet du ' har gjort för att försöka svara på det, som text. "
Svar
Här är formuleringen av problemet: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ \ text {och} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}
Ersätter $ l = 1 – h $ , vi kan skriva om ovanstående problem som: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {and} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}
Eftersom verktyget ökar i $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ kommer att hålla optimalt. Så vi kan ytterligare minska problemet till:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {och} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}
Observera att vi antar $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Detta beror på att när $ \ omega + \ rho < \ gamma $ , det finns ingen möjlig lösning. Med andra ord finns det ingen $ h $ uppfyller begränsningarna.
För att lösa detta problem ska vi överväga två fall:
- Fall 1 : $ \ rho \ geq \ gamma $
I detta fall kan problemet skrivas som:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}
Derivat av målet med avseende på $ h $ är $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ som ger följande lösning:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {annars} \ end {cases} \ end {eqnarray *}
- Fall 2 : $ \ rho < \ gamma $
I det här fallet kan problemet skrivas som:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}
Derivat av målet med avseende på $ h $ är $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ som ger följande lösning:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {annars} \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Genom att kombinera de två fallen kan vi skriva lösningen som:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {och} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {annars} \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Med $ c = \ omega h + \ rho $ och $ l = 1-h $ vi kan få optimala värden på $ c $ och $ l $ i vart och ett av fallen.
Kommentarer
- Jag vill inte tacka Knopf !! Du är bäst och din lösning är så smart och perfekt !! Tack igen Amit
Svar
Hörnlösningen är inte $ c = a $ kan det inte bero på att den marginella nyttan av till och med en liten konsumtion är obegränsad där. Du kan dock ha en hörnlösning där $ h = 0 $ . Eftersom agenten har icke-arbetsinkomst $ p $ har budgetposten en lutning. Det vill säga om ombudet får mycket inkomst även utan att arbeta kan de välja att inte arbeta och njuta av fritiden.
Efter att ha löst den optimala $ l $ , $ c $ och $ h $ Jag är säker på att den optimala $ h $ definieras av skillnaden mellan två termer. Eftersom du inte kan arbeta negativa timmar inträffar hörnlösningen när din ekvation för $ h $ blir negativ.
Om du inte är säker på vad jag menar, uppdaterar du bara din fråga med de faktiska formlerna du har fått, jag kan ge ytterligare kommentarer och vägleda dig för att hitta hörnlösningen.
Kommentarer
- Ja, jag kunde inte hitta för $ c = a $. Men någon säger att det finns. Kan jag ladda upp min lösning med handskrivning? Eftersom lösningen är för lång och mitt skrivande är mycket läsbart och bra. Accepterar du kära Regio?
- @ user315 " Kan jag ladda upp min lösning med handskrivning? " Ja, du kan göra det genom att redigera din fråga.
- Tack så mycket …
- @callculus som jag laddade upp. Vänligen kontrollera det. Och berätta för mig om det är korrekt eller inte. Tack så mycket.
- @Regio Jag lade till min lösning.
Lämna ett svar